元二次方程的概念.ppt

一元二次方程的概念,一元二次方程的解法,一元二次方程根的判别式,一元二次方程根与系数的关系,用一元二次方程解决实际问题,一 元 二 次 方 程 复 习,只含有 的 ，并且都可以化 成 这样的方程叫做一元二次方程,把axbxc(a，b，c为常数,a)称为一元二次方程的一般形式，其中ax ， bx ， c分别称为二次项、一次项和常数项，a， b分别称为二次项系数和一次项系数,一个未知数x,整式方程,axbxc(a，b，c为常数, a)的形式，,一.相关概念,例1.下列方程中，关于x的一元二次方程有：1、x2=0 ，2、ax2+bx+c=0， 3、x23=x， 4、a2+ax=0， 5、(m1)x2+4x+5 =0， 7、(x+1)2=x29（ ） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个,A,6、x2+ ,关于x的方程 是一元二次方程，则a=_,【变式训练】,3,且,分析：,例2：已知方程 是关于x的一元二次方程，则m=_,分析：,2、利用方程解的定义：,根据方程的解的定义将x=1代入原方程，解之得,例4、关于的一元二次方程 ，若有一个根为2，,求另一个根和t的值。,分析：此例已知方程的一个根，利用这个根，先确定t的值，再求另一个根。,解：,例4、关于的一元二次方程 ，若有一个根为2，求另一根及t,3、已知：方程x25x5=0的一个根为m，求m 的值.,解：m是x2-5x+5=0的根 m2-5m+5=0 m2+5=5m m0 m+ =5,二.一元二次方程的解法 1直接开平方法,2. 配方法,1. 把方程化成一元二次方程的一般形式 2. 把二次项系数化为1 3. 把含有未知数的项放在方程的左边，不含未知数的项放 在方程的右边。 4. 方程的两边同加上一次项系数一半的平方 5. 方程的左边化成完全平方的形式，方程的右边化成非负数 6. 利用直接开平方的方法去解,二.一元二次方程的解法 1直接开平方法,2. 配方法,3. 公式法,1. 把方程化成一元二次方程的一般形式 写出方程各项的系数 计算出b2-4ac的值，看b2-4ac的值与0的关系，若b2-4ac0，则此方程没有实数根 。 当b2-4ac0时， 代入求根公式 计算出方程的值,二.一元二次方程的解法 1直接开平方法,2. 配方法,3. 公式法,4. 因式分解法,移项，使方程的右边为0。 利用提取公因式法，平方差公式，完全平方公式，十字相乘法对左边进行因式分解 令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程。 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。,本章主要方法和公式,（1）将方程变形，使方程的右边为零；,（2）将方程的左边因式分解；,（3）根据若AB=0，则A=0或B=0，将解一元二次方程转 化为解两个一元一次方程；,本章主要方法和公式,配方法解方程的基本步骤 把二次项系数化为1(方程的两边同时除以二次项系数a) 把常数项移到方程的右边; 把方程的左边配成一个完全平方式; 利用开平方法求出原方程的两个解. 一除、二移、三配、四开平方、五解.,1、把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值.,3、代入求根公式 :,4、写出方程x1，x2 的值,一化、二求、三代、四解,(1),(2),(3),(4),(5),例1、下列方程应选用哪种方法求解,例6、解下列方程 （1）x2=0 （2）,解： （1）x1=x2=0,（2）,注意： 第（1）题容易解得x=0这一个解； 第（2）题若方程两边都除以x6，得：x=2，则原方程少了一个解，原因是在除以 。故此种做法不可取，应避免在方程两边都除以一个代数式。,例7、用指定的方法解下列方程：,（1） 直接开平方法 （2） 配方法 （3） 公式法 （4） 因式分解法,（1） 直接开平方法,（2） 配方法,解：,2,3,用配方法解一元二次方程要注意两点： 首先将二次项系数变为1； 方程两边各加上一次项系数一半的平方，这是配方法的关键的一步，方程左边配成完全平方式，当右边是非负实数时，用开平方法即可求得方程的解,（3） 公式法,（4） 因式分解法,解：,运用因式分解法时，首先应将右边各项移到方程的左边，使方程右边为；然后再将方程左边的式子分解因式，使原方程化为两个一元一次方程，常借助于提公因式法、平方差公式、完全平方公式等来分解因式。