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文档简介

第二节 两条直线的位置关系1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行:对于两条不重合的直线l1,l2,若其斜率分别为k1,k2,则有l1l2k1k2.当直线l1,l2不重合且斜率都不存在时,l1l2.(2)两条直线垂直:如果两条直线l1,l2的斜率存在,设为k1,k2,则有l1l2k1k21.当其中一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率为0时,l1l2.2两条直线的交点的求法直线l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,则l1与l2的交点坐标就是方程组的解3三种距离公式P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点之间的距离|P1P2|点P0(x0,y0)到直线l:AxByC0的距离d平行线AxByC10与AxByC20间距离d小题体验1已知过点A(2,m)和B(m,4)的直线与直线2xy10平行,则实数m的值为_解析:由kAB2,得m8.答案:82已知点(a,2)(a0)到直线l:xy30的距离为1,则a_.解析:由题意知1,所以|a1|,又a0,所以a1.答案:13若直线ax2y10与直线2x3y10垂直,则a的值为_解析:直线ax2y10的斜率k1,直线2x3y10的斜率k2,因为两直线垂直,所以1,即a3.答案:31在判断两条直线的位置关系时,易忽视斜率是否存在,两条直线都有斜率可根据条件进行判断,若无斜率,要单独考虑2运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x,y的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错小题纠偏1已知直线l1:(t2)x(1t)y1与l2:(t1)x(2t3)y20互相垂直,则t的值为_解析:若l1的斜率不存在,此时t1,l1的方程为x,l2的方程为y,显然l1l2,符合条件;若l2的斜率不存在,此时t,易知l1与l2不垂直当l1,l2的斜率都存在时,直线l1的斜率k1,直线l2的斜率k2,因为l1l2,所以k1k21,即1,所以t1.综上可知t1或t1.答案:1或12已知直线3x4y30与直线6xmy140平行,则它们之间的距离是_解析:因为,所以m8,直线6xmy140可化为3x4y70,两平行线之间的距离d2.答案:2(基础送分型考点自主练透)题组练透1(2019沭阳月考)若直线ymx1与直线y4x8垂直,则m_.解析:由直线ymx1与直线y4x8垂直,得m41,解得m.答案:2(2018苏州模拟)过点(1,0)且与直线x2y20平行的直线方程是_解析:依题意,设所求的直线方程为x2ya0,由于点(1,0)在所求直线上,则1a0,即a1,则所求的直线方程为x2y10.答案:x2y103(2019启东调研)已知直线l1:(a1)xyb0,l2:axby40,求满足下列条件的a,b的值(1)l1l2,且l1过点(1,1);(2)l1l2,且l2在第一象限内与两坐标轴围成的三角形的面积为2.解:(1)因为l1l2,所以a(a1)b0.又l1过点(1,1),所以ab0.由,解得或当a0,b0时不合题意,舍去所以a2,b2.(2)因为l1l2,所以ab(a1)0,由题意,知a0,b0,直线l2与两坐标轴的交点坐标分别为,.则2,得ab4,由,得a2,b2.谨记通法1已知两直线的斜率存在,判断两直线平行垂直的方法(1)两直线平行两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等;(2)两直线垂直两直线的斜率之积等于1.提醒当直线斜率不确定时,要注意斜率不存在的情况2由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l1:A1xB1yC10(AB0) l2:A2xB2yC20(AB0)l1与l2垂直的充要条件A1A2B1B20l1与l2平行的充分条件(A2B2C20)l1与l2相交的充分条件(A2B20)l1与l2重合的充分条件(A2B2C20)提醒在判断两直线位置关系时,比例式与,的关系容易记住,在解答填空题时,建议多用比例式来解答典例引领已知A(4,3),B(2,1)和直线l:4x3y20,在坐标平面内求一点P,使PAPB,且点P到直线l的距离为2.解:设点P的坐标为(a,b)因为A(4,3),B(2,1),所以线段AB的中点M的坐标为(3,2)而AB的斜率kAB1,所以线段AB的垂直平分线方程为y2x3,即xy50.因为点P(a,b)在直线xy50上,所以ab50.又点P(a,b)到直线l:4x3y20的距离为2,所以2,即4a3b210,由联立可得或所以所求点P的坐标为(1,4)或.