数字信号处理第2章.ppt

第2章 时域离散信号和系统的频域分析,数字信号处理课程邮箱 E-mail: auto_redsp_2013163.com Password: dsp2013,本章主要内容及重点,2.1 引言 2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质（重点） 2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式 2.4 时域离散信号傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换的关系 2.5 序列的Z变换（重点） 2.6 利用Z变换分析信号和系统的频域特性,2.1 引言,信号和系统的分析方法有两种，即时域分析方法和频率分析方法。 在模拟领域中，信号一般用连续时间变量t的函数表示，系统则用微分方程描述。 为了在频率域进行分析，用拉普拉斯变换和傅里叶变换将时间域函数转换到频率域。 在数字信号处理中，信号用序列表示，其自变量仅取整数， 非整数时无定义，而系统则用差分方程描述。频域分析是用Z变换或傅里叶变换。 数字信号处理的傅里叶变换指的是序列的傅里叶变换。它和模拟域中的傅里叶变换是不一样的，但都是线性变换，很多性质是类似的。 本章学习序列的傅里叶变换和Z变换，以及利用Z变换分析系统和信号频域特性。本章内容是数字信号处理的基础。,2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质,2.2.1 序列傅里叶变换的定义 定义 为序列x(n)的傅里叶变换，可以用FT(Fourier Transform)缩写字母表示。 FT成立的充分必要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件，即满足下式：,(2.2.1),(2.2.2),序列的傅里叶反变换(IFT, Inverse Fourier Transform) 定义为：,(2.2.3),(2.2.1)和(2.2.3)式组成一对傅里叶变换公式。 (2.2.2)式是FT存在的充分必要条件 如果引入冲激函数，一些绝对不可和的序列，例如周期序列，其傅里叶变换可用冲激函数的形式表示出来（后面的章节会介绍）。,例 2.2.1 设x(n)=RN(n)， 求x(n)的FT,解,(2.2.4),设N=4， 幅度与相位随变化曲线如图2.2.1所示。,图 2.2.1 R4(n)傅里叶变换之后频域的幅度与相位曲线,2.2.2 序列傅里叶变换的性质 1. FT的周期性 在定义(2.2.1)式中， n取整数， 因此下式成立,M为整数 (2.2.5),因此序列的傅里叶变换X(ej)是频率的周期函数，周期是2。,图 2.2.2 cosn的波形,序列的傅里叶变换的高频与低频： =0，2 ，4，表示低频 =0， ，3，表示高频 由于周期性，一般只分析- + 或者 0 2 之间的频谱就行了,变化小，序列有低频分量,变化大，序列有高频分量,2. 线性,那么,设,式中a, b为常数 3. 时移与频移 设X(e j)=FTx(n)， 那么,(2.2.6),(2.2.7),(2.2.8),* 4. FT的对称性（了解） 在学习FT的对称性以前，先介绍什么是共轭对称与共轭反对称以及它们的性质。设序列xe(n)满足下式： xe(n)=x*e(-n) (2.2.9) 则称xe(n)为共轭对称序列。,5.时域卷积定理 设y(n)=x(n)*h(n), 则 Y(e j)=X(e j)H(e j) (2.2.32) 该定理说明，两序列卷积的FT，服从相乘的关系。 对于线性时不变系统输出的FT等于输入信号的FT乘以单位脉冲响应FT。 因此求系统的输出信号，可以在时域用卷积公式(1.3.7)计算，也可以在频域按照(2.2.32)式，求出输出的FT，再作逆FT求出输出信号。,6. 频域卷积定理 设y(n)=x(n)h(n) ，则 (2.2.33) 证： 交换顺序：,7.帕斯维尔(Parseval)定理 证： 帕斯维尔定理告诉我们，信号时域的总能量等于频域的总能量。要说明一下，这里频域总能量是指|X(ej)|2在一个周期中的积分再乘以1/(2)。