,例2、用不同的方法解方程 x-6=5x,1、选择适当的方法解下列方程： （1）(x+1)2=4 （2）xx(x) （3）(x+1)(2x1)=5 （4）（y+1）2+2（y+1）+1=0,一元二次方程根的判别式,两不相等实根,两相等实根,无实根,一元二次方程,一元二次方程 根的判式是:,判别式的情况,根的情况,定理与逆定理,两个不相等实根,两个相等实根,无实根(无解),三、,所以，原方程有两个不相等的实根。,说明：解这类题目时，一般要先把方程化为一般形式，求出，然后对进行计算，使的符号明朗化，进而说明的符号情况，得出结论。,1、不解方程，判别方程的根的情况,例2：当k取什么值时，已知关于x的方程： （1）方程有两个不相等的实根；（2）方程有两个相等的实根；（3）方程无实根；,解：=,(1).当0 ，方程有两个不相等的实根, 8k+9 0 , 即,(2).当 = 0 ，方程有两个相等的实根, 8k+9 =0 , 即,(3).当 0 ，方程有没有实数根, 8k+9 0 , 即,2、根据方程的根的情况确定方程的待定系数的取值范围,说明：解此类题目时，也是先把方程化为一般形式，再算出，再由题目给出的根的情况确定的情况。从而求出待定系数的取值范围,K,例3、已知m为非负整数，且关于x的方程 ： 有两个实数根，求m的值。,解：方程有两个实数根 ,解得：,m为非负数,m=0或m=1,说明：当二次项系数也含有待定的字母时，要注意二次项系数不能为0，还要注意题目中待定字母的取值范围.,例4、求证：关于x的方程： 有两个不相等的实根。,证明：,所以，无论m取任何实数,方程有两个不相等的实数根。,无论m取任何实数都有：,即：0,3、证明方程根的情况,说明：此类题目要先把方程化成一般形式，再计算出，如果不能直接判断情况，就利用配方法把配成含用完全平方的形式，根据完全平方的非负性，判断的情况，从而证明出方程根的情况,四、一元二次方程根与系数的关系,以两个数x1、x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是,设 x1 、 x2是下列一元二次方程的两个根，填写下表,5,6,解：设方程的另一个根为x1，那么,例2、利用根与系数的关系，求一元二次方程 两个根的；（1）平方和；（2）倒数和,解：设方程的两个根是x1 x2，那么,五.实际问题,面积问题 动点运动问题 增长率问题 商品利润问题,例1、泉生中学为美化校园，准备在长32m，宽20m的长方形场地上，修筑若干条笔直等宽道路，余下部分作草坪，下面请同学们共同参与图纸设计，要求草坪面积为540m2求出设计方案中道路的宽分别为多少米？,答：道路宽为1米。,设计方案图纸为如图，草坪总面积540m2,长方形面积=长宽,解：设道路宽为 m,则草坪的长为 m，宽为 m，由题意得：,解得 （不合题意舍去）,分析：利用“图形经过平移”，它的面积大小不会改变的道理，把纵横两条路平移一下,设计方案图纸为如图，草坪总面积540m2,答：道路宽为2米。,32,20,解：设道路的宽为 米，根据题意得，,化简，得,解得 12， 250（不合题意舍去）,设计方案图纸为如图，草坪总面积540m2,32,20,解：设道路宽为 m，则草坪的长为 m，宽为 m，由题意得：,例2： 学校要建一个面积为150平方米的长方形自行车棚，为节约经费，一边利用18米长的教学楼后墙，另三边利用总长为35米的铁围栏围成，求自行车棚的长和宽.,有关“动点”的运动问题”,1)关键 以静代动 把动的点进行转换,变为线段的长度,2)方法 时间变路程 求“动点的运动时间”可以转化为求“动点的运动路程”，也是求线段的长度;,由此,学会把动点的问题转化为静点的问题,是解这类问题的关键.,3）常找的数量关系面积，勾股定理，相似三角形等；,例1：如图，在RtABC中，C=90。点P，Q同时由A，B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s。几秒后PCQ的面积为RtABC面积的一半？,A,B,C,P,Q,8m,6m,解：设 秒后后PCQ的面积为RtABC面积的一半,根据题意，得方程：,解这个方程，得：,（不合题意，舍去）,答：2秒后PCQ的面积为RtABC面积的一半。,例2：在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后 PBQ的面积等于8cm2？