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6.2 等差数列,高考数学 (浙江专用),A组 自主命题浙江卷题组,五年高考,1.(2016浙江,6,5分)如图,点列An,Bn分别在某锐角的两边上,且 |AnAn+1|=|An+1An+2|,AnAn+2,nN*, |BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,BnBn+2,nN*. (PQ表示点P与Q不重合) 若dn=|AnBn|,Sn为AnBnBn+1的面积,则 ( ) A.Sn是等差数列 B. 是等差数列 C.dn是等差数列 D. 是等差数列,答案 A 不妨设锐角的顶点为C,A1CB1=,|A1C|=a,依题意,知A1、A2、An顺次排列,设| AnAn+1|=b,|BnBn+1|=c,则|CAn|=a+(n-1)b,作AnDnCBn于Dn,则|AnDn|=a+(n-1)bsin ,于是Sn= |BnBn+1| |AnDn|= ca+(n-1)bsin = bcsin n+ (a-b)csin ,易知Sn是关于n的一次函数,所以Sn是等差 数列.故选A.,2.(2015浙江,3,5分)已知an是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn.若a3,a4,a8成等比数列,则 ( ) A.a1d0,dS40 B.a1d0,dS40,答案 B 由 =a3a8,得(a1+2d)(a1+7d)=(a1+3d)2,整理得d(5d+3a1)=0,又d0,a1=- d,则a1d=- d20,又S4=4a1+6d=- d,dS4=- d20,故选B.,3.(2015浙江文,10,6分)已知an是等差数列,公差d不为零.若a2,a3,a7成等比数列,且2a1+a2=1,则a1 = ,d= .,答案 ;-1,解析 a2,a3,a7成等比数列, =a2a7,即(a1+2d)2=(a1+d)(a1+6d),解得d=- a1, 2a1+a2=1,3a1+d=1, 由可得a1= ,d=-1.,考点一 等差数列的有关概念及运算,B组 统一命题、省(区、市)卷题组,1.(2019课标全国理,9,5分)记Sn为等差数列an的前n项和.已知S4=0,a5=5,则 ( ) A.an=2n-5 B.an=3n-10 C.Sn=2n2-8n D.Sn= n2-2n,答案 A 本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式;考查学生的运算求解能力;考查的核 心素养是数学运算. 设an的公差为d,依题意得,4a1+ d=0,a1+4d=5, 联立,解得a1=-3,d=2.所以an=2n-5,Sn=n2-4n.故选A.,解后反思 解数列选择题,可以用逐项检验法、排除法或赋值法等“快速”解法.本题若用逐 项检验法去验证S4和a5,就会发现无法排除错误选项.因此,还是要从通用方法入手.,2.(2017课标全国理,9,5分)等差数列an的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则an 前6项的和为 ( ) A.-24 B.-3 C.3 D.8,答案 A 本题主要考查等差数列的通项公式及前n项和公式. 设等差数列an的公差为d,依题意得 =a2a6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),解得d=-2或d=0(舍去),又a 1=1,S6=61+ (-2)=-24.故选A.,3.(2016课标全国,3,5分)已知等差数列an前9项的和为27,a10=8,则a100= ( ) A.100 B.99 C.98 D.97,答案 C 设an的公差为d,由等差数列前n项和公式及通项公式,得 解得 an=a1+(n-1)d=n-2,a100=100-2=98.故选C.,方法总结 已知条件中有具体的an、Sn的值时,通常用基本元素法处理,即在a1、d、n、an、Sn 这5个量中知三求二.,4.(2019课标全国文,14,5分)记Sn为等差数列an的前n项和.若a3=5,a7=13,则S10= .,答案 100,解析 本题考查等差数列的性质和前n项和公式,考查学生的运算求解能力,考查数学运算的 核心素养. 