高考数学一轮复习第八章第三节直线、平面平行的判定及其性质教案文苏教版.docx

第三节 直线、平面平行的判定及其性质1直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行(简记为线线平行线面平行)a性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行(简记为“线面平行线线平行”)lb2平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行ab小题体验1已知平面平面，直线a，有下列命题：a与内的所有直线平行；a与内无数条直线平行；a与内的任意一条直线都不垂直其中真命题的序号是_答案：2在梯形ABCD中，ABCD，AB平面，CD平面，则直线CD与平面内的直线的位置关系是_解析：因为ABCD，AB平面，CD平面，所以CD平面，所以CD与平面内的直线可能平行，也可能异面答案：平行或异面3如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出下列五个结论：PD平面AMC；OM平面PCD；OM平面PDA；OM平面PBA；OM平面PBC.其中正确的个数有_解析：因为矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，所以O为BD的中点在PBD中，M是PB的中点，所以OM是PBD的中位线，OMPD，则PD平面AMC，OM平面PCD，且OM平面PDA.因为MPB，所以OM与平面PBA、平面PBC相交，故正确的个数为3.答案：31直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件2面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件3如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交小题纠偏1在长方体的各面中，和其中一条棱平行的平面有_个解析：借助长方体的直观图易知，在长方体的六个面中，和其中一条棱平行的平面有2个答案：22设，是两个不同的平面，m是直线且m，“m ”是“ ”的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)解析：当m时，过m的平面与可能平行也可能相交，因而m/ ；当时，内任一直线与平行，因为m，所以m.综上知，“m ”是“ ”的必要不充分条件答案：必要不充分考点一直线与平面平行的判定与性质锁定考向平行关系是空间几何中的一种重要关系，包括线线平行、线面平行、面面平行，其中线面平行是高考热点，多出现在解答题中常见的命题角度有：(1)证明直线与平面平行；(2)线面平行性质定理的应用 题点全练角度一：证明直线与平面平行1如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点M，N，P分别为棱AB，BC，C1D1的中点求证：AP平面C1MN.证明：在正方体ABCD A1B1C1D1中，因为点M，P分别为棱AB，C1D1的中点，所以AMPC1.又AMCD，PC1CD，故AMPC1，所以四边形AMC1P为平行四边形，所以APC1M.又AP平面C1MN，C1M平面C1MN，所以AP平面C1MN.角度二：线面平行性质定理的应用2如图，四棱锥PABCD 的底面是正方形，四条侧棱均相等点G，E，F，H 分别是棱 PB，AB，CD，PC上共面的四点，BC 平面GEFH .求证：GHEF.证明：因为BC平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC平面GEFHGH，所以GHBC，同理可证EFBC，因此GHEF.通法在握证明直线与平面平行的3种方法定义法一般用反证法判定定理法关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言叙述证明过程性质判定法即两平面平行时，其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面演练冲关如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，CC14，M是棱CC1上的一点若点N是AB的中点，且CN平面AB1M，求CM的长解：法一：如图，取AB1的中点P，连结NP，PM.又因为点N是AB的中点，所以NPBB1.因为CMBB1，所以NPCM，所以NP与CM共面因为CN平面AB1M，平面CNPM平面AB1MPM，所以CNPM.所以四边形CNPM为平行四边形，所以CMNPCC12.法二：如图，取BB1的中点Q，连结NQ，CQ.因为点N是AB的中点，所以NQAB1.因为NQ平面AB1M，AB1平面AB1M，所以NQ平面AB1M.因为CN平面AB1M，NQCNN，NQ平面NQC，CN平面NQC，所以平面NQC平面AB1M.又因为平面BCC1B1平面NQCCQ，平面BCC1B1平面AB1MMB1，所以CQMB1.因为BB1CC1，所以四边形CQB1M是平行四边形，所以CMB1QCC12.考点二平面与平面平行的判定与性质典例引领如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG.证明：(1)因为GH是A1B1C1的中位线，所以GHB1C1.又因为B1C1BC，所以GHBC，所以B，C，H，G四点共面(2)因为E，F分别为AB，AC的中点，所以EFBC，因为EF平面BCHG，BC平面BCHG，所以EF平面BCHG.因为A1G綊EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1EGB.因为A1E平面BCHG，GB平面BCHG，所以A1E平面BCHG.因为A1EEFE，所以平面EFA1平面BCHG.