,(2.2.34),一致收敛,表 2.2.1 序列傅里叶变换的性质,2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式,2.3.1周期序列的离散傅里叶级数 设 是以N为周期的周期序列，由于是周期性的，可以展成傅里叶级数,(2.3.1),式中ak是傅里叶级数的系数。为求系数ak，将上式两边乘以 ，并对n在一个周期N中求和,因此 上式中，k和n均取整数，当k或者n变化时， 是周期为N的周期函数： 即ak也是周期序列：ak=ak+lN,(2.3.2),(2.3.3),上式中 也是一个以N为周期的周期序列，称为 的离散傅里叶级数，用DFS(Discrete Fourier Series)表示。如对(2.3.4)式两端乘以 ，并对k在一个周期中求和， 得到 将(2.3.4)式和(2.3.5)式重写如下：,(2.3.5),(2.3.6),(2.3.7),(2.3.6)式和(2.3.7)式称为一对DFS。(2.3.5)式表明将周期序列分解成N次谐波，第k个谐波频率为k=(2/N)k,k=0,1,2,N-1。一个周期序列可以用其DFS表示它的频谱分布规律。,例 2.3.1 设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期，进行周期延拓，得到如图2.3.1(a)所示的周期序列 ，周期为8，求 的DFS。 解 按照(2.3.4)式 其幅度特性如图2.3.1(b)所示。,图 2.3.1 例2.3.1图,2.3.2 周期序列的傅里叶变换表示式 在模拟系统中， ，其傅里叶变换是在=0处的单位冲激函数， 强度是2，即 对于时域离散系统中， ，2/0为有理数，,(2.3.8),(2.3.9),上式表示复指数序列的FT是在02r处的单位冲激函数，强度为2，如图2.3.2所示。 对于一般周期序列 的FT如下式,图 2.3.2 的FT,表 2.3.2 基本序列的傅里叶变换,例2.3.2 求例2.3.1中周期序列的FT。 解 将例2.3.1中得到的 代入(2.3.10)式中得到 其幅频特性如图2.3.3所示。,图 2.3.3 例2.3.2图,分析： 对比图2.3.1，对于同一个周期信号： 其DFS和FT分别取模的形状是一样的； 不同的是FT用单位冲激函数表示(用带箭头的竖线表示)。 因此周期序列的频谱分布用其DFS或者FT表示都可以，但画图时应注意单位冲激函数的画法。,例 2.3.3 令 ，2/0为有理数，求其FT。 解：将 用欧拉公式展开 按照(2.3.9)式，其FT推导如下： 上式表明cos0n的FT，是在=0处的单位冲激函数，强度为，且以2为周期进行延拓，如图2.3.4所示。,(2.3.11),图 2.3.4 cos0n的FT,2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟 信号傅里叶变换之间的关系,模拟信号xa(t)的一对傅里叶变换式用下面公式描述： 这里t与的定义域均在之间。从模拟信号幅度取值考虑，在第一章中遇到两种信号连续信号和采样信号，用(1.5.2)式描述它们之间的关系：,(1.5.2),采样信号 和连续信号xa(t)，由采样定理(1.5.5)式描述它们各自傅里叶变换间的关系： 如果时域离散信号(或称序列)x(n)，是由对模拟信号xa(t)采样产生的，即： x(n)=xa(nT) (2.4.3) 上式中n取整数，否则无定义。x(n)的一对傅里叶变换用(2.2.1)式和(2.2.4)式表示：,(2.2.4),(1.5.5), X(ej)与Xa(j)、数字频率与模拟频率(f)间关系分析,已知x(n)=xa(nT) ，将t=nT代入(2.4.2)式中，得到,(2.4.4),(2.4.5),(2.4.6),(2.4.7),x(n),FT,X(ej),(2.4.1)上面的推导,X(ejT),FT,xa(t),采样,(1.5.5)抽样定理，用采样信号频域表达式来表示X(ej),FT,令=T,模拟采样信号 的FT 和离散信号x(n)的FT相似,(2.4.7)式就是序列的傅里叶变换X(ej)和模拟信号xa(t)的傅里叶变换Xa(j)之间的关系式，与(1.5.5)式对比得到以下结论： 序列的傅里叶变换和模拟信号的傅里叶变换之间的关系，与采样信号、模拟信号分别的FT之间的关系一样，都是Xa(j)以周期s=2/T进行周期延拓，频率轴上取值的对应关系用(1.2.10)式= T表示。 *在一些文献中经常使用归一化频率: 各归一化频率皆无量纲，刻度相同。模拟频率与数字频率间的定标关系如图2.4.1所示。,图 2.4.1 模拟频率与数字频率之间的定标关系,2.5 序列的Z变换,2.5.1 Z变换的定义 序列x(n)的Z变换定义为 Z变换可记为ZT（Z Transform）,(2.5.1),式中z是一个复变量， 它所在的复平面称为z平面。 注意在定义中， 对n求和是在之间求和， 可以称为双边Z变换。 还有一种称为单边Z变换的定义， 如下式,(2.5.2),使(2.5.3)式成立， Z变量取值的域称为收敛域。一 般收敛域用环状域表示,这种单边Z变换的求和限是从零到无限大， 因此对于因果序列， 用两种Z变换定义计算出的结果是一样的。如不另外说明，均用双边Z变换对信号进行分析和变换。,(2.5.3),(2.5.1)式Z变换存在的条件是等号右边级数收敛， 要求级数绝对可和， 即,图 2.5.1 Z变换的收敛域,常见Z变换的结果是一个有理函数，用两个多项式之比表示 分子多项式P(z)的根是X(z)的零点，分母多项式Q(z)的根是X(z)的极点。在极点处Z变换不存在，因此收敛域中没有极点，收敛域总是用极点限定其边界。 对比序列的傅里叶变换定义(2.2.1)式 很容易得到FT和ZT之间的关系，用下式表示：,(2.5.4),式中z=ej表示在z平面上r=1的圆，该圆称为单位圆。(2.5.4)式表明单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换。如果已知序列的Z变换，可用(2.5.4)式，很方便的求出序列的FT，条件是收敛域中包含单位圆。 例 2.5.1 x(n)=u(n)，求其Z变换。 解 X(z)存在的条件是|z-1|1，,|z|1,由x(z)表达式表明，极点是z=1，单位圆上的Z变换不存在，或者说收敛域不包含单位圆。因此其傅里叶变换不存在，更不能用(2.5.4)式求FT。 该序列的FT不存在，但如果引进奇异函数()，其傅里叶变换可以表示出来(见p43表2.3.2)。 该例同时说明就算一个序列的傅里叶变换不存在，但是它的Z变换在一定收敛域内是存在的。,2.5.2 序列特性对收敛域的影响 序列的特性决定其Z变换收敛域，了解序列特性与收敛的一些一般关系，对使用Z变换是很有帮助的。 1. 有限长序列 如序列x(n)满足下式： x(n) n1nn2 x(n)= 0 其它,即序列x(n)从n1到n2序列值不全为零，此范围之外序列值为零，这样的序列称为有限长序列。 其Z变换为,设x(n)为有界序列，由于是有限项求和,因果序列,n10时， 00时， 0|z|,除0与两点是否收敛与n1、n2取值有关外，整个z平面均收敛。注意z-n项对收敛域的影响 如果n10，则收敛域不包括z=0点； 如果是因果序列，收敛域包括z=点，不包括z=0点。 具体有限长序列的收敛域表示如下：,这是一个因果的有限长序列，因此收敛域为0z。但由结果的分母可以看出似乎z=1是X(z)的极点，但同时分子多项式在z=1时也有一个零点，极零点对消。因此z=1并非极点。,例 2.5.2求x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域 解,2. 右序列 右序列是在nn1时，序列值不全为零，而其它nn1，序列值全为零。,第一项为有限长序列，设n1-1，其收敛域为0|z|。 第二项为因果序列，其收敛域为Rx-|z|，Rx-是第二项最小的收敛半径。 将两收敛域相与，其收敛域为Rx-|z|。 如果是因果序列(即n10)，收敛域定为Rx-|z|。,例 2.5.3求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域 解,必须满足等比|q|=|az-1|a|。 3. 左序列 左序列是在nn2时，序列值不全为零，而在nn2， 序列值全为零的序列。 左序列的Z变换表示为,如果n20，则收敛域为0|z| Rx+。 例 2.5.4 求x(n)=-anu(-n-1)的Z变换及其收敛域。 解,X(z)存在要求|a-1z|1， 即收敛域为|z|a|,4. 双边序列 一个双边序列可以看作一个左序列和一个右序列之和， 其Z变换表示为,X(z)的收敛域是X1(z)和X2(z)收敛域的公共收敛区域。 