设等差数列an的公差为d,则d= = =2, a1=a3-2d=5-4=1. S10=10+ 2=100.,失分警示 对等差数列前n项和公式记忆不清,从而导致出错.,5.(2019北京理,10,5分)设等差数列an的前n项和为Sn.若a2=-3,S5=-10,则a5= ,Sn的最小 值为 .,答案 0;-10,解析 本题考查等差数列的通项公式及前n项和公式;考查函数的思想方法;通过求最值考查 学生的运算求解能力.考查的核心素养是数学运算. 设等差数列an的公差为d,a2=-3,S5=-10, 即 得 a5=a1+4d=0,Sn=na1+ d=-4n+ = (n2-9n)= - , nN*,n=4或5时,Sn取最小值,最小值为-10.,一题多解 设等差数列an的公差为d,易得S5= =5a3,S5=-10,a3=-2,又a2=-3,d=1, a5=a3+2d=0,(Sn)min=S4=S5=-10.,6.(2019课标全国理,14,5分)记Sn为等差数列an的前n项和,若a10,a2=3a1,则 = .,答案 4,解析 本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式;考查学生对数列基础知识的掌握程度和 运算求解能力;考查了数学运算的核心素养. 设等差数列an的公差为d,a2=3a1, a2=a1+d=3a1,d=2a1, S10=10a1+ d=100a1, S5=5a1+ d=25a1, 又a10, =4.,7.(2019江苏,8,5分)已知数列an(nN*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的 值是 .,答案 16,解析 本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式,考查学生的运算求解能力,同时考查数 列基础知识的应用能力. 设数列an的公差为d, 则 解得a1=-5,d=2,所以S8=8(-5)+ 2=16.,一题多解 数列an是等差数列,S9= =9a5=27,a5=3,由3a2+a8=0,得3(a5-3d)+a5+3d =0,即12-6d=0,d=2, S8= =4(a4+a5)=4(a5-d+a5)=16.,8.(2018北京理,9,5分)设an是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则an的通项公式为 .,答案 an=6n-3,解析 本题主要考查等差数列的通项公式. 设等差数列an的公差为d,则a2+a5=a1+d+a1+4d=2a1+5d=6+5d=36,d=6,an=a1+(n-1)d=3+6(n- 1)=6n-3.,9.(2017课标全国理,15,5分)等差数列an的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则 = .,答案,解析 本题主要考查等差数列基本量的计算及裂项相消法求和. 设公差为d,则 an=n. 前n项和Sn=1+2+n= , = =2 , =2 1- + - + - =2 =2 = .,思路分析 求出首项a1和公差d,从而求出Sn. = =2 ,从而运用裂项相消法求和 即可.,解后反思 裂项相消法求和的常见类型: 若an是等差数列,则 = (d0); = ( - ); = - .,10.(2016江苏,8,5分)已知an是等差数列,Sn是其前n项和.若a1+ =-3,S5=10,则a9的值是 .,答案 20,解析 设等差数列an的公差为d,则由题设可得 解得 从而a9=a1+8d=20.,评析 数列的计算求值问题一般应以“基本元素”为主.,11.(2016北京,12,5分)已知an为等差数列,Sn为其前n项和.若a1=6,a3+a5=0,则S6= .,答案 6,解析 设等差数列an的公差为d,a1=6,a3+a5=0, 6+2d+6+4d=0,d=-2,S6=66+ (-2)=6.,评析 本题考查等差数列的前n项和公式,属容易题.,12.(2019课标全国文,18,12分)记Sn为等差数列an的前n项和.已知S9=-a5. (1)若a3=4,求an的通项公式; (2)若a10,求使得Snan的n的取值范围.,解析 本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式;考查学生对数列基础知识的掌握程度和 应用能力,主要考查数学运算的核心素养. (1)设an的公差为d. 