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西城区教育研修学院初三数学研修活动材料概率初步教材分析 161中学 王苒苒2011.12.29一、本章地位 本章属于“统计与概率”领域，对于该领域的内容，本套教科书共安排了三章，这三章采用统计和概率分开编排的方式，前两章是统计，最后一章是概率.一方面，概率与统计相对独立，另一方面概率又以统计为依托.本章概率知识的学习要以前俩章的统计部分的知识为基础.本章的主要内容是随机事件的的定义，概率的定义，计算简单事件概率的方法，主要是列举法（包括列表法和画树状图法），利用频率估计概率，中心内容是体会随机观念和概率思想.二、课程学习目标1、课标要求（1）理解什么是必然发生事件、不可能发生事件和随机事件.（2）在具体情境中了解概率的意义，体会概率是描述不确定事件发生可能性大小的数学概率，理解概率取值范围的意义.（3）能够运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率.（4）能够通过试验，获得事件发生的频率，知道大量重复试验时频率可作为事件发生概率的估计值，理解频率与概率的区别与联系.（5）通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际问题.2、2011年中考说明对概率的要求考试内容考 试 要 求概率事件ABC了解不可能事件、必然事件和随机事件的含义概率了解概率的意义；知道大量重复实验时，频率可作为事件发生概率的估计值会运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率【考试内容】事件、事件的概率，列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件的概率.实验与事件发生的频率，大量重复实验时事件发生概率的估计值.运用概率知识解决实际问题.【考试要求】在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率.通过实验，获得事件发生的频率；知道大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值.能运用概率知识解决一些实际问题.三、知识结构框图用列举法求概率概率随机事件用频率估计概率四、课时安排（共15课时）25.1随机事件与概率 约4课时25.2用列举法求概率 约4课时25.3利用频率估计概率 约3课时25.4课题学习 约2课时数学活动小结 约2课时五、学法教学建议1、注重概念的教学、随机观念的渗透概率对学生来说是一个与以前所学数学内容不太一样的东西，一些表述、思想、方法学生都不适应，如果一开始形成了错误的概念或“直觉”，那就很不利于后面的学习.因此在概念教学时不能急于求成，要循序渐进，稳扎稳打.课本通过4个步骤来给出“统计概率”的概念：（1）很多事件的发生具有“偶然性”（给出“随机事件”概念.P125【问题1、2】）（2）不同随机事件发生的可能性的大小有可能不相同（P127【问题3】）（3）相同条件下，一个事件发生的概率是一个常数，是由事件固有的属性决定的。这也是区分概率和频率的本质区别之一。（P128【试验】，古典概率定义）（4）然后再引入概率的统计定义。（P140【用频率估计概率】）随机事件在现实世界中是普遍存在的，教师应努力培养学生的随机观念，并让学生知道，研究随机事件掌握其规律进而利用其规律是有实际意义的.概率论就是研究和揭示随机现象统计规律的教学工具，教师应举出大量事件，让学生判断，这些事件是确定性事件还是随机事件.2、帮助学生区别统计概率和古典概率的定义，揭示概率与频率的区别与联系初学统计与概率的学生往往无法理解概率与频率的内在区别与联系，有时会把两者相混淆，教师应向学生指明，统计与概率这两个学科是互为依存，相互作用的.概率这一概念是建立在频率这一统计量的稳定性基础之上的，而统计也离不开概率的理论支持.相同条件下，一个事件发生的概率是一个常数，是由事件固有的属性决定的，但是如果用概率实验的方法，频率会随着样本空间的变化而变化，但随着样本的增加，频率会越来越集中于一个常数，这个数就是概率（统计概率的定义）.所以用频率估计出来的概率有时是不精确的，会有误差.让学生们理解，在遇到任何计算概率问题时，如果能够用理论计算首先就应该采用理论计算的方式，这样的计算结果是概率的精确值（古典概率的定义），用频率估计概率通常会出现误差，得到的可能是概率的近似值.3、通过大量的实例教学 教学中通过大量的（包括重复的）实例教学，让学生在结合实际问题的研究中来逐步体会、理解概念的实质、掌握计算的方法.