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文档简介
,平面向量,知识要点,若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,则对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数1,2,使a1e12e2.,知识要点,不共线向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.,平面向量基本定理:,把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解,知识要点,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x、y,使得axiyj.,知识要点,把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a(x,y).其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,上式叫做向量的坐标表示.,知识要点,平面向量的坐标运算 (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则ab= . (2)如果 , 则AB = . (3)若a=(x,y)则a= . 平行与垂直的充要条件 (1)若a =(x1, y1), b=(x2,y2),则ab的充要条件是 . (2)若a =(x1, y1), b=(x2,y2),则ab的充要条件是 .,x1x2+y1y2=0,(x1x2,y1y2),A(x1,y1),B(x2,y2),(x2-x1, y2-y1),(x,y),x1y2-x2y1=0,向量的夹角 两个非零向量a和b,作OA=a,OB=b, 则 叫做向量a与b的夹角,记作 . 如果夹角是 ,我们说a与b垂直, 记作 . 向量的数量积 已知两个非零向量a和b,它们的夹角为,我们把数量 叫做a与b的数量积(或内积),记作 .,AOB=(0180),ab=|a|b|cos,|a|b|cos,ab,90,a,b=,规定:零向量与任一向量的数量积为 . 向量的数量积满足的运算律: (1) ; (2) ; (3) . 数量积的性质: (1)ea= = (e是与a同方向的单位向量); (2)a2= ;,0,ab=|a|b|cos,(a+b)c=ac+bc,|a|cos,ae,(a)b=(ab)=a(b),|a|2,(3)ab=0则 ;(4)cos= ; (5)|ab| |a|b|. 向量数量积的坐标运算 若a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则ab= . 向量a在b上的投影为 .,ab|a|b|,ab,x1x2+y1y2,拓展延伸,1. ,零向量的方向是任意的; 若a为非零向量,则 为单位向量.,拓展延伸,2.由数量积可得如下一些结论: (1)ab ab0(a0,b0);,(2)夹角公式: ;,(3)投影公式: ;,(4)|ab|a|b|;,(5)(ab)2a22abb2, (ab)(ab)a2b2.,3.数量积不满足结合律,即 (ab)ca(bc).,4.若非零向量a与b的夹角为钝角,则 a
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