由S9=-a5得a1+4d=0. 由a3=4得a1+2d=4. 于是a1=8,d=-2. 因此an的通项公式为an=10-2n. (2)由(1)得a1=-4d,故an=(n-5)d,Sn= . 由a10知d0,故Snan等价于n2-11n+100,解得1n10. 所以n的取值范围是n|1n10,nN.,思路分析 (1)根据题意列出两个关于a1和d的方程,然后解得a1与d,从而得an的通项公式. (2)根据(1)中a1与d的关系,利用等差数列的前n项和公式及通项公式,得出关于n的不等式,从而 得出n的取值范围.,13.(2018课标全国理,17,12分)记Sn为等差数列an的前n项和,已知a1=-7,S3=-15. (1)求an的通项公式; (2)求Sn,并求Sn的最小值.,解析 (1)设an的公差为d,由题意得3a1+3d=-15. 由a1=-7得d=2. 所以an的通项公式为an=2n-9. (2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16, 所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.,方法总结 求等差数列前n项和Sn的最值的两种方法: (1)函数法:利用等差数列前n项和的函数表达式Sn=an2+bn,通过配方或借助函数图象求二次函 数的最值. (2)邻项变号法: 当a10,d0时,满足 的项数m,可使得Sn取得最小值,最小值为Sm.,1.(2017课标全国理,4,5分)记Sn为等差数列an的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则an的公差为 ( ) A.1 B.2 C.4 D.8,考点二 等差数列的性质及应用,答案 C 本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式以及等差数列的性质,考查学生对数 列基础知识的掌握程度和应用能力. 解法一:等差数列an中,S6= =48,则a1+a6=16=a2+a5,又a4+a5=24,所以a4-a2=2d=24-16=8, 得d=4,故选C. 解法二:由已知条件和等差数列的通项公式与前n项和公式可列方程组,得 即 解得 故选C.,方法总结 求解此类题时,常用Sn= 先求出a1+an的值,再结合等差数列中“若m,n,p,q N*,m+n=p+q,则am+an=ap+aq”的性质求解数列中的基本量.,2.(2015北京,6,5分)设an是等差数列.下列结论中正确的是 ( ) A.若a1+a20,则a2+a30 B.若a1+a3 D.若a10,答案 C 因为an为等差数列,所以2a2=a1+a3. 当a2a10时,得公差d0,a30,a1+a32 ,2a22 ,即a2 ,故选C.,3.(2015重庆,2,5分)在等差数列an中,若a2=4,a4=2,则a6= ( ) A.-1 B.0 C.1 D.6,答案 B a2+a6=2a4,a6=2a4-a2=4-4=0.,4.(2015广东,10,5分)在等差数列an中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8= .,答案 10,解析 利用等差数列的性质可得a3+a7=a4+a6=2a5,从而a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25,故a5=5,所以a2+a8 =2a5=10.,5.(2019北京文,16,13分)设an是等差数列,a1=-10,且a2+10,a3+8,a4+6成等比数列. (1)求an的通项公式; (2)记an的前n项和为Sn,求Sn的最小值.,解析 本题属等差、等比数列的综合运用,重在考查等差、等比数列的基础知识、基本运算, 考查的学科素养为数学抽象与数学运算. (1)设an的公差为d. 因为a1=-10, 所以a2=-10+d,a3=-10+2d,a4=-10+3d. 因为a2+10,a3+8,a4+6成等比数列, 所以(a3+8)2=(a2+10)(a4+6). 所以(-2+2d)2=d(-4+3d). 解得d=2. 所以an=a1+(n-1)d=2n-12. (2)由(1)知,an=2n-12. 所以,当n7时,an0;当n6时,an0. 所以,Sn的最小值为S6=-30.,C组 教师专用题组,1.