高考数学一轮复习第六章数列第一节数列的概念及其简单表示法教案理苏教版.docx

第一节 数列的概念及其简单表示法1数列的有关概念概念含义数列按照一定顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列an的第n项an通项公式数列an的第n项an与n之间的关系能用公式anf(n)表示，这个公式叫做数列的通项公式前n项和数列an中，Sna1a2an叫做数列的前n项和2数列的表示方法列表法列表格表示n与an的对应关系图象法把点(n，an)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用公式表示的方法递推公式使用初始值a1和an1f(an)或a1，a2和an1f(an，an1)等表示数列的方法3an与Sn的关系若数列an的前n项和为Sn，则an4数列的分类小题体验1数列1，的一个通项公式是_解析：1，数列1,4,9,16，对应通项n2，数列1,3,5,7，对应通项2n1，数列1,1，1,1，对应通项(1)n，故an(1)n.答案：an(1)n2已知数列满足an4an13，且a10，则a5_.解析：a24a133，a34a2315，a44a3363，a54a43255.答案：2553数列an的通项公式为ann29n，则该数列第_项最大答案：4或54若数列的前n项和Snn23n，则_.解析：数列的前n项和Snn23n，a1a2a3S3323318，a4a5a6S6S336，2.答案：21易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号2在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成anSnSn1的形式，但它只适用于n2的情形小题纠偏1已知数列an的前n项和Sn2n3，则数列an的通项公式是_解析：当n1时，a1S1231，当n2时，anSnSn1(2n3)(2n13)2n2n12n1.又a11不适合上式，故an答案：an2若数列的前n项和Snan，则的通项公式an_.解析：由Snan得，当n2时，Sn1an1，两式相减，得ananan1，当n2时，an2an1，即2.又n1时，S1a1a1，a11，数列an是以1为首项，2为公比的等比数列，an(2)n1.答案：(2)n1题组练透1若ann2n3(其中为实常数)，nN*，且数列为单调递增数列，则实数的取值范围是_解析：法一：(函数观点)因为为单调递增数列，所以an1an，即(n1)2(n1)3n2n3，化简为2n1对一切nN*都成立，所以3.故实数的取值范围是(3，)法二：(数形结合法)因为为单调递增数列，所以a1a2，要保证a1a2成立，二次函数f(x)x2x3的对称轴x应位于1和2中点的左侧，即，亦即3，故实数的取值范围是(3，)答案：(3，)2已知数列an的通项公式an(n1)0.9n，求n为何值时，an取得最大值解：因为a120.91.8，a230.812.43，所以 a1a2，所以 a1不是数列an中的最大项设第n项an的值最大，则即解得所以当n为8或9时，an取得最大值谨记通法求数列中最大或最小项的2种方法(1)单调性法：可以借助于函数的单调性来研究数列的最值问题有时可利用作差或作商比较法来探究数列的单调性(2)不等式组法：若满足则an为数列an中的最大项；若满足则an为数列an中的最小项典例引领已知下面数列an的前n项和Sn，求an的通项公式(1)Sn2n23n；(2)Sn3nb.解：(1)a1S1231，当n2时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，由于a1也适合此等式，所以an4n5.(2)a1S13b，当n2时，anSnSn1(3nb)(3n1b)23n1.当b1时，a1适合此等式当b1时，a1不适合此等式所以当b1时，an23n1；当b1时，an由题悟法已知Sn求an的 3个步骤(1)先利用a1S1求出a1；(2)用n1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用anSnSn1(n2)便可求出当n2时an的表达式；(3)对n1时的结果进行检验，看是否符合n2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n1与n2两段来写即时应用已知数列an的前n项和为Sn.(1)若Sn(1)n1n，求a5a6及an；(2)若Sn3n2n1，求an.