,解：设x秒后 PBQ的面积等于8cm2 根据题意，得 整理，得 解这个方程，得,所以2秒或4秒后 PBQ的面积等于8cm2,1、如图，在 ABCD中，对角线ACBC，AC=BC=2，动点P从点A出发沿AC向终点C移动，过点P分别作PMAB交BC于M。PNAD交DC于N，连接AM，设AP=x。 （1）四边形PMCN的形状有可能是菱形吗？请说明理由。 （2）当x为何值时，四边形PMCN的面积与ABM的面积相等？,2、已知：如图， ABCD中，AB=4，AD=6，BC边上的高AE=2，动点P从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位的速度向点D运动，同时动点Q也从点C出发，在线段BC上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。连接AQ、PQ、PC。设运动时间为t（秒）。 (1)当运动时间为1.5秒时，求出ABM的面积。 (2)用含t的代数式来表示PCQ的面积。 (3)当t为何值时，P、Q两点间的距离为 ？,3、如下图，AOBO50cm，OC是一条射线，OCAB，一只蚂蚁由点A以2cm/s的速度向点B爬行，同时另一只蚂蚁由点O以3cm/s的速度沿OC方向爬行，几秒后两只蚂蚁所在位置与点O组成的三角形的面积为450cm2?,10秒、15秒、30秒,95年的数量为A，97年的数量为B，经过两个时间单位，求增长率x。,A(1+x)2,=,B,增长率问题,例1：学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.,分析: 相等关系:经过两年平均增长后的图书=7.2万册.,例1：学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.,例2：某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到0.1%）,解：设原价为1个单位，每次降价的百分率为 x. 根据题意，得,解这个方程，得,答：每次降价的百分率为29.3%.,驶向胜利的彼岸,有关利润的知识基本知识,商品利润=售价-进价；,例1： 新华商场销售某种冰箱,每台进价为250元.市场调研表明:当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销价每降低50元时,平均每天能多售4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元,每台冰箱的定价应为多少元?,例1： 新华商场销售某种冰箱,每台进价为250元.市场调研表明:当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销价每降低50元时,平均每天能多售4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元,每台冰箱的定价应为多少元?,列方程解应用题的一般步骤是: 1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系? 2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位; 3.列:列代数式,列方程; 4.解:解所列的方程; 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; 6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活. 列方程解应用题的关键是: 找出相等关系.,实际问题,设未知数，列方程,数学问题,解方程,配方法,公式法,因式分解法,降 次,数学问题的解,检 验,实际问题的答案,本章知识结构图,例10、我们知道：对于任何实数，,x20，x2+10；,模仿上述方法解答下面问题。,（1）对于任何实数x，均有： 0；,求证：,解： （1）2x2+4x+3=2 (x+1)2+1 x不论为何实数，(x+1)2总是非负数 2x2+4x+30,x不论为何实数， 总是非负数 0,解答以下各题,若最简二次根式 是被开方 数相同的，则x的值为多少？,答案：3,x2+4x=x+18 x2+3x-18=0 解之得 x1= - 6，x2=3 检验：当x= - 6时，x2+4x=12， 不是最简二次根式， x