由题悟法距离问题的常见题型及解题策略(1)求两点间的距离关键是确定两点的坐标,然后代入公式即可,一般用来判断三角形的形状等(2)解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式,若已知点到直线的距离求直线方程,一般考虑待定斜率法,此时必须讨论斜率是否存在(3)求两条平行线间的距离要先将直线方程中x,y的对应项系数转化成相等的形式,再利用距离公式求解也可以转化成点到直线的距离问题即时应用1(2019阜宁中学检测)在坐标轴上,与点A(1,5),B(2,4)等距离的点的坐标是_解析:线段AB的垂直平分线方程为y,令x0,可得y3;令y0,可得x3,在坐标轴上,与点A(1,5),B(2,4)等距离的点的坐标是(0,3)或(3,0)答案:(0,3)或(3,0)2(2018南通中学测试)已知点M是直线xy2上的一个动点,且点P(,1),则PM的最小值为_解析:PM的最小值即为点P(,1)到直线xy2的距离,又d1,故PM的最小值为1.答案:13已知直线l1与l2:xy10平行,且l1与l2的距离是,则直线l1的方程为_解析:因为l1与l2:xy10平行,所以可设l1的方程为xyb0(b1)又因为l1与l2的距离是,所以,解得b1或b3,即l1的方程为xy10或xy30.答案:xy10或xy30锁定考向对称问题是高考常考内容之一,也是考查学生转化能力的一种常见题型常见的命题角度有:(1)点关于点对称;(2)点关于线对称;(3)线关于线对称 题点全练角度一:点关于点对称1(2019丹阳高级中学检测)点A(2,3)关于点P(0,5)对称的点的坐标为_解析:设A(2,3)关于点P(0,5)对称的点的坐标为(x0,y0),由中点坐标公式,得0,5,则x02,y07.点A(2,3)关于点P(0,5)对称的点的坐标为(2,7)答案:(2,7)角度二:点关于线对称2(2018无锡模拟)已知ABC的两个顶点A(1,5)和B(0,1),若C的平分线所在的直线方程为2x3y60,则BC边所在的直线方程为_解析:设点A关于直线2x3y60的对称点为A(x,y),则即解得即A,由题意知,点A在直线BC上所以直线BC的方程为yx1,整理得12x31y310.答案:12x31y310角度三:线关于线对称3直线2xy30关于直线xy20对称的直线方程是_解析:设所求直线上任意一点P(x,y),则P关于xy20的对称点为P(x0,y0),由得由点P(x0,y0)在直线2xy30上,所以2(y2)(x2)30,即x2y30.答案:x2y30通法在握1中心对称问题的2个类型及求解方法(1)点关于点对称:若点M(x1,y1)及N(x,y)关于P(a,b)对称,则由中点坐标公式得进而求解(2)直线关于点的对称,主要求解方法是:在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程;求出一个对称点,再利用两对称直线平行,由点斜式得到所求直线方程2轴对称问题的2个类型及求解方法(1)点关于直线的对称:若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:AxByC0对称,由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2,y2)(其中B0,x1x2)(2)直线关于直线的对称:一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况:一是已知直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行演练冲关1(2019沭阳期中)已知点A(1,2)关于直线xay20的对称点为B(m,2),则实数a的值为_解析:由对称的特点可知,AB的中点在对称轴上,直线AB垂直于对称轴,则a20,1,解得m3,a2.答案:22(2018启东期末)已知直线l1:2xy20和直线l2:x2y10关于直线l对称,则直线l的斜率为_解析:设P(a,b)是直线l上任意一点,则点P到直线l1:2xy20和直线l2:x2y10的距离相等,即,整理得a3b10或3ab30,直线l的斜率为或3.答案:或33已知入射光线经过点M(3,4),被直线l:xy30反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为_解析:设点M(3,4)关于直线l:xy30的对称点为M(a,b),则反射光线所在直线过点M,所以解得a1,b0.又反射光线经过点N(2,6),所以所求直线的方程为,即6xy60.答案:6xy60一抓基础,多练小题做到眼疾手快1(2019苏州调研)已知点A(1,3)关于直线l的对称点为B(5,1),则直线l的方程为_解析:已知点A(1,3)关于直线l的对称点为B(5,1),故直线l为线段AB的中垂线求得AB的中点为(2,2),AB的斜率为,故直线l的斜率为3,故直线l的方程为 y23(x2),即3xy40.答案:3xy402(2018宿迁模拟)过点(1,0)且与直线x2y20垂直的直线方程是_解析:因为直线x2y20的斜率为,所以所求直线的斜率k2.所以所求直线的方程为y02(x1),即2xy20.答案:2xy203直线y3x3关于直线l:xy20对称的直线方程为_解析:取直线y3x3上一点A(0,3),设A关于直线l:xy20对称的点为A(a,b),则有解得a5,b2.A(5,2)联立解得x,y.令M,直线y3x3关于直线l对称的直线过A,M两点,所求直线方程为,即x3y110.