关于恢复因数与能量关系的讨论

关于恢复因数与能量关系的讨论 李振远， 李永强 （ 东北大学机械工程与自动化学院，辽宁沈阳110004 ） 摘要：研究两物体碰撞时常常引入恢复因数的概念来表示物体在碰撞后速度恢复的程度并反映出碰撞过程中机械能 损失的程度.现行教材将斜碰撞中恢复因数定义为两物体在碰撞结束瞬时质心的相对速度v 軋1- v軋2与碰撞开始时质心相对速度 v 軋10- v軋20在法线上投影的比值的绝对值.本文通过对恢复因数的重新定义以及对它与能量的关系及其相关问题进行探究， 使之 应用范围得以扩充， 不仅在一维， 二维， 三维的情况下适用， 更将其使用范围也推广到了碰撞及摩擦等其它物体间相互作用 的过程， 并得出它与能量的关系式及相关等式. 关键词：碰撞； 相互作用； 恢复因数； 能量 中图分类号： O3文献标识码： A文章编号： 1673- 260X （2009 ） 09- 0012- 02 现行各教材研究两物体碰撞只是限于一维的碰撞过 程1,3,4， 而不是从多维的角度全面的考虑问题， 这样恢复因数 的定义和应用范围就有了很大的局限性.我们从三维和两物 体相互作用的角度来考虑两物体碰撞过程，并通过下面的 具体例子来说明其应用范围的局限性，通过对恢复因数重 新定义， 将其应用范围进行扩充. 1首先将恢复因数重新定义 教材中讲到两物体碰撞时只是考虑在法线方向上发生 碰撞，因此将斜碰撞中恢复因数定义为两物体在碰撞结束 瞬时质心的相对速度v 軋1- v軋2与碰撞开始时质心相对速度v軋10- v 軋20在法线上的投影的比值的绝对值，这样就有可能忽略速 度与能量之间的一些规律.因此， 不妨考虑物体间的相互作 用发生在 x， y， z三个方向，这就需要重新定义恢复因数， 令 之为 k= |v 軋1- v軋2| |v 軋10- v軋20| （1 ） 2恢复因数与能量关系的讨论 设两物体质量为 m1、 m2， 初速度v 軋10、 v軋20， 碰撞后速度v軋1、 v軋2， 有 m1v 軋10+m2v軋20=m1v軋1+m2v軋2 （2 ） 1 2 m1v 軋102+1 2 m2v 軋202-1 2 m1v 軋12-1 2 m2v 軋22=E （3 ） A.不妨先求出何种情况下能量损失最大 令v 軋=vxi軆+vyj軆+vzk軋, |v 軋|=v 则有 m1v10x+m2v20x=m1v1x+m2v2x（4 ） 假定碰撞时 x， y， z方向上相互独立 可设 1 2 m1v10x2+1 2 m2v20x2- 1 2 m1v1x2- 1 2 m2v2x2=Ex（5 ） 有E=Ex+Ey+Ez（6 ） 将 （4 ） 式代入 （5 ） 式， 得 Ex=1 2 m1(v10+v1x)(v10x- v1x)+1 2 m2(v20x+v2x)(v20x- v2x) =- 1 2 m1(v1x- v10x) m1+m2 m2 v1x- 2v20x- m1- m2 m2 v10x 当 v1x=m1v10x+m2v20x m1+m2 时， Ex取最大， 此时 v2x=v1x 同理可得 y， z方向结论与 x 方向类似， 碰撞时 x， y， z 方 向相互独立， 由 （6 ） 式得 Emax=Exmax+Eymax+Ezmax 此时v 軋1=v軋2=m1v 軋10+m2v軋20 m1+m2 （7 ） 即两物体碰撞后同速能量损失最大 B.得出恢复因数与能量的关系 将 （7 ） 式代入 （3 ） 式， 得 Emax=1 2 m1v102+1 2 m2v202- (m1v 軋10+m2v軋20)2 2(m1+m2) =1 2 m1m2 m1+m2 (v 軋10- v軋20)2 （8 ） 由 （1 ） 式得 k2= v12+v22- 2v 軋1 v軋2 v102+v202- 2v 軋10 v軋20 （9 ） Vol. 25 No. 9 Sep. 2009 第 25 卷 第 9 期 2009 年 9 月 赤 峰 学 院 学 报（ 自 然 科 学 版） Journal ofChifengUniversity（Natural