解：(1)a5a6S6S4(6)(4)2，当n1时，a1S11；当n2时，anSnSn1(1)n1n(1)n(n1)(1)n1n(n1)(1)n1(2n1)，又a1也适合此式，所以an(1)n1(2n1)(2)因为当n1时，a1S16；当n2时，anSnSn1(3n2n1)3n12(n1)123n12，由于a1不适合此式，所以an锁定考向递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接常见的命题角度有：(1)形如an1anf(n)，求an；(2)形如an1anf(n)，求an；(3)形如an1AanB(A0且A1)，求an. 题点全练角度一：形如an1anf(n)，求an1已知a12，an12nan，则数列an的通项公式an_.解析：an12nan，2n，当n2时，ana12n12n2222.又a11也符合上式，an2.答案：2角度二：形如an1anf(n)，求an2已知a11，anan1(n2，nN*)，求数列an的通项公式解：由anan1(n2)，得anan1(n2)则a2a11，a3a2，anan1.将上述n1个式子累加，得an2.当n1时，a11也满足，故an2(nN*)角度三：形如an1AanB(A0且A1)，求an3已知数列an满足a11，an13an2，求数列an的通项公式解：因为an13an2，所以an113(an1)，所以3，所以数列an1为等比数列，公比q3，又a112，所以an123n1，所以an23n11(nN*)通法在握典型的递推数列及处理方法递推式方法示例an1anf(n)叠加法a11，an1an2nan1anf(n)叠乘法a11，2nan1AanB (A0,1，B0)化为等比数列a11，an12an1演练冲关根据下列条件，求数列an的通项公式(1)满足a11，an3n1an1(n2)；(2)满足a11，anan1(n2)解：(1)由a11，anan13n1(n2)，得a11，a2a13，a3a232，an1an23n2，anan13n1，以上等式两边分别相加得an13323n1.当n1时，a11也适合，an.(2)anan1(n2)，an1an2，a2a1.以上(n1)个式子相乘得ana1.当n1时也满足此等式，an.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2018南通期末)已知数列的前4项为1，则数列的一个通项公式为_解析：根据题意，数列的前4项为1，则a1(1)111，a2(1)21，a3(1)31，a4(1)41，以此类推可得：an(1)n1.答案：an(1)n12(2018盐城二模)已知数列的前n项和为Sn，a11，an12Sn(nN*)，则数列an的通项公式an_.解析：当n2时，an2Sn1，an1an2Sn2Sn12an，即an13an，a22a12，an23n2，n2.当n1时，a11，数列的通项公式为an答案：an3(2018苏州期中)已知数列的通项公式为an5n1，数列的通项公式为bnn2，若将数列，中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列，则c6的值为_解析：数列的通项公式为an5n1，数列中数据符合平方的数有：16,36,81,121,196,256.数列的通项公式为bnn2，当n4,6,9,11,14,16时符合上面各个数数列，中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列，c6的值为256.答案：2564(2019南通第一中学测试)已知数列an对任意的p，qN*，满足apqapaq且a26，则a10_.解析：a4a2a212，a6a4a218，a10a6a430.答案：305数列an的前n项和为Sn，若SnSn12n1(n2)，且S23，则a1a3的值为_解析：因为SnSn12n1(n2)，令n2，得S2S13，由S23得a1S10，令n3，得S3S25，所以S32，则a3S3S21，所以a1a30(1)1.答案：16(2018无锡期末)对于数列an，定义数列bn满足bnan1an(nN*)，且bn1bn1(nN*)，a31，a41，则a1_.解析：因为b3a4a3112，所以b2a3a2b313，所以b1a2a1b214，三式相加可得a4a19，所以a1a498.答案：8二保高考，全练题型做到高考达标1数列an满足anan1(nN*)，a22，则通项公式an_.解析：因为anan1，a22，所以a1，a3，a42，所以an答案：2(2018启东中学调研)已知数列an满足a12，an1(nN*)，则连乘积a1a2a3a2 017a2 018_.