答案:x3y1104(2018启东中学测试)已知直线l1的斜率为2,l1l2,直线l2过点(1,1)且与y轴交于点P,则点P的坐标为_解析:因为l1l2,且l1的斜率为2,则直线l2的斜率为2.又直线l2过点(1,1),所以直线l2的方程为y12(x1),整理得y2x3.令x0,得y3,所以点P的坐标为(0,3)答案:(0,3) 5若直线2xy10,yx1,yax2交于一点,则a的值为_解析:解方程组可得所以直线2xy10与yx1的交点坐标为(9,8),代入yax2,得8a(9)2,所以a.答案:6(2019苏州检测)已知直线l1:mx2y40与直线l2:x(m1)y20平行,则l1与l2间的距离为_解析:直线l1:mx2y40与直线l2:x(m1)y20平行,当m1时,显然不合题意;当m1时,有,解得m1,l1与l2间的距离d.答案:二保高考,全练题型做到高考达标1已知直线l1:(m1)x2y2m20,l2:2x(m2)y20,若直线l1l2,则m_.解析:由题意知,当m2时,l1:3x2y20,l2:x10,不合题意;当m2时,若直线l1l2,则,解得m2或m3(舍去)答案:22若直线l1:xay60与l2:(a2)x3y2a0平行,则l1与l2之间的距离为_解析:因为l1l2,所以,解得a1,所以l1与l2的方程分别为l1:xy60,l2:xy0,所以l1与l2的距离d.答案:3(2019张家港模拟)过点P(1,2)作一直线l,使直线l与点M(2,3)和点N(4,5)的距离相等,则直线l的方程为_解析:易知直线l的斜率存在,直线l过点P(1,2),设l的方程为y2k(x1),即kxyk20.又直线l与点M(2,3)和点N(4,5)的距离相等,解得k4或k,l的方程为4xy60或3x2y70.答案:4xy60或3x2y704若直线l1:yk(x4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2恒过定点_解析:由于直线l1:yk(x4)恒过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2),又由于直线l1:yk(x4)与直线l2关于点(2,1)对称,所以直线l2恒过定点(0,2)答案:(0,2)5已知点P(0,1),点Q在直线xy10上,若直线PQ垂直于直线x2y50,则点Q的坐标是_解析:设Q(x0,y0),因为点Q在直线xy10上,所以x0y010.又直线x2y50的斜率k,直线PQ的斜率kPQ,所以由直线PQ垂直于直线x2y50,得1.由解得x02,y03,即点Q的坐标是(2,3)答案:(2,3)6(2019苏州一模)设m,nR,若直线l:mxny10与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,且坐标原点O到直线l的距离为,则AOB的面积S的最小值为_解析:由坐标原点O到直线l的距离为,可得,化简得m2n2.对直线l:mxny10,令x0,可得y;令y0,可得x,故AOB的面积S3,当且仅当|m|n|时,取等号故AOB的面积S的最小值为3.答案:37设mR,过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P(x,y),则PAPB的最大值是_解析:易求定点A(0,0),B(1,3)当P与A和B均不重合时,因为P为直线xmy0与mxym30的交点,且易知两直线垂直,则PAPB,所以PA2PB2AB210,所以PAPB5(当且仅当PAPB时,等号成立),当P与A或B重合时,PAPB0,故PAPB的最大值是5.答案:58将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次,使得点A(0,2)与点B(4,0)重合若此时点C(7,3)与点D(m,n)也重合,则mn的值是_解析:由题意知,折痕既是A,B的对称轴,也是 C,D的对称轴因为AB的斜率kAB,AB的中点为(2,1),所以图纸的折痕所在的直线方程为y12(x2),所以kCD,因为CD的中点为,所以12.由解得m,n,所以mn.答案:9已知直线l1:ax2y60和直线l2:x(a1)ya210.(1)当l1l2时,求a的值;(2)当l1l2时,求a的值解:(1)法一:当a1时,l1:x2y60,l2:x0,l1不平行于l2;当a0时,l1:y3,l2:xy10,l1不平行于l2;当a1且a0时,两直线方程可化为l1:yx3,l2:yx(a1),由l1l2可得解得a1.综上可知,a1.法二:由l1l2知即a1.(2)法一:当a1时,l1:x2y60,l2:x0,l1与l2不垂直,故a1不符合;当a1时,l1:yx3,l2:yx(a1),由l1l2,得1a.法二:因为l1l2,所以A1A2B1B20,即a2(a1)0,得a.10已知ABC的顶点A(5,1),AB边上的中线CM所在直线方程为2xy50,AC边上的高BH所在直线方程为x2y50,求直线BC的方程解:依题意知:kAC2,A(5,1),所以lAC的方程为2xy110,联立得C(4,3)设B(x0,y0),则AB的中点M,代入2xy50,得2x0y010,联立得B(1,3),所以kBC,所以直线BC的方

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