由题悟法判定平面与平面平行的4种方法(1)面面平行的定义，即证两个平面没有公共点；(2)面面平行的判定定理；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)利用平面平行的传递性，两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行即时应用1如图，平面内有ABC，AB5，BC8，AC7，梯形BCDE的底DE2，过EB的中点B1的平面，若分别交EA，DC于点A1，C1，求A1B1C1的面积解：因为，所以A1B1AB，B1C1BC，又因为A1B1C1与ABC同向所以A1B1C1ABC.又因为cosABC，所以ABCA1B1C160.又因为B1为EB的中点，所以B1A1是EAB的中位线，所以B1A1AB，同理知B1C1为梯形BCDE的中位线，所以B1C1(BCDE)5.则SA1B1C1A1B1B1C1sin 605.故A1B1C1的面积为.2如图，四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点，求证：(1)BE平面DMF；(2)平面BDE平面MNG.证明：(1)如图，连结AE，设DF与GN的交点为O，则AE必过DF与GN的交点O，连结MO，则MO为ABE的中位线，所以BEMO，又BE平面DMF，MO平面DMF，所以BE平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DEGN，又DE平面MNG，GN平面MNG，所以DE平面MNG.又M为AB中点，所以MN为ABD的中位线，所以BDMN，又BD平面MNG，MN平面MNG，所以BD平面MNG，又DE平面BDE，BD平面BDE，DEBDD，所以平面BDE平面MNG.典例引领如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由解：法一：假设在棱AB上存在点E，使得DE平面AB1C1，如图，取BB1的中点F，连结DF，EF，ED，则DFB1C1，又DF平面AB1C1，B1C1平面AB1C1，所以DF平面AB1C1，又DE平面AB1C1，DEDFD，所以平面DEF平面AB1C1，因为EF平面DEF，所以EF平面AB1C1，又因为EF平面ABB1，平面ABB1平面AB1C1AB1，所以EFAB1，因为点F是BB1的中点，所以点E是AB的中点即当点E是AB的中点时，DE平面AB1C1.法二：存在点E，且E为AB的中点时，DE平面AB1C1.证明如下：如图，取BB1的中点F，连结DF，则DFB1C1.因为DF平面AB1C1，B1C1平面AB1C1，所以DF平面AB1C1.因为AB的中点为E，连结EF，ED，则EFAB1.因为EF平面AB1C1，AB1平面AB1C1，所以EF平面AB1C1.因为DFEFF，所以平面DEF平面AB1C1.而DE平面DEF，所以DE平面AB1C1.由题悟法探索性问题的一般解题方法先假设其存在，然后把这个假设作为已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存在；如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在即时应用1在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，点P为DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件_时，有平面D1BQ平面PAO.解析：点Q为CC1的中点时，平面D1BQ平面PAO.因为点P为DD1的中点，所以QBPA.又QB平面PAO，PA平面PAO，所以QB平面PAO.连结DB，因为点P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1BPO.又D1B平面PAO，OP平面PAO，所以D1B平面PAO.又D1BQBB，D1B平面D1BQ, QB平面D1BQ，所以平面D1BQ平面PAO.故点Q满足条件Q为CC1的中点时，有平面D1BQ平面PAO.答案：Q为CC1的中点2如图，四边形ABCD中，ABAD，ADBC，AD6，BC4，E，F分别在BC，AD上，EFAB.现将四边形ABCD沿EF折起，使平面ABEF平面EFDC.若BE1，在折叠后的线段AD上是否存在一点P，且，使得CP平面ABEF？若存在，求出的值，若不存在，说明理由解：AD上存在一点P，使得CP平面ABEF，此时.理由如下：当时，可知，如图，过点P作MPFD交AF于点M，连结EM，PC，则有，又BE1，可得FD5，故MP3，又EC3，MPFDEC，故有MP綊EC，故四边形MPCE为平行四边形，所以CPME，又ME平面ABEF，CP平面ABEF，故有CP平面ABEF.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2019汇龙中学测试)已知直线a与直线b平行，直线a与平面平行，则直线b与的位置关系为_解析：依题意，直线a必与平面内的某直线平行，又ab，因此直线b与平面的位置关系是平行或直线b在平面内答案：平行或直线b在平面内2(2018南京模拟)在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AEEBCFFB12，则对角线AC和平面DEF的位置关系是_解析：如图，由得ACEF.又因为EF平面DEF，AC平面DEF，所以AC平面DEF.答案：AC平面DEF3(2018天星湖中学测试)在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列四对截面中彼此平行的是_(填序号)平面A1BC1和平面ACD1；平面BDC1和平面B1D1A；平面B1D1D和平面BDA1；平面ADC1和平面A1D1C.解析：如图，结合正方体的性质及面面平行的判定可知平面A1BC1平面ACD1，平面BDC1平面B1D1A.答案：4如图，PAB所在的平面与，分别交于CD，AB，若PC2，CA3，CD1，则AB_.解析：因为，所以CDAB，则，所以AB.