课件：高数A知识点回顾.ppt

一、 无穷小运算法则,定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .,Note: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !,例如，,类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 .,定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .,推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .,推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .,二、 极限的四则运算法则,则有,定理 3 . 若,推论: 若,且,则,定理 4 . 若,则有,Hint: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 .,Note: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 .,推论 1 .,( C 为常数 ),推论 2 .,( n 为正整数 ),定理 5 . 若,且 B0 , 则有,一般有如下结果：,为非负常数 ),( 如P47 例5 ),( 如P47 例6 ),( 如P47 例7 ),定理7. 设,且 x 满足,时,又,则有,极限存在准则,有,定理1.,有定义,且,有,Note: 此定理常用于判断函数极限不存在 .,法1 找一个数列,不存在 .,法2 找两个趋于,的不同数列,及,使,不存在 .,二、导数(derivative)的定义,切线方程:,法线方程:,注意: 函数在点 x 连续未必可导.,反例:,在 x = 0 处连续 , 但不可导.,定理1.,在闭区间 a , b 上可导,定理3. 函数,例. 函数y=|x|在x=0处连续但不可导。,注意:,？,一、四则运算求导法则,定理1.,的和、,差、,商 (除分母,为 0的点外) 都在点 x 可导,积、,在点 x 可导,三、复合函数求导法则(Chain Rule),定理3.,在点,可导,复合函数,且,在点 x 可导,关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.,思考题,四、初等函数的求导问题,1. 常数和基本初等函数的导数 (P94),2. 有限次四则运算的求导法则,( C为常数 ),3. 复合函数求导法则,4. 初等函数在定义区间内可导,由定义证 ,说明: 最基本的公式,其它公式,用求导法则推出.,且导数仍为初等函数,二、高阶导数的运算法则,都有 n 阶导数 , 则,(C为常数),莱布尼兹(Leibniz) 公式,高阶导数的基本公式,隐函数求导方法:,两边对 x 求导,(含导数 的方程),定理 : 函数,在点 可微的充要条件是,在点 处可导,二、 微分运算法则,设 u(x) , v(x) 均可微 , 则,(C 为常数),分别可微 ,的微分为,微分形式不变,5. 复合函数的微分,则复合函数,(Hospitals rule),(洛必达法则),常用函数的麦克劳林公式,定义 . 设函数,在区间 I 上连续 ,(1) 若恒有,则称,图形是凹的;,(2) 若恒有,则称,连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 .,图形是凸的 .,二、曲线的凹凸与拐点,Conclusions,1. 可导函数单调性判别,在 I 上单调递增,在 I 上单调递减,2.曲线凹凸与拐点的判别,拐点, 连续曲线上有切线的凹凸分界点,注意:,为极大点,为极小点,不是极值点,2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点.,1) 函数的极值是函数的局部性质.,定理 1 (极值第一判别法),且在空心邻域,内有导数,(自证),点击图中任意处动画播放暂停,定理2 (极值第二判别法),二阶导数 , 且,则 在点 取极大值 ;,则 在点 取极小值 .,定理3 (判别法的推广),则:,数 , 且,1) 当 为偶数时,是极小点 ;,是极大点 .,2) 当 为奇数时,为极值点 , 且,不是极值点 .,特别:,当 在 内只有一个极值可疑点时,当 在 上单调时,最值必在端点处达到.,若在此点取极大 值 , 则也是最大 值 .,(小),对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的,可疑点是否为最大 值点或最小值点 .,(小),1. 水平(Horizontal Asymptotes)与铅直渐近线(Vertical Asymptotes),若,则曲线,有水平渐近线,若,则曲线,有垂直渐近线,例1. 求曲线,的渐近线 .,解:,为水平渐近线;,为垂直渐近线.,2. 斜渐近线(Slant asymptotes),斜渐近线,若,( P75 题13),二、函数图形的描绘,步骤 :,1. Domain:确定函数,的定义域 ,及周期性 ;,2. 求,并求出,及,3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ;,4. 求渐近线 ;,5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .,为 0 和不存在,的点 ;,并考察其对称性,则弧长微分公式为,或,若曲线由参数方程表示:,弧长微分,故曲率计算公式为,Remark: 直线上任意点处的曲率为 0 !,可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;,2019/8/24,34,可编辑,一元函数积分学,存在原函数 .,简言之：连续函数一定有原函数.,初等函数在定义区间上连续,初等函数在定义区间上有原函数,定理 2.,原函数都在函数族,( C 为任意常数 ) 内 .,三、不定积分的性质,二、 基本积分表 (P186),利用逆向思维,( k 为常数),或,或,换元积分法,第二类换元法,第一类换元法,分部积分法,分部积分公式,解题技巧:,把被积函数视为两个函数之积 ,按 “ 反对幂指三” 的,顺序,前者为 后者为,反: 反三角函数 对: 对数函数 幂: 幂函数 指: 指数函数 三: 三角函数,一、 有理函数的积分,有理函数:,时,为假分式;,时,为真分式,有理函数,多项式 + 真分 式,分解,其中部分分式的形式为,若干部分分式之和,四种典型部分分式的积分:,变分子为,再分项积分,定积分的几何意义:,曲边梯形面积,曲边梯形面积的负值,各部分面积的代数和,定理1.,定理2.,且只有有限个间断点,可积的充分条件:,三、定积分的性质,(设所列定积分都存在),( k 为常数),机动 目录 上页 下页 返回 结束,其中 a , b , c 的相对位置任意时, 例如,6. 若在 a , b 上,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,推论2.,推论1. 若在 a , b 上,则,7. 设,则,8. 积分中值定理,则至少存在一点,使,则变上限函数,定理1. 若,积分上限的函数及其导数,说明:,1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.,2) 变限积分求导:,同时为,通过原函数计算定积分开辟了道路 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、牛顿 莱布尼兹公式,( 牛顿 - 莱布尼兹公式),机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2.,函数 ,则,三、定积分的换元法,说明:,1) 当 , 即区间换为,定理 1 仍成立 .,2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .,3) 换元公式也可反过来使用 , 即,或配元,配元不换限,例3.,(1) 若,(2) 若,偶倍奇零,二、定积分的分部积分法,定理2.,则,n 为偶数,n 为奇数,定义1. 设,若,存在 ,则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分,记作,这时称反常积分,收敛 ;,如果上述极限不存在,就称反常积分,发散 .,类似地 , 若,则定义,则定义,( c 为任意取定的常数 ),只要有一个极限不存在 , 就称,发散 .,无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.,并非不定型 ,说明: 上述