(2018课标全国理,4,5分)记Sn为等差数列an的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5= ( ) A.-12 B.-10 C.10 D.12,答案 B 本题主要考查等差数列的通项公式及前n项和公式. 设等差数列an的公差为d,则3(3a1+3d)=2a1+d+4a1+6d,即d=- a1,又a1=2,d=-3,a5=a1+4d=- 10,故选B.,2.(2018北京文,15,13分)设an是等差数列,且a1=ln 2,a2+a3=5ln 2. (1)求an的通项公式; (2)求 + + .,解析 (1)设an的公差为d. 因为a2+a3=5ln 2, 所以2a1+3d=5ln 2. 又a1=ln 2,所以d=ln 2. 所以an=a1+(n-1)d=nln 2. (2)因为 =eln 2=2, = =eln 2=2, 所以 是首项为2,公比为2的等比数列. 所以 + + =2 =2(2n-1).,考点一 等差数列的有关概念及运算,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,1.(2019浙江宁波北仑中学模拟(一),2)设等差数列an的前n项和为Sn,且a3+a5+a7=15,则S9= ( ) A. 60 B.45 C.36 D.18,答案 B 由a3+a5+a7=15得3a1+12d=15,即a1+4d=5. 又S9=9a1+36d=9(a1+4d)=45,故选B.,2.(2019浙江学军中学期中,2)在等差数列an中,如果a1=2,a2=5,那么a11等于 ( ) A.34 B.32 C.30 D.28,答案 B 由题意得an=a1+(n-1)(a2-a1)=3n-1,所以a11=32,故选B.,3.(2019浙江台州期末,3)已知公差不为零的等差数列an满足 =a1a4,Sn为数列an的前n项和, 则 的值为 ( ) A. B.- C. D.-,答案 A 由题意可知 =(a3-2d)(a3+d),即a3d+2d2=0. 因为d0,所以a3=-2d,所以a1=-4d,a2=-3d,所以 = = ,故选A.,4.(2019浙江高考数学仿真卷(一),11)孙子算经是我国古代的数学名著,书中有如下问题: “今有五等诸侯,共分橘子六十颗,人别加三颗.问:五人各得几何?”其意思为“有5个人分60 个橘子,他们分得橘子的个数成公差为3的等差数列,问5人各得多少橘子?”这个问题中,得到 橘子最多的人所得的橘子个数是 ,得到橘子最少的人所得的橘子个数是 .,答案 18;6,解析 设第一个人分到的橘子个数为a,由题意得S5=5a1+ 3=60,解得a1=6.所以a5=6+(5-1) 3=18.所以5个人中最多的有18个橘子,最少的有6个橘子.,5.(2019浙江宁波期末,15)设等差数列an的前14项和a1+a2+a14=77,已知a1,a11均为正整数,则 公差d= .,答案 -1,解析 由a1+a2+a14=77可得a1+a14=11,即2a1+13d=11,所以d= . 所以a11=a1+10d= ,所以a1= . 因为a1,a11均为正整数,所以 0, 解得0a118,又a11N*,将a11的值依次代入a1= 中,得a11=2,a1=12,所以d= =-1.,6.(2019浙江高考信息优化卷(五),13)已知等差数列an的前n项和为Sn,Sn=8n-n2,则a10= ,数列Sn中第 项最大.,答案 -11;4,解析 当n=1时,a1=S1=7, 当n2时,an=Sn-Sn-1=-2n+9,当n=1时也满足an=-2n+9. 所以an=-2n+9,所以a10=-11. 令an=-2n+90,得n . 所以当n4时,an0,当n5时,an0,所以Sn中第4项最大.,7.(2018浙江金华十校高考模拟(4月),15)已知等差数列an满足:a40,a50,数列的前n项和为Sn, 则 的取值范围是 .,答案,解析 由题意知 则-3da1-4d.又a5a4,所以d0,所以-4 -3.又 = = ,令x= ,则x(-4,-3),所以 = = + .,8.(2019浙江温州普通高中高考适应性测试(2月),20)设Sn为数列an的前 n 项和,且 S2=8,2Sn=(n +1)an+n-1. (1)求 a1,a2 并证明数列an为等差数列; (2)若不等式2n-Sn0对任意正整数 n 恒成立,求实数的取值范围.,解析 (1)由2S2=3a2+1,S2=8,得a2=5.a1=3. 