答案：5如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ平行的是_(填序号)解析：因为点M，N，Q分别为所在棱的中点，所以在中AB与平面MNQ相交，在中均有ABMQ，在中，有ABNQ，所以在中均有AB与平面MNQ平行答案：二保高考，全练题型做到高考达标1(2018滨海期末)已知m，n是不重合的直线，是不重合的平面，已知m，n，若增加一个条件就能得出mn，则下列条件中能成为增加条件的序号是_m，n；，n；n，m.解析：对于，若，由m，满足m，由n，满足n，但m，n可为异面直线，则不成立；对于，由，且m，n，由面面平行的性质定理可得mn，则成立；对于，n，m，则m，由线面平行的性质定理可得nm，则成立答案：或2(2019连云港调研)一条直线与两个平行平面中的一个成30角，且被两平面所截得的线段长为2，那么这两个平行平面间的距离是_解析：由题意知，两个平行平面间的距离d2sin 301.答案：13(2018前黄高级中学检测)已知正方体ABCDA1B1C1D1，下列结论中，正确的是_(填序号)AD1BC1；平面AB1D1平面BDC1；AD1DC1；AD1平面BDC1.解析：如图，因为ABC1D1，ABC1D1，所以四边形AD1C1B为平行四边形，故AD1BC1，从而正确；易证AB1DC1，BDB1D1，又AB1B1D1B1，BDDC1D，故平面AB1D1平面BDC1，从而正确；由图易知AD1与DC1异面，故错误；因为AD1BC1，AD1平面BDC1，BC1平面BDC1，所以AD1平面BDC1，故正确答案：4如图，透明塑料制成的长方体容器ABCDA1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：没有水的部分始终呈棱柱形；水面EFGH所在四边形的面积为定值；棱A1D1始终与水面所在平面平行；当容器倾斜如图所示时，BEBF是定值其中正确命题的个数是_解析：由题图，显然是正确的，是错误的；对于，因为A1D1BC，BCFG，所以A1D1FG且A1D1平面EFGH，所以A1D1平面EFGH(水面)所以是正确的；对于，因为水是定量的(定体积V)，所以SBEFBCV，即BEBFBCV.所以BEBF(定值)，即是正确的答案：35在三棱锥PABC中，PB6，AC3，G为PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB和AC，则截面的周长为_解析：如图，过点G作EFAC，分别交PA，PC于点E，F，过点E作ENPB交AB于点N，过点F作FMPB交BC于点M，连接MN，则四边形EFMN是平行四边形(平面EFMN为所求截面)，且EFMNAC2，FMENPB2，所以截面的周长为248.答案：86设，是三个平面，a，b是两条不同直线，有下列三个条件：a，b；a，b；b，a.如果命题“a，b，且_，则ab”为真命题，则可以在横线处填入的条件是_(把所有正确的序号填上)解析：由面面平行的性质定理可知，正确；当b，a时，a和b在同一平面内，且没有公共点，所以平行，正确故应填入的条件为或.答案：或7(2018盐城期末)已知棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1，E为棱AD的中点，现有一只蚂蚁从点B1出发，在正方体ABCD A1B1C1D1表面上行走一周后再回到点B1，这只蚂蚁在行走过程中与平面A1EB的距离保持不变，则这只蚂蚁行走的轨迹所围成的图形的面积为_解析：要满足题意，则需在正方体ABCD A1B1C1D1上过B1作与平面A1EB平行的平面取A1D1和BC的中点分别为F，G，连结B1F，FD，DG，GB1，则A1F綊ED，所以四边形A1FDE是平行四边形，所以A1EFD.因为FD平面A1EB，A1E平面A1EB，所以FD平面A1EB.同理：DG平面A1EB.又FDDGD，所以平面DFB1G平面A1EB，则四边形DFB1G所围成图形的面积即为所求易知四边形DFB1G为菱形，由正方体的棱长为2，得菱形DFB1G的边长为，cosA1EB，sinA1EB，A1EBFDG，S菱形DFB1GsinFDG2.答案：28(2019海安中学检测)如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是_解析：取B1C1的中点M，BB1的中点N，连结A1M，A1N，MN，可以证明平面A1MN平面AEF，所以点P位于线段MN上，因为A1MA1N，MN ，所以当点P位于M，N处时，A1P的长度最长，取MN的中点O，连结A1O，当P位于MN的中点O时，A1P的长度最短，此时A1O，所以A1OA1PA1M，即A1P，所以线段A1P长度的取值范围是.答案：9如图，在四棱锥PABCD中，ADBC，ABBCAD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点求证：(1)AP平面BEF；(2)GH平面PAD.证明：(1)连结EC，因为ADBC，BCAD，所以BC綊AE，所以四边形ABCE是平行四边形，所以O为AC的中点又因为F是PC的中点，所以FOAP，因为FO平面BEF，AP平面BEF，所以AP平面BEF.(2)连结FH，OH，因为F，H分别是PC，CD的中点，所以FHPD，因为PD平面PAD，FH平面PAD，所以FH平面PAD.又因为O是AC的中点，H是CD的中点，所以OHAD，因为AD平面PAD，OH平面PAD，所以OH平面PAD.又FHOHH，所以平面OHF平面PAD.因为GH平面OHF，所以GH平面PAD.10.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点求证：(1)BFHD1；(2)EG平面BB1D1D；(3)平面BDF平面B1D1H.证明：(1)如图所示，取BB1的中点M，连结MH，MC1，易证四边形HMC1D1是平行四边形，所以HD1MC1.又因为MC1BF，所以BFHD1.(2)取BD的中点O，连结EO，D1O，则OE綊DC，又D1G綊DC，所以OE綊D1G，所以四边形OEGD1是平行四边形，所以GED1O.又GE平面BB1D1D，D1O平面BB1D1D，所以EG平面BB1D1D.(3)由(1)知BFHD1，又BDB1D1，B1D1，HD1平面B1D1H，BF，BD平面BDF，且B1D1HD1D1，DBBFB，所