问题的形式、表述千差万别，通过多分析处理各种各样的实际问题，有助于提高学生的转化能力.让学生亲自动手实践、能够引发学生的思考，加深印象，提高学生思考的积极性.建议充分利用好教参后面附带的课件。4、帮助学生总结常见解题方法初中阶段新课标对概率的要求比较低，要求学生掌握的问题以及方法都比较单一.很多貌似不同的实际问题实质都是一样的，几乎都能转化成几种固定的模式，就像是设计模拟试验一样，比如，很多问题都能转化成“摸球”问题。要考虑的关键点有三条：几步完成（是从一个口袋摸球，还是从两个或三个口袋中摸球）；摸出球后是否放回去；每次摸几个球.（实际上，“在一个口袋中摸球，每次摸2个”相当于“每次摸1个，摸2次”）.学生掌握了问题的实质之后，就不会被表面的叙述干扰.第 17 页 共 17 页5、谈谈学生在学习概率时常见的错误似是而非，不知道树状图的标准画法例1 如图1 所示, 从甲地到乙地有两条路可走, 从乙地到丙地有三条路可走, 假定甲、乙、丙三地间的路况完全相同, 小斌从甲地出发走a 路线到乙地, 再走e路线到丙地的概率是多少? 错误分析: 这两种错误都是树状图的形状画错, 常常出现这种错误是因为同学们平时学习粗枝大叶, 不认真观察树状图的真形而导致的错误。正确画法1: 由题意得树状图如下:所以: 从甲地出发走a路线到乙地, 再走e路线到丙地的概率为16没有搞清楚树状图应用的条件例2已知甲袋中有1个红球、1个白球、乙袋中有2 个红球、1个白球(两种球只是颜色不同)。从甲、乙两袋中同时摸出红球的概率是多少?错解: 画树状图如下图2所示,图3图2总的情况数有4 种, 两袋中同时摸出红球的情况数有1种, 因此两袋中同时摸出红球的概率为四分之错误分析: 从甲袋中摸出红球和白球的可能性不同, 因此上述解答是错误的。正确解法: 由于乙袋中有2个红球可以将它们编号后再求解。画树状图, 如图3所示。总的情况数有6 种, 两袋中同时摸出红球的情况数有2种。因此两袋中同时摸出红球的概率为。同一事件，同一属性，错误的使用两次例3 已知红色和蓝色在一起可配成紫色, 现有三种颜色红、白、蓝, 从中任意取出两种颜色来配紫色, 问: 能配出紫色的概率是多大?错解: 用列表法如下:白 红 蓝白(白, 白) (红, 白) (蓝, 白)红(白, 红) (红, 红) (蓝, 红)蓝(白, 蓝) (红, 蓝) (蓝, 蓝) 由表格知: 所有可能数为9种, 能配出紫色的有2种, 因此能配出紫色的概率为九分之二。错误分析: 同学们在这一过程中没有考虑到: 两次取出相同的颜色是同一事件不能重复计算为两个事件, 导致所有可能数搞错而导致结论错误。正确解法: 用列表法如下:白 红 蓝白 空 (红, 白) (蓝, 白)红 (白, 红) 空 (蓝, 红)蓝 (白, 蓝) (红, 蓝) 空 由表格知: 所有可能数为6种, 能配出紫色的有2种, 因此能配出紫色的概率为三分之一。对事件的含义模糊不清例4 有2名男生和2名女生, 王老师要随机地、两两一对地给他们排座位, 一男一女在一起的概率是多少?错解: 把2名男生编号为男1、男2; 两名女生编号为女1、女2, 则两人在一排共有四种情况: 男1男2, 女1女2, 男1女2, 男2女1所以, P (一男一女在一起) =.错误原因分析: 没有弄清每个事件的含义: 两两一对地排位, 两两排好才算一个完整事件, 只排好2个人并不是一个完整事件。正确的解法: 用列举法排出两两一对所有可能:男1男2, 女1女2; 男1女1, 男2女2; 男1女2,男2女1所以, P (一男一女在一起) =.不重视概率的学习，认为中考中没有什么难题，不认真练习例5：一个骰子，六个面上的数字分别为1，2，3，3、4，5投掷一次，向上的面出现数字3的概率是 。 错解：由于有些同学不认真看题，把六个面上的数字错看成1，2，3，4，5，6，从而出现数字3的概率为。剖析：由于骰子的六个面向上的机会是相同的，而出现3的结果有两种，因此出现数字3的概率是六、常见题型（一）确定事件与不确定事件的判定例1下列事件是必然事件的A抛掷一枚硬币，四次中有两次正面朝上 B.打开电视体育频道，正在播放NBA球赛C.射击运动员射击一次，命中十环 D.