Science Edition ） 12- 将 （2 ） 式代入 （3 ） 式得 E=1 2 m1v202+1 2 m2v202- 1 2 m1v12- 1 2 m2v22 =1 2 m1(v 軋10+v軋1) (v軋10- v軋1)+1 2 m2(v 軋20+v軋2) (v軋20- v軋2) =1 2 m2(v 軋10+v軋1) (v軋2- v軋20)+1 2 m1(v 軋20+v軋2) (v軋1- v軋10) =1 2 m1m2 m1+m2 1+m2 m1 軋軋(v 軆 10+v 軆 1) (v 軆 2- v 軆 20)+ 1+m1 m2 軆軆(v 軆 20+v 軆 2) (v 軆 1- v 軆 10軆軆 )(10 ） =1 2 m1m2 m1+m2 2v 軆 1v 軆 2-2v 軆 10v 軆 20+ m2 m1 (v 軆 10+v 軆 1) （v 軆 2- v 軆 20） + m1 m2 (v 軆 20+v 軆 2) (v 軆 1- v 軆 10軆軆 ) =1 2 m1m2 m1+m2（v 102+v202- v12- v22- 2v 軋10 v軋20+2v軋1 v軋2） =1 2 m1m2 m1+m2 (v 軆10- v軆20)- (v軆1- v軆2軆軆 ) 比较 （8 ） ，（9 ） ，（10 ） 三式得 E Emax 1- k2（11 ） 由于计算依据的公式 （2 ） 、（3 ） 具有普适性， 所得结论也 同样适用于其他过程， 如摩擦等物体间相互作用的情况. 3重新定义的恢复因数的应用 例1两物体 m1、 m2对心碰撞， 两物体初速度 v10、 v20， 恢 复因数为 k,求碰撞过程中动能的损失. 该例题选自哈尔滨工业大学理论力学教研室理论力 学 （第 6 版 ） ， 教材的解决方案如下： 设碰撞结束时， 两物体质心的速度分别为 v1、 v2， 有 m1v10+m2v20=m1v1+m2v2（a ） k= v2- v1 v10- v20 （b ） 联立 （a ） （b ） 二式得 v1=v10- (1+k) m2 m1+m2 (v10- v20) v2=v20+(1+k) m1 m1+m2 (v10- v20 軆 軆 軆 軆 軆軆 軆 軆 軆 軆 軆軆 軆 ) （c ） 以分别表示此两物体组成的质点系在碰撞过程开始和 结束时的动能， 有 E1=1 2 m1v102+1 2 m2v202) E2=1 2 m1v12+1 2 m2v22 軆 軆 軆 軆 軆軆 軆 軆 軆 軆 軆軆 軆 ) 在碰撞过程中质点系损失的动能为 E=E1- E2=1 2 m1(v10- v1)(v10+v1)+1 2 m2(v20- v2)(v20+v2) 将式 （c ） 代入上式， 得两物体在正碰撞过程中损失的动 能 E=1 2 (1+k) m1m2 m1+m2 (v10- v20)(v10+v1)- (v20+v2) 由式 （b ） 得 v1- v2=- k(v10- v20) 于是， 得 E=1 2 m1m2 m1+m2 (v10- v20)2（1- k2） 而由式 （8 ） 和式 （11 ） 所给结论， 同样可以得出结果 E=Emax（1- k2） =1 2 m1m2 m1+m2 (v10- v20)2（1- k2） 例2空间两物体相碰， 碰撞后速度为v 軋1、 v軋2， 能量损失 30， 之后它们相互摩擦至速度相等， 使动能减少到碰撞前 的 60， 求它们最初的相对速度大小. 解 0.3 1- 0.6 =1- k2， 得k=1 2 vr=2|v 軋1- v軋2| 而此题用教材的方法解决是比较困难的. 从上述分析来看重新定义的恢复因数不仅在一维， 二 维， 三维的情况下适用， 其使用范围也推广到了碰撞及摩擦 等其它物体间相互作用的过程，并得出它与能量的关系式 及相关等式 （7 ） 、（8 ） 、（11 ） .可见将恢复因数按 （1 ） 式定义不 仅能推广其应用范围， 并能使计算更加方便简洁， 也有利于 学生对碰撞， 摩擦等问题有更全面的理解， 取得更好的