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注意：亦可利用矩阵的初等列变换求解逆矩阵.,事实上：因为,所以,2、利用矩阵的初等行变求解矩阵方程.,事实上，对于,若A可逆，则有,对应于：,即,例3. 设 AX = B , 求 X . 其中,解 若,可逆，则,所以,同理亦可求解矩阵方程,若,可逆，则有,即,例4. 设A的伴随矩阵,且有,求 B.,解: 在,两边左乘,右乘 A ，得,即,因为,而,从而有,（*）,故（*）式可改写为,即,所以,第三章 小 结,矩阵的初等变换与线性方程组,矩 阵 的 初 等换,初 等 方 阵,矩 阵 的 秩,线 性 方 程 组,矩 阵 的 初 等 变 换,概 念,1.对换矩阵的i, j两行（列）.,2.用k0乘矩阵的第i行（列）.,3.把某i行（列）的k倍加到另一行（列）的对应元素上去.,性 质,1.初等变换不改变矩阵的秩.,2.对A经过有限次初等变换得到B，则A等价B.,用 途,求逆，,求矩阵A的秩、最简型、标准形.,初 等 方 阵,性 质,初等方阵都是可逆矩阵，其逆仍然是同种的初等矩阵.,对Amn矩阵实施一次行初等变换，相当于对A左乘一个相应的m阶初等方阵；对A实施一次列初等变换，相当于对A右乘一个相应的n阶初等方阵.,任何可逆矩阵都可以表为若干个初等方阵的乘积.,概 念,对单位矩阵实施一次初等变换而得到的矩阵称为初等方阵.,三种初等变换对应三种初等方阵.,矩 阵 的 秩,概 念,k阶子式.,秩：矩阵非零子式的最高阶数.,性 质,零矩阵的秩为零.,R(A)=R(AT),若B可逆，则R(AB)=R(A).,R(A+B) R(A)+R(B),R(AB) minR(A), R(B),R(AB) R(A)+R(B)-n,若AB=0, 则R(A)+R(B) n,线 性 方 程 组,有非零解 R(A)n.,求 解,1.化系数矩阵为最简形. 2.找等价的方程组. 3.写通解.,有解 R(A)=R(B).,求 解,1.把增广矩阵B化为最简形. 2. 找等价的方程组. 3.写通解.,Ax=0 解 的 结 构,Ax = 0 有唯一零解 R(A) = r = n.,Ax = 0 有无穷多个非零解 R(A) = r n.,其通解可表为：,为方程组的基础解系.,其中,Ax=b 解 的 结 构,Ax=b无解 R(A) R(B),Ax=b有解 R(A) =R(B) = r,1）当 r = n 时，方程组有唯一解. 2）当 r n 时，方程组有无穷多解.且其通解可表为：,
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