(考试资料下载)微分几何教案曲面论（十三）

微分几何教案（二十） 5.2曲面的黎曼曲率张量和高斯科达齐迈因纳尔迪 公式5.2 曲面的黎曼(Riemann)曲率张量和高斯-科达齐-迈因纳尔迪(Gauss-Codazzi-Mainardi)公式一 黎曼(Riemann)曲率张量第一类黎曼曲率张量定义为：容易验证黎曼曲率张量满足下列恒等式： 注 I,j,k取值为1，2。后一等式中，下角码总有两个相等。所以由第一式可推出第二式，再推出第三式。第二类黎曼曲率张量定义为：， m,I,j,k=1,2 。 ( 可得)二 Gauss-Codazzi-Mainardi 公式命题（1）高斯公式：（2）科达齐-迈因纳尔迪公式：。证明 对基本方程中的高斯方程求导数得： 。再把基本方程带入上式得： = 类似的： 因为曲面是类的，所以，又因是线性无关的向量，比较 的系数得： 所以。比较的系数得：。命题得证。推论 第二黎曼曲率张量满足以下恒等式：， 。说明 (1)由推论知，这16个分量中只有一个是独立的。事实上,由 ,独立的还有,再由知，独立的只有。 (2) 科达齐-迈因纳尔迪公式中, j = k是恒等式, 而j,k对调方程不变.故可令j=1,k=2,于是再依次令i=1,2即可知该公式中只包含两个独立式,即I=1,j=1,k=2和i=2,j=1,k=2时的两个。因此，命题中一共包含三个独立关系式，也就是说，曲面的第一、第二基本形式中的系数应满足三个关系式（即命题中的三个关系式）。 （3）由两种黎曼曲率张量的定义，两曲率张量都仅与第一基本形式的系数及其关于变量的导数有关（因为仅与第一类基本量有关）,所以它们都是曲面的内在量。(4) 科达齐-迈因纳尔迪公式用基本量表示是：正交坐标网（F=0)下: 即三 高斯定理 高斯定理 曲面的高斯曲率是内蕴量.(即曲面的高斯曲率K被曲面的第一基本形式完全确定).证明 由高斯公式（中的独立关系式）: ，故，因都是内蕴量，故是K内蕴量。推论1 两个曲面可以建立等距对应，则对应点的高斯曲率相等。换言之，高斯曲率经等距变换不变。 证明 等距对应下，第一基本量不变， 仅与第一基本量有关，故不变。故不变。推论2 曲面可与平面建立等距对应的充分必要条件是该曲面为可展曲面。 证明 充分性：即可展曲面中的命题5。必要性：曲面与平面建立等距对应，则由高斯定理，曲面与平面的高斯曲率相等，都为零。而高斯曲率为零的曲面为可展曲面。推论得证。四 高斯曲率的另一计算公式（用第一基本量表示的）特别对曲面的正交网: F=0,所以这再一次证明高斯曲率是内蕴量。习题：P144 6、 ，7， 85.3 曲面论的基本定理基本定理： 设，是给定的两个二次形式，其中是正定的。若和的系数和对称且满足高斯-科达齐-迈因纳尔迪公式，则除了空间的具体位置外，唯一的存在一个曲面，以和分别为此曲面的第一和第二基本形式。曲面论的基本定理及其证明解决了以下三个问题： （1）曲面的形状由第一、第二基本形式唯一确定； （2）给出某一区域上的六个连续的二元函数（），（），。只有当与满足高斯-科达齐-迈因纳尔迪公式时，才确定一个曲面以为第一类基本量，以为第二类基本量； （3）当（）正定，且，满足高斯-科