高考数学第10章计数原理、概率、随机变量及其分布第2节二项式定理教学案（含解析）理.docx

第二节二项式定理考纲传真会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题1二项式定理(1)二项式定理：(ab)nCanCan1bCanrbrCbn(nN*)；(2)通项公式：Tr1Canrbr，它表示第r1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，C.2二项式系数的性质性质性质描述对称性与首末等距离的两个二项式系数相等，即CC增减性二项式系数C当k(nN*)时，二项式系数是递减的最大值当n为偶数时， 中间的一项取得最大值当n为奇数时，中间的两项和相等，同时取得最大值1CCCC2n.2CCCCCC2n1.基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)Cankbk是(ab)n的展开式中的第k项( )(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项( )(3)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关( )(4)通项Tk1Cankbk中的a和b不能互换( )答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)(12x)4展开式中第3项的二项式系数为( )A6 B6C24 D24A(12x)4展开式中第3项的二项式系数为C6.故选A.3(教材改编)二项式的展开式中x3y2的系数是( )A5 B20C20 D5A二项式5的通项为Tr1C (2y).根据题意，得解得r2.所以x3y2的系数是C(2)25.故选A.4(教材改编)的值为( )A1 B2C2 019 D2 0192 020B原式1.故选A.5(1x)n的二项展开式中，仅第6项的系数最大，则n_.10T6Cx5，又仅有第6项的系数最大，n10.二项展开式的有关问题【例1】(1)(x22)的展开式的常数项是( )A3 B2C2 D3(2)(2018广州二模)的展开式中，x3y3的系数是_(用数字作答)(1)D(2)120(1)能够使其展开式中出现常数项，由多项式乘法的定义可知需满足：第一个因式取x2项，第二个因式取项得x2C(1)45；第一个因式取2，第二个因式取(1)5得2(1)5C2，故展开式的常数项是5(2)3，故选D.(2)表示6个因式x2y的乘积，在这6个因式中，有3个因式选y，其余的3个因式中有2个选x2，剩下一个选，即可得到x3y3的系数即x3y3的系数是CC(2)203(2)120.规律方法求二项展开式中的特定项的方法,求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项Tk1的特点，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围(k0，1，2，n).(1)第m项：此时k1m，直接代入通项；(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；(3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.,特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解.(4)求特定项或特定项的系数要多从组合的角度求解，一般用通项公式太麻烦. (1)若的展开式中常数项为，则实数a的值为( )A2 B.C2 D(2)已知在的展开式中，第6项为常数项，则展开式中所有的有理项分别是_(1)A(2)x2，x2(1)的展开式的通项为Tr1，令123r0，得r4.故C，即，解得a2.故选A.(2)由Tr1r.第6项为常数项，r5时有0，即n10.当时，即r2,5,8时Z，所以展开式中的有理项分别为x2，x2.二项式系数的性质及应用考法1二项式系数的和【例2】(1)在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为321，则x2的系数为( )A50 B70C90 D120(2)(2019汕头质检)若(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9，且(a0a2a8)2(a1a3a9)239，则实数m的值为_(1)C(2)3或1(1)令x1，则n4n，所以n的展开式中，各项系数和为4n，又二项式系数和为2n，所以2n32，解得n5.二项展开式的通项Tr1Cx5rrC3rx5r，令5r2，得r2，所以x2的系数为C3290，故选C.(2)令x0，则(2m)9a0a1a2a9，令x2，则m9a0a1a2a3a9，又(a0a2a8)2(a1a3a9)2(a0a1a2a9)(a0a1a2a3a8a9)39，(2m)9m939，m(2m)3，m3或m1.考法2二项式系数的性质【例3】设m为正整数，(xy)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(xy)2m1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a7b，则m( )A5 B6C7 D8B根据二项式系数的性质知，(xy)2m的二项式系数最大的项有一项，即Ca，(xy)2m1的二项式系数最大的项有两项，即CCb.又13a7b，所以13C7C，将各选项中m的取值逐个代入验证，知m6满足等式规律方法1.“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，b，cR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法.2.若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0a2a4偶数项系数之和为a1a3a5 (1)若的展开式中含x的项为第6项，设(13x)na0a1xa2x2anxn，则a1a2an的值为_(2)已知的展开式中的二项式系数和为32，的展开式中的各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为_(1)255(2)40(1)n展开式的第k1项为Tk1C(x2)nkC(1)kx2n3k，当k5时，2n3k1，n8.对(13x)8a0a1xa2x2a8x8，令x1，得a0a1a828256.又当x0时，a01，a1a2a8255.(2)的展开式中的二项式系数和为32，所以2n32，所以n5.令x1，得的展开式中的各项系数的和为(1a)(21)52，所以a1，所以的展开式中的常数项为C(1)3253C(1)225240.1(2017全国卷)(1x)6展开式中x2的系数为( )A15 B20 C30 D35C因为(1x)6的通项为Cxr，所以(1x)6展开式中含x2的项为1Cx2和Cx4.因为CC2C230，所以(1x)6展开式中x2的系数为30.故选C.2(2015全国卷)(x2xy)5的展开式中，x5y2项的系数为( )A10 B20 C30 D60C法一：利用二项展开式的通项公式求解(x2xy)5(x