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微分几何教案（二） 向量函数及其两个重要命题 2 向量函数一 向量函数的定义定义 G是一点集，若对每一个xG，有确定的向量与之对应，则称在G上给定了一个向量函数。记作 。若G为区间，则G中的点为实数t，这时为一元向量函数；终点的轨迹是一条曲线。若G为平面域，则xG，x=x(u,v), 这时为二元向量函数。终点的轨迹是曲面。向量函数可以用分量表示，它们的分量是三个实函数， ，。二 向量函数的极限和连续性1 极限定义 一元向量函数，若有常向量使：对于任意的存在当则称为时的极限。记作。2 极限的运算性质,则设则3 向量函数的连续性定义 结论 。三 向量函数的微商 定义 是定义在上的向量函数,设,若存在,则称在可微,这个极限叫做在的导矢或微商.记为,即若在的每一点可微,则称在内是可微的,其微分记为。 的几何意义一元向量函数终点轨迹一般表示一条曲线，表示曲线上一点，表示附近的一点P。表示曲线在点的割线方向，若 P=不为零，则它表示曲线在点的O切线上的一个方向，该向量的正向指向曲线沿参数t增加的方向。 向量函数微商的性质若都是可微的向量函数,是可微的实函数，则都是可微的，并且若则可微且。 类函数及其性质若在上有直到k阶的连续微商，则称是上的k次可微函数或类函数。连续函数记为类函数，无限可微的函数记为类函数，处处可微的函数叫解析函数，记为。结论 在上是类函数。 向量函数的泰勒公式四 向量函数的积分及其运算性质 向量函数的不定积分：若，则叫做的原函数，的原函数的全体叫做的不定积分，记为，因此，。 向量函数的定积分：，。 定积分的性质A. ，则B. C. m是常数时，。D. .E. .F. .说明 据上面讨论可知，向量函数的极限、微分与积分等运算都可以化为三个分量实函数的相应的运算，所以向量函数的极限、连续、微分与积分并没有实质上的新内容。但是，不能认为分析中所有结果都可直接推广到矢量分析上来。例如微分中值定理就不可以。设假如微分中值定理成立，则存在，即于是，这是不可能的。五 两个重要命题 命题1 向量函数具有固定长对于t的每一个值，。证明 具有固定长。 向量函数对于它的变量t的旋转速度M给定，给t一增量，叫做向量函数对于它的变量t的旋转速度。 命题2 单位向量对于它的变量t的旋转速度等于其微商的模。证明：把移到同一个始点O，（如上图）。以O为圆心画单位圆，它通过的终点M, ，则两个向量的夹角
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