若a是实数，则解析：事先能够肯定一定会发生的事件称为必然事件，事先能够肯定一定不会发生的事件称为不可能事件，必然是件和不可能事件都是确定事件；可能发生也可能不发生的事件称为随机事件（也称为不确定事件）由于A、 B、C都为随机事件；只有D是必然事件（二）求简单事件发生的概率：例2某商场在今年“六一”儿童节举行了购物摸奖活动摸奖箱里有四个标号分别为1，2，3，4的质地、大小都相同的小球，任意摸出一个小球，记下小球的标号后，放回箱里并摇匀，再摸出一个小球，又记下小球的标号商场规定：两次摸出的小球的标号之和为“8”或“6”时才算中奖请结合“树状图法”或“列表法”，求出顾客小彦参加此次摸奖活动时中奖的概率解析：本题考查了计算事件的概率的能力，可以看到共有16种可能，和为“6”或“8”有4种可能性，所以，顾客小彦参加此次摸奖活动时中奖的概率（列表方法求解略）温馨提示：正确的理解概率的意义，利用列表或树形图求概率，找出可能出现的结果次数及事件发生的结果次数，再利用来求概率（三）用试验的方法估算复杂事件的概率：例3赏郎中学初三某班的同学积极参加体育锻炼，该班班长在篮球场对自己进行篮球定点投球测试，下表是他的测试成绩及相关数据：第一回投球第二回投球第三回投球第四回投球第五回投球第六回投球每回投球次数51015202530每回进球次数38161718相应频率0.60.80.40.80.680.6（1）请将数据表补充完整。（2）画出班长进球次数的频率分布折线图。（3）就数据5、10、15、20、25、30而言，这组数据的中位数是多少？（4）如果这个测试继续进行下去，每回的投球次数不断增加，根据上表数据，测试的频率将稳定在他投球1次时进球的概率附近，请你估计这个概率是多少？并说明理由。（结果用分数表示）解析：本题是与数据的整理与描述相结合的，首先对数据进行分析，然后通过实验频率来估计概率。第（1）问由频率计算频数，频数总数频率150.46（2）通过描点、连线画出折线图，又折线图我们可以看到频率稳定在0.6左右（3）要注意中位数的定义，是按顺序将数据排列起来后处在中间位置的数据，因为有6个数据，所以应是第3、4个数的平均数为17.5（4）因为当实验的次数足够大时，事件发生的频率稳定在该事件发生的概率附近，反之可以用频率来估计概率，即：温馨提示：本题要同学们区别开概率与频率，概率是伴随着随机事件客观存在的，只要有随机事件就一定有存在概率，频率是通过实验得到的，随着试验次的变化而变化，但是当试验的次数重复次数足够大后，频率在概率附近摆动，为了求一个随机事件的概率，我们就可以通过多次试验，用所得的频率来估计事件的概率（四）公平游戏的判断及规则的修改设计问题例4有一个可以自由转动的转盘，被分成了4个相同的扇形，分别标有数1、2、3、4（如图所示），另有一个不透明的口袋装有分别标有数0、1、3的三个小球（除数不同外，其余都相同）。小亮转动一次转盘，停止后指针指向某一扇形，扇形内的数是小亮的幸运数，小红任意摸出一个小球，小球上的数是小红的吉祥数，然后计算这两个数的积。（1）请你用画树状图或列表的方法，求这两个数的积为0的概率；（2）小亮与小红做游戏，规则是：若这两个数的积为奇数，小亮赢；否则，小红赢。你认为该游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你修改该游戏规则，使游戏公平。分析：修改游戏规则，首先通过列表或树形图求出游戏中的双方的概率，看是否相等，若不相等通过修改规则使得概率对两方相等了，所以应现将两个人的获胜概率计算出来。解：列树形图如下：由树形图可见共有12种可能，并且每种可能出现的机会均等，而小亮和小红的获胜概率分别为，由此可见游戏不公平，要使的游戏公平，概率应相等，我们可以修改为：若这两个数的积为奇数，小亮赢；若这两个数的积为偶奇数，小红赢。点评：本题以摸球和转盘游戏为背景，设计试题，并且要学生根据概率作出对规则的修改，使得游戏对双方都公平，培养学生的分析问题，设计解决方案的技巧，同时培养了学生的语言表达能力。温馨提示：在现实生活中我们会经常遇到概率方面的不公平现象，希望同学们能够利用我们所学的概率知识设计方案、修改规则、保证其公平教学建议：使用好书本上的配套练习。七、2011年部分省市中考考题一、选择题1. （2011广东东莞）在一个不透明的口袋中，装有5个红球3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为（ ）A B C D【答案】 2. （2011福建福州）从1,2,-3三个数中,随机抽取两个数相乘,积是正数的概率是（ ） A0 B C D1【答案】B3. （2011山东滨州）四张质地、大小、背面完全相同的卡片上,正面分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形四个图案.现把它们的正面向下随机摆放在桌面上,从中任意抽出一张,则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为( )A. B. C. D. 1【答案】B4. （2011山东日照）两个正四面体骰子的各面上分别标明数字1,2,3,4，如同时投掷这两个正四面体骰子，则着地的面所得的点数之和等于5的概率为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A5. （2011山东泰安）袋中装有编号为1，2，3的三个质地均匀、大小相同的球，从中随机取出一球记下编号后，放入袋中搅匀，再从袋中随机取出一球，两次所取球的编号相同的概率为A. B. C. D.