如果Rx+Rx-，其收敛域为Rx-|z|Rx+，这是一个环状域，如果Rx+Rx-，两个收敛域没有公共区域，X(z)没有收敛域，因此X(z)不存在。,例 2.5.5 x(n)=a|n|，a为实数，求x(n)的Z变换及其收敛域。 解,第一部分收敛域为|az|a|。如果|a|1，两部分的公共收敛域为|a|z|a|-1，其Z变换如下式：,|a|z|a|-1,如果|a|1，则无公共收敛域，因此X(z)不存在。 当0a1时，x(n)的波形及X(z)的收敛域如图2.5.2所示。,图 2.5.2 例2.5.5图,注： 1. x(n)的Z变换及其收敛域是“捆绑”的整体 2. 收敛域中无极点，收敛域总是以极点为界,2.5.3 逆Z变换 已知序列的Z变换及其收敛域，求序列称为逆Z变换。序列的Z变换及逆Z变换表示如下：,(2.5.5),积分路径c： 1. X(z)收敛域中； 2. 包围原点； 3. 逆时针围绕；,1. 用留数定理求逆Z变换 逆Z变换 根据留数定理,(2.5.6),逆Z变换则是围线c内所有的极点留数之和。 式中 表示被积函数X(z)zn-1在极点z=zk的留数。 (1) 如果zk是单阶极点，则根据留数定理,(2.5.7),由(2.5.8)式表明，对于N阶极点，需要求N-1次导数，这是比较麻烦的。 如果c内有多阶极点，而c外没有多阶极点，可以根据留数辅助定理改求c外的所有极点留数之和，使问题简单化。 留数辅助定理：设被积函数用F(z)表示， 即,(2) 如果zk是N阶极点，则根据留数定理,(2.5.8),留数辅助定理： F(z)在z平面上有N个极点，在收敛域内的封闭曲线c将z平面上极点分成两部分：一部分是c内极点，设有N1个极点，用z1k表示；另一部分是c外极点，有N2个，N=N1+N2，用z2k表示。根据留数辅助定理下式成立：,(2.5.9),注意：(2.5.9)式成立的条件是F(z)的分母阶次比分子 阶次必须高2阶以上。设X(z)=P(z)/Q(z)，P(z)与Q(z) 分别是M与N阶多项式。(2.5.9)式成立的条件是,N-(M+n-1)2 因此要求 N-M-n1 (2.5.10) 如果(2.5.10)式满足，c圆内极点中有多阶极点，而c圆外极点没有多阶的，可以按照(2.5.9)式，改求c圆外极点留数之和，最后加一个负号。 例2.5.6 已知X(z)=(1-az-1)-1，|z|a，求其逆Z变换x(n)。 解,分子阶次,分母阶次,z=a； z=0;(当n0时)共二个极点 其中z=0极点和n的取值有关。n0时，n=0不是极点；n0时，z=0是一个n阶极点。因此分成n0和n0两种情况求x(n)。 （1）n0 时，,为了用留数定理求解，先找出F(z)的极点，极点有：,n0时，增加z=0的n阶极点，不易求留数，采用留数辅助定理求解，检查(2.5.10)式是否满足，此处n0， 只要N-M0，(2.5.10)式就满足。圆外无极点，x(n)=0。 综合n0 和n0 两种情况的结构，有x(n)=anu(n),图 2.5.4 例2.5.6中n0时F(z)极点分布,2. 求逆Z变换：部分分式展开法 对于大多数单阶极点的序列，常常用这种部分分式展开法求逆Z变换。 设x(n)的Z变换X(z)是有理函数，分子多项式是M阶，分母多项式是N阶 方法： 1.将X(z)展成一些简单的常用的部分分式之和 2. 通过查表(参考p54表2.5.1)求得各部分的逆变换 3. 再相加即得到逆Z变换结果-序列x(n),表2.5.1 常见序列Z变换,补充：一些序列的Z变换,观察上式，X(z)/z在z=0的极点留数就是系数A0，在z=zm的极点留数就是系数Am。,(2.5.11),(2.5.12),(2.5.13),(2.5.14),求出Am系数(m=0,1,2,N)后，查p54表2.5.1很容易示求得x(n),部分分式展开方法：利用留数进行分解 设X(z)只有N个一阶极点，可展成,例2.5.10 已知 ，求逆Z变换。,解,收敛域为22 |z|3,第一部分极点是z=2,因此收敛域应取|z|2。 第二部分极点是z=-3,因此收敛域应取|z|3。 查表2.5.1得到 x(n)=2nu(n)+(-3)nu(-n-1),二者的交集,2.5.4 Z 变换的性质和定理 Z变换有许多重要的性质和定理，下面进行介绍。 1.线性 设 X(z)=ZTx(n),Rx-|z|Rx+ Y(z)=ZTy(n), Ry- |z| Ry+ m(n)=a x(n) +b y(n) 则 M(