解析：因为a12，an1，所以a23，a3，a4，a52，所以数列an的周期为4，且a1a2a3a41，所以a1a2a3a2 017a2 018a2 017a2 018a1a26.答案：63(2019苏州模拟)在数列中，若a41，a125，且任意连续三项的和都是15，则a2 018_.解析：任意连续三项的和都是15，anan1an215，同时an1an2an315，则anan1an2an1an2an3，即an3an，即数列是周期为3的周期数列，则由a41，a125，得a4a11，a12a9a6a35，则由a1a2a315，得a29，a2 018a67232a29.答案：94(2018常州期中)已知数列的通项公式an，则中的最大项的值是_解析：an，当且仅当n6时取等号，则中的最大项的值为.答案：5.已知数列an的通项公式为an(1)n2n1，该数列的项排成一个数阵(如图)，则该数阵中的第10行第3个数为_a1a2a3a4a5a6解析：由题意可得该数阵中的第10行第3个数为数列an的第12393348项，而a48(1)4896197，故该数阵中的第10行第3个数为97.答案：976(2018常州第一中学检测)已知an满足an1an2n，且a133，则的最小值为_解析：由已知条件可知，当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)33242(n1)n2n33，又n1时，a133满足此式所以ann2n33，nN*，所以n1.令f(n)n1，则f(n)在1,5上为减函数，在6，)上为增函数，又f(5)，f(6)，则f(5)f(6)，故f(n)的最小值为.答案：7在数列an中，a11，anan1(n2，nN*)，则an_.解析：由题意知，所以ana11.答案：8数列an定义如下：a11，当n2时，an若an，则n_.解析：因为a11，所以a21a12，a3，a41a23，a5，a61a3，a7，a81a44，a9，所以n9.答案：99已知Sn为正项数列an的前n项和，且满足Snaan(nN*)(1)求a1，a2，a3，a4的值；(2)求数列an的通项公式解：(1)由Snaan(nN*)，可得a1aa1，解得a11；S2a1a2aa2，解得a22；同理，a33，a44.(2)Snaan，当n2时，Sn1aan1，得(anan11)(anan1)0.由于anan10，所以anan11，又由(1)知a11，故数列an是首项为1，公差为1的等差数列，故ann.10已知an是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，S42S24，在数列bn中，bn.(1)求公差d的值；(2)若a1，求数列bn中的最大项和最小项的值；(3)若对任意的nN*，都有bnb8成立，求a1的取值范围解：(1)因为S42S24，所以4a1d2(2a1d)4，解得d1.(2)因为a1，所以数列an的通项公式为an(n1)1n，所以bn11.因为函数f(x)1在和上分别是单调减函数，所以b3b2b11，当n4时，1bnb4，所以数列bn中的最大项是b43，最小项是b31.(3)由bn1，得bn1.又函数f(x)1在(，1a1)和(1a1，)上分别是单调减函数，且x1a1时，y1；当x1a1时，y1.因为对任意的nN*，都有bnb8，所以71a18，所以7a16，所以a1的取值范围是(7，6)三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2018通州期末)在我国古代数学著作孙子算经中，卷下第二十六题是：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？满足题意的答案可以用数列表示，该数列的通项公式可以表示为an_.解析：本题的意思是一个数用3除余2，用7除也余2，所以用3与7的最小公倍数21除也余2，而用21除余2的数我们首先就会想到23，而23恰好被5除余3，即最小的一个数为23，同时这个数相差又是3,5,7的最小公倍数，即357105，所以该数列的通项公式可以表示为an105n23.答案：105n232数列an的通项公式为ann，若对任意的nN*都有ana5，则实数b的取值范围为_解析：由题意可得b0，因为对所有nN*，不等式ana5恒成立，所以即解得20b30，经验证，数列在(1,4)上递减，在(5，)上递增，或在(1,5)上递减，在(6，)上递增，符合题意所以b20,30答案：20,303已知