【答案】C 6. (2011 浙江湖州)下列事件中，必然事件是A掷一枚硬币，正面朝上Ba是实数，lal0C某运动员跳高的最好成绩是20 .1米D从车间刚生产的产品中任意抽取一个，是次品【答案】B7. （2011浙江衢州）5月19日为中国旅游日，衢州推出“读万卷书，行万里路，游衢州景”的主题系列旅游惠民活动，市民王先生准备在优惠日当天上午从孔氏南宗家庙。烂柯河、龙游石窟中随机选择一个地点；下午从江郎山、三衢石林、开化根博园中随机选择一个地点游玩.则王先生恰好上午选中孔氏南宗庙，下午选中江郎山这两个地点的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A8. （2011浙江绍兴）在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同.若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则黄球的个数为（ ） A.2 B.4 C.12 D.16【答案】B9. （2011浙江义乌）某校安排三辆车，组织九年级学生团员去敬老院参加学雷锋活动，其中小王与小菲都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小王与小菲同车的概率为（ ）A B C D【答案】A10（2011浙江省嘉兴）从标有1到9序号的9张卡片中任意抽取一张，抽到序号是3的倍数的概率是 【答案】11. （2011广东茂名）如图，正方形ABCD内接于O，O的直径为分米，若在这个圆面上随意抛一粒豆子，则豆子落在正方形ABCD内的概率是A B C D【答案】A12. （2010湖北孝感）学生甲与学生乙玩一种转盘游戏.如图是两个完全相同的转盘，每个转盘被分成面积相等的四个区域，分别用数字“1”、“2”、“3”、“4”表示.固定指针，同时转动两个转盘，任其自由停止，若两指针所指数字的积为奇数，则甲获胜；若两指针所指数字的积为偶数，则乙获胜；若指针指向扇形的分界线，则都重转一次.在该游戏中乙获胜的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C二、填空题1. （2011浙江金华）从2，1，2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限的概率是 .【答案】2. （2011浙江省舟山）从标有1到9序号的9张卡片中任意抽取一张，抽到序号是3的倍数的概率是 【答案】3. （2011福建福州）已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为:.如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上,则落在陆地上的概率是 .【答案】4. （2011山东德州）在4张卡片上分别写有14的整数，随机抽取一张后放回，再随机地抽取一张，那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是_【答案】5. （2011山东菏泽）从2、1、0、1、2这5个数中任取一个数，作为关于x的一元二次方程 的k值，则所得的方程中有两个不相等的实数根的概率是 【答案】（或填写06）6. （2011山东济宁）某校举行以“保护环境，从我做起”为主题的演讲比赛经预赛，七、八年级各有一名同学进入决赛，九年级有两名同学进入决赛前两名都是九年级同学的概率是 .【答案】7. （2011山东烟台，15,4分）如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率是 .【答案】8. (2011 浙江湖州)某校对初三(2)班40名学生体育考试中“立定跳远”项目的得分情况进行了统计，结果如下表：根据表中数据，若随机抽取该班的一名学生，则该学生“立定跳远”得分恰好是10分的概率是_ 【答案】9. （2011四川重庆）有四张正面分别标有数字3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余相同现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，则使关于x的分式方程2 有正整数解的概率为 【答案】10. （2011湖南益阳）在，1，2这三个数中任选2个数分别作为P点的横坐标和纵坐标，过P点画双曲线，该双曲线位于第一、三象限的概率是 【答案】11. （2011广东株洲，16，3分）如图，第（1）个图有1个黑球；第（2）个图为3个同样大小球叠成的图形，最下一层的2个球为黑色，其余为白色；第（3）个图为6个同样大小球叠成的图形，最下一层的3个球为黑色，其余为白色；则从第（）个图中随机取出一个球，是黑球的概率是 .