3[1].14发2012年考研数学:高数中的重要定理与公式及其证明(一).doc3[1].14发2012年考研数学:高数中的重要定理与公式及其证明(一).doc

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高数中的重要定理与公式及其证明(一)文章来源跨考教育考研数学中最让考生头疼的当属证明题,而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。如果本着严谨的对待数学的态度,一切定理的推导过程都是应该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试,很多时候要求没有那么高。而有些定理的证明又过于复杂,硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力,最后还弄得自己一头雾水。因此,在这方面可以有所取舍。现将高数中需要掌握证明过程的公式定理总结如下。这些证明过程,或是直接的考点,或是蕴含了重要的解题思想方法,在复习的初期,先掌握这些证明过程是必要的。1)常用的极限0LN1LIM1XXX,01LIM1XXEX,01LIMLNXXAAX,011LIMAXXAX,201COS1LIM2XXX【点评】这几个公式大家在计算极限的过程中都再熟悉不过了,但有没有人想过它们的由来呢事实上,这几个公式都是两个重要极限10LIM1XXXE与0SINLIM1XXX的推论,它们的推导过程中也蕴含了计算极限中一些很基本的方法技巧。证明0LN1LIM1XXX由极限10LIM1XXXE两边同时取对数即得0LN1LIM1XXX。01LIM1XXEX在等式0LN1LIM1XXX中,令LN1XT,则1TXE。由于极限过程是0X,此时也有0T,因此有0LIM11TTTE。极限的值与取极限的符号是无关的,因此我们可以吧式中的T换成X,再取倒数即得01LIM1XXEX。01LIMLNXXAAX利用对数恒等式得LN0011LIMLIMXXAXXAEXX,再利用第二个极限可得LNLN0011LIMLNLIMLNLNXAXAXXEEAAXXA。因此有01LIMLNXXAAX。011LIMAXXAX利用对数恒等式得LN1LN1LN1000001111LN11LN1LIMLIMLIMLIMLIMLN1LN1AAXAXAXXXXXXXEEXEXAAAXXAXXAXX上式中同时用到了第一个和第二个极限。201COS1LIM2XXX利用倍角公式得22220002SINSIN1COS1122LIMLIMLIM222XXXXXXXXX。2)导数与微分的四则运算法则22,D,D,D0UVUVUVDUDVUVUVUVUVVDUUDVUVUUVUVDUUDVVVVVV【点评】这几个求导公式大家用得也很