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文档简介

课后限时集训(四十九)(建议用时:60分钟)A组基础达标1(2019湖北部分学校联考)已知椭圆D:1(ab0)的右焦点为F,A为短轴的一个端点,且|OA|OF|,AOF的面积为1(其中O为坐标原点)(1)求椭圆D的标准方程;(2)过椭圆D长轴左端点C作直线l与直线x2交于点M,直线l与椭圆D的另一交点为P,证明:为定值解(1)因为|OA|OF|,所以bc,而AOF的面积为1,所以bc1,解得bc,所以a2b2c24,所以椭圆D的标准方程为1.(2)由题意可知直线MC的斜率存在,设其方程为yk(x2),代入1,得(12k2)x28k2x8k240,所以P.又M(2,4k),所以(2,4k)4,为定值2(2019东北三校联合模拟)已知圆M:x2(y2)21,直线l:y1,动圆P与圆M相外切,且与直线l相切设动圆圆心P的轨迹为E.(1)求E的方程;(2)若点A,B是E上的两个动点,O为坐标原点,且16,求证:直线AB恒过定点解(1)设P(x,y),则(y1)1x28y.所以E的方程为x28y.(2)证明:易知直线AB的斜率存在,设直线AB:ykxb,A(x1,y1),B(x2,y2)将直线AB的方程代入x28y中,得x28kx8b0,所以x1x28k,x1x28b.x1x2y1y2x1x28bb216b4,所以直线AB恒过定点(0,4)3(2019湖南五市十校联考)已知椭圆C:1(ab0)的离心率为,过左焦点F且垂直于长轴的弦长为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)点P(m,0)为椭圆C的长轴上的一个动点,过点P且斜率为的直线l交椭圆C于A,B两点,证明:|PA|2|PB|2为定值解(1)由可得故椭圆C的标准方程为1.(2)证明:设直线l的方程为xym,代入1,消去x,并整理得25y220my8(m225)0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2m,y1y2,又|PA|2(x1m)2yy,同理可得|PB|2y.则|PA|2|PB|2(yy)(y1y2)22y1y241.所以|PA|2|PB|2是定值B组能力提升1(2019邢台模拟)已知椭圆C:1(ab0)的短轴长为2,离心率为,圆E的圆心在椭圆C上,半径为2,直线yk1x与直线yk2x为圆E的两条切线(1)求椭圆C的标准方程;(2)试问:k1k2是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由解(1)由2b2得b,e,a2b2c2,解得a220,b25,椭圆C的标准方程为1.(2)设E(x0,y0),直线yk1x与圆E:(xx0)2(yy0)24相切,2,整理得(x4)k2x0y0k1y40,同理可得(x4)k2x0y0k2y40,k1,k2为方程(x4)x22x0y0xy40的两个根,k1k2.又E(x0,y0)在椭圆C:1上,y5,k1k2,故k1k2的定值为.2已知椭圆C:1(ab0)的离心率e,短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程;(2)如图,椭圆左顶点为A,过原点O的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P,Q两点,直线PA,QA分别与y轴交于M,N两点试问以MN为直径的圆是否经过定点(与直线PQ的斜率无关)?请证明你的结论解(1)由短轴长为2,得b,由e,得a24,b22.所以椭圆C的标准方程为1.(2)以MN为直径的圆过定点F(,0)证明如下:设P(x0,y0),则Q(x0,y0),且1,即x2y4,因为A(2,0),所以直线PA方程为y(x2),所以M,直线QA方程为y(x2),所以N,以

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