【答案】 12(2011重庆)在不透明的口袋中，有四个形状、大小、质地完全相同的小球，四个小球上分别标有数字，2，4，现从口袋中任取一个小球，并将该小球上的数字作为平面直角坐标系中点P的横坐标，且点P在反比例函数图象上，则点P落在正比例函数图象上方的概率是 【答案】： 三、解答题1. （2011安徽芜湖）在复习反比例函数一课时，同桌的小明和小芳有一个问题观点不一致.小明认为如果两次分别从16六个整数中任取一个数，第一个数作为点的横坐标，第二个数作为点的纵坐标，则点在反比例函数的图象上的概率一定大于在反比例函数的图象上的概率，而小芳却认为两者的概率相同.你赞成谁的观点？（1）试用列表或画树状图的方法列举出所有点的情形；（2）分别求出点在两个反比例函数的图象上的概率，并说明谁的观点正确.【答案】解: （1）列表略. 画树状图如下： (2)由树状图或表格可知，点共有36种可能的结果，且每种结果出现的可能性相同，点（3，4），(4，3)，（2,6），（6,2）在反比例函数的图象上， 点 (2，3)，（3,2），（1，6），（6,1）在反比例函数的图象上, 故点在反比例函数和的图象上的概率相同,都是 所以小芳的观点正确. 2. （2011江苏扬州）扬州市体育中考现场考试内容有三项：50米跑为必测项目；另在立定跳远、实心球（二选一）和坐位体前屈、1分钟跳绳（二选一）中选择两项。（1）每位考生有 选择方案；（2）用画树状图或列表的方法求小明与小刚选择同种方案的概率。（友情提醒：各种方案用A、B、C、或、等符号来代表可简化解答过程）【答案】解：（1）4； （2）把4种中方案分别列为：A：立定跳远、坐位体前屈；B：实心球、1分钟跳绳； C：立定跳远、1分钟跳绳；D：实心球、坐位体前屈；画树状图如下： 小明与小刚选择同种方案的概率=3. （2011山东威海）甲、乙二人玩一个游戏，每人抛一个质地均匀的小立方体（每个面分别标有数字1、2、3、4、5、6），落定后，若两个小立方体朝上的数字之和为偶数，则甲胜；若两个小立方体朝上的数字之和为奇数，则乙胜你认为这个游戏公平吗？试说明理由【答案】 解：公平理由如下：每次游戏时，所有可能出现的结果如下：甲乙1234561（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）2（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）3（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）4（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）5（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）6（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）总共有期36种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两数字之和为偶数的有18种，两数字之和为奇数的有18种，每人获胜的概率均为，所以游戏是公平的4. （2011四川重庆）为实施“农村留守儿童关爱计划”，某校对全校各班留守儿童的人数情况进行了统计，发现各班留守儿童人数只有1名、2名、3名、4名、5名、6名共六种情况，并制成了如下两幅不完整的统计图：(1)求该校平均每班有多少名留守儿童？并将该条形统计图补充完整；(2)某爱心人士决定从只有2名留守儿童的这些班级中，任选两名进行生活资助，请用列表法或画树状图的方法，求出所选两名留守儿童来自同一个班级的概率【答案】(1)42020(个)；20234542(个)，(122233445564)204(名)答：该校平均每班有4名留守儿童(2)因为只有2名留守儿童的班级只有甲班和乙班两个，设甲班的2名留守儿童为a1，a2，乙班的2名留守儿童为b1，b2，列表如下：a1a2b1b2a1a1a2a1b1a1b2a2a1 a2a2b1a2b2b1a1 b1a2 b1b1b2b2a1 b2a2 b2b1 b2由表格可知：共有12种情况，符合条件的有a1 a2、a1a2、b1 b2、b1b2四种，412答：所选两名留守儿童来自同一个班级的概率为5. （2