2Sn=(n+1)an+n-1,2Sn+1=(n+2)an+1+n, 两式相减得2an+1=(n+2)an+1-(n+1)an+1, 即nan+1-(n+1)an+1=0. (n+1)an+2-(n+2)an+1+1=0. -得(n+1)an+2-(2n+2)an+1+(n+1)an=0,即an+2-2an+1+an=0,即an+2-an+1=an+1-an. 故数列an为等差数列,且an=2n+1. (2)an=2n+1,Sn=n2+2n. 由2n-Sn0得 , . 令bn= ,则bn+1-bn= ,b1b3b4, = =2.2.,1.(2019浙江金华十校期末,13)记等差数列an的前n项和为Sn,若a10,a2+a2 017=0,则S2 018= ;当Sn取得最大值时,n= .,考点二 等差数列的性质及应用,答案 0;1 009,解析 a10,a2+a2 017=0, a1+a2 018=a2+a2 017=0, S2 018= =0. 由a2+a2 017=0知a1 009+a1 010=0,又a10,a1 0090,a1 0100,故当Sn取得最大值时,n=1 009.,2.(2019浙江金丽衢第一次联考,20)已知数列an,a1=2,a2=6,且满足 =2(n2且nN*). (1)求证:an+1-an为等差数列; (2)令bn= - ,设数列bn的前n项和为Sn,求S2n-Sn的最大值.,解析 (1)证明:由 =2得an+1+an-1=2an+2,则(an+1-an)- (an-an-1)=2.又a2-a1=4, 所以an+1-an是首项为4,公差为2的等差数列. ( 5分) (2)当n2时,由(1)知an=(an-an-1)+(a2-a1)+a1=2n+4+2=2 =n(n+1). 当n=1时,a1=2满足an=n(n+1),故an=n(n+1). (8分) bn= - = - . Sn=10 - , S2n=10 - .,. 设Mn=S2n-Sn=10 - , (11分) Mn+1=10 - , Mn+1-Mn=10 - =10 - = - . 当n=1时,Mn+1-Mn= - 0,即M1M2;,当n2时,Mn+1-MnM3M4, Mn的最大值为M2,M2=10 -1= , 即S2n-Sn的最大值为S4-S2= . (15分),B组 20172019年高考模拟专题综合题组 时间:20分钟 分值:40分 一、选择题(每小题4分,共8分),1.(2019浙江杭州二模(4月),9)已知数列an满足2anan-1+an+1(nN*,n2),则 ( ) A.a54a2-3a1 B.a2+a7a3+a6 C.3(a7-a6)a6-a3 D.a2+a3a6+a7,答案 C 由题意可知an+1-anan-an-1(n2,nN*). a5=a5-a4+a4-a3+a3-a2+a2(a2-a1)+(a2-a1)+(a2-a1)+a2=4a2-3a1,所以选项A错误; a7=a7-a6+a6a3-a2+a6a2+a7a3+a6,所以选项B错误; a7-a6a6-a5a5-a4a4-a3,从而(a7-a6)+(a7-a6)+(a7-a6)(a6-a5)+(a5-a4)+(a4-a3),即3(a7-a6)a6-a3,所 以选项C正确; 取an=n2,则显然数列an满足2anan-1+an+1,且单调递增,所以选项D错误. 综上,故选C.,2.(2017浙江金华十校联考(4月),8)已知a,b为常数,ci(iN*)是公比不为1的等比数列,直线ax+ by+ci=0与抛物线y2=2px(p0)均相交,所成弦的中点为Mi(xi,yi),则下列说法错误的是 ( ) A.数列xi可能是等比数列 B.数列yi是常数列 C.数列xi可能是等差数列 D.数列xi+yi 可能是等比数列,答案 C 因为直线ax+by+ci=0与抛物线y2=2px(p0)均相交,所以b0, 联立 消去x得,ay2+2pby+2pci=0, 故yi=- (定值),代入ax+by+ci=0,则有xi= , 因此yi是常数列,选项B正确;当b=0时,xi=- ,xi+yi=- ,所以此时xi,xi+yi均为等比数列,选项 A,D正确.故选C.,3.(2019浙江学军

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