偏导数与全微分.ppt

第三节 偏导数与全微分,一.二元函数的偏导数,1.改变量,全改变量,偏改变量,偏改变量,2.偏导数,设有函数,如果极限,存在,则称此极限值为,在点,处对,的偏导数.,注,(1)记号,(2),在,处对,的偏导数等于,在,处的导数.,一元函数,2.偏导数,设有函数,如果极限,存在,则称此极限为,在点,处对,的偏导数.,注,(1)记号,(2),在,处对,的偏导数等于,在,处的导数.,一元函数,函数在某点各偏导数都存在,显然,例如,注意：,但在该点不一定连续.,在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!,3.偏导函数,如果函数,在区域,内每一点,处都有偏导数,则称其为,对自变量,或,的偏导函数,简称偏导数.,注,(1)记号,(2)记号,(4)偏导函数求法,对,求偏导把,看作常数,对,求偏导把,看作常数,按一元函数求导法则求.,(3)关系,偏导函数在,处的函数值.,函数,在,处的偏导数等于,重要注意事项,原始法则,二元函数偏导数的几何意义:,是曲线,在点 M0 处的切线,对 x 轴的斜率.,在点M0 处的切线,斜率.,是曲线,对 y 轴的,.,.,偏导数的几何意义:,例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的,偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .,偏导数定义为,(请自己写出),例1 . 求,解法1:,解法2:,在点(1 , 2) 处的偏导数.,例2,已知,求,解,例3 设,求证,证,补充 设,则,（2009年考研真题4分）,解,例4 求函数,的偏导数.,解,第八章,*二、全微分在数值计算中的应用,应用,第三节,一元函数 y = f (x) 的微分,近似计算,估计误差,本节内容:,一、全微分的定义,全微分,二元函数的全微分,(1)是关于,的线性式子,(2)是比,高阶的无穷小量,和,二元函数的全微分,1.定义,如果函数,在点,处的全,改变量,可以表成如下形式,其中,与,无关,则称函数可微,并称,为函数,在点,处的全微分.记作:,或,2.可导与可微及连续的关系,定理,证,因,可微,则,故,连续.,可微必连续.,定理8.1,如果函数,在点,处可微,则它在该点存在两个偏导,且,证,因,可微,所以,令,则,从而,故,注,因为,所以,对x偏微分,对y偏微分,推广:,类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.,例如, 三元函数,习惯上把自变量的增量用微分表示,记作,的全微分为,于是,附:,偏导存在不一定可微.,例如 函数,用定义求,但不可微.,反证法:,假设,在,处可微,则,即,而,不存在.,例1. 计算函数,在点 (2,1) 处的全微分.,解:,例2. 计算函数,的全微分.,解:,例5 求,的全微分.,解,例6 求,的全微分.,解,补充,(2005年考研真题4分),设二元函数,则,解,定理8.2,如果函数,在点,及其邻域,内有连续的偏导数,和,则该函数在点,处可微.,证,又,故,而,故,从而函数可微.,多元函数连续、可导、可微的关系,可知当,*二、全微分在数值计算中的应用,1. 近似计算,由全微分定义,较小时,及,有近似等式:,(可用于近似计算; 误差分析),(可用于近似计算),(1)函数改变量的近似值,例7 有一两端封闭的圆柱形金属桶,底半径,5厘米,高18厘米,若在其表面上涂厚0.01,厘米的油漆,问共需油漆多少立方厘米?,解,设圆柱的底半径为,高为,体积为,则,令,则,(立方厘米).,半径由 20cm 增大,解: 已知,即受压后圆柱体体积减少了,例8. 有一圆柱体受压后发生形变,到 20.05cm ,则,高度由100cm 减少到 99cm ,体积的近似改变量.,求此圆柱体,(2)函数值的近似值,例9 求,的近似值.,解,设,则,令,代入得,作业题,习题八(A) 2、3、4、5、6、7、8、14.,思考与练习：,函数,在,可微的充分条件是( ),的某邻域内存在 ;,时是无穷小量 ;,时是无穷小量 .,1. 选择题,2. 设,解:,利用轮换对称性 , 可得,注意: x , y , z 具有 轮换对称性,在点 (0,0) 可微 .,备用题,在点 (0,0) 连续且偏导数存在,续,证: 1),因,故函数在点 (0, 0) 连续 ;,但偏导数在点 (0,0) 不连,证明函