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文档简介

第七节抛物线考纲传真1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合思想.3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用1抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线2抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义:焦点F到准线l的距离图形顶点坐标O(0,0)对称轴x轴y轴焦点坐标FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0,yRx0,yRy0,xRy0,xR开口方向向右向左向上向下与抛物线有关的结论(1)抛物线y22px(p0)上一点P(x0,y0)到焦点F的距离|PF|x0,也称为抛物线的焦半径(2)y2ax(a0)的焦点坐标为,准线方程为x.(3)设AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,y1y2p2.弦长|AB|x1x2p(为弦AB的倾斜角)以弦AB为直径的圆与准线相切通径:过焦点垂直于对称轴的弦,长等于2p,通径是过焦点最短的弦基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线( )(2)方程yax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是,准线方程是x.( )(3)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形( )(4)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切( )答案(1)(2)(3)(4)2抛物线yx2的准线方程是( )Ay1 By2Cx1 Dx2Ayx2,x24y,准线方程为y1.3(教材改编)若抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是( )A. B. C. D0BM到准线的距离等于M到焦点的距离,又准线方程为y,设M(x,y),则y1,y.4(教材改编)过抛物线y24x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,如果x1x26,则|PQ|等于( )A9 B8 C7 D6B抛物线y24x的焦点为F(1,0),准线方程为x1.根据题意可得,|PQ|PF|QF|x11x21x1x228.5(教材改编)已知抛物线的顶点是原点,对称轴为坐标轴,并且经过点P(2,4),则该抛物线的标准方程为_y28x或x2y设抛物线方程为y22px(p0)或x22py(p0)将P(2,4)代入,分别得方程为y28x或x2y.抛物线的定义与应用【例1】设P是抛物线y24x上的一个动点,若B(3,2),则|PB|PF|的最小值为_4如图,过点B作BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点P1,则|P1Q|P1F|.则有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4,即|PB|PF|的最小值为4.拓展探究(1)若将本例中的B点坐标改为(3,4),试求|PB|PF|的最小值(2)若将本例中的条件改为:已知抛物线方程为y24x,直线l的方程为xy50,在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1,到直线l的距离为d2,求d1d2的最小值解(1)由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部|PB|PF|的最小值即为B,F两点间的距离,F(1,0),|PB|PF|BF|2,即|PB|PF|的最小值为2.(2)由题意知,抛物线的焦点为F(1,0)点P到y轴的距离d1|PF|1,所以d1d2d2|PF|1.易知d2|PF|的最小值为点F到直线l的距离,故d2|PF|的最小值为3,所以d1d2的最小值为31.规律方法与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径. (1)已知P是抛物线y24x上的一个动点,Q是圆(x3)2(y1)21上的一个动点,N(1,0)是一个定点,则|PQ|PN|的最小值为( )A3 B4 C5 D.1(2)动圆过点(1,0),且与直线x1相切,则动圆的圆心的轨迹方程为_. (1)A(2)y24x(1)由抛物线方程y24x,可得抛物线的焦点F(1,0),又N(1,0),所以N与F重合过圆(x3)2(y1)21的圆心M作抛物线准线的垂线MH,交圆于Q,交抛物线于P,则|PQ|PN|的最小值等于|MH|13.(2)设动圆的圆心坐标为(x,y),则圆心到点(1,0)的距离与到直线x1的距离相等,根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y24x.抛物线的标准方程与几何性质【例2】(1)点M(5,3)到抛物线yax2的准线的距离为6,那么抛物线的标准方程是( )Ax2y Bx2y或x2yCx2y Dx212y或x236y(2)(2016全国卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点已知|AB|4,|DE|2,则C的焦点到准线的距离为( )A2 B4 C6 D8(3)如图所示,过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若|BC|2|BF|,且|AF|3,则此抛物线的方程为( )Ay2x By29xCy2x Dy23x(1)D(2)B(3)D(1)将yax2化为x2y.当a0时,准线y,则36,a.当a0,即m1时,x1,222.从而|AB|x1x2|4.由题设知|AB|2|MN|,即42(m1),解得m7.所以直线AB的方程为yx7.考法2与抛物线弦长或中点有关的问题【例4】已知抛物线C:x22py(p0),过焦点F的直线交C于A,B两点,D是抛物线的准线l与y轴的交点(1)若ABl,且ABD的面积为1,求抛物线的方程;(2)设M为AB的中点,过M作l的垂线,垂足为N.证明:直线AN与抛物线相切解(1)ABl,|FD|p,|AB|2p.SABDp2,p1,故抛物线C的方程为x22y.(2)设直线AB的方程为ykx,由得x22kpxp20,x1x22kp,x1x2p2.其中A,B.M,N.kAN.又x22py,y.抛物线x22py在点A处的切线斜率k.直线AN与抛物线相切规律方法解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要用到根与系数的关系.(2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|x1|x2|p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法. 已知抛物线C:y22px(p0)的焦点为F,抛物线C与直线l1:yx的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C的方程;(2)不过原点的直线l2与l1垂直,且与抛物线交于不同的两点A,B,若线段AB的中点为P,且|OP|PB|,求FAB的面积. 解(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8,8),(8)22p8,2p8,抛物线方程为y28x.(2)直线l2与l1垂直,故可设直线l2:xym,A(x1,y1),B(x2,y2),且直线l2与x轴的交点为M.由得y28y8m0,6432m0,m2.y1y28,y1y28m,x1x2m2.由题意可知OAOB,即x1x2y1y2m28m0,m8或m0(舍),直线l2:xy8,M(8,0)故SFABSFMBSFMA|FM|y1y2|324.1(2018全国卷)设抛物线C:y24x的焦点为F,过点(2,0)且斜率为的直线与C交于M,N两点,则( )A5 B6 C7 D8D法一:过点(2,0)且斜率为的直线的方程为y(x2),由得x25x40,解得x1或x4,所以或不妨设M(1,2),N(4,4),易知F(1,0),所以(0,2),(3,4),所以8.故选D.法二:过点(2,0)且斜率为的直线的方程为y(x2),由得x25x40,设M(x1,y1),N(x2,y2),则y10,y20,根据根与系数的关系,得x1x25,x1x24.易知F(1,0),所以(x11,y1),(x21,y2),所以(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1445188.故选D.2(2016全国卷)设F为抛物线C:y24x的焦点,曲线y(k0)与C交于点P,PFx轴,则k( )A. B1 C. D2Dy24x,F(1,0)又曲线y(k0)与C交于点P,PFx轴,P(1,2)将点P(1,2)的坐标代入y(k0)得k2.故选D.3(2018全国卷)已知点M(1,1)和抛物线C:y24x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点若AMB90,则k_.2法一:由题意知抛物线的焦点为(1,0),则过C的焦点且斜率为k的直线方程为yk(x1)(k0),由消去y得k2(x1)24x,即k2x2(2k24)xk20.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,x1x21.由消去x得y24,即y2y40,则y1y2,y1y24.由AMB90,得(x11,y11)(x21,y21)x1x2x1x21y1y2(y1y2)10,将x1x2,x1x21与y1y2,y1y24代入,得k2.法二:设抛物线的焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y2),则所以yy4(x1x2),则k.取AB的中点M(x0,y0),分别过点A,B作准线x1的垂线,垂足分别为A,B,又AMB90,点M在准线x1上,所以|MM|AB|(|AF|BF|)(|AA|BB|)又M为AB的中点,所以MM平行于x轴,且y01,所以y1y22,所以k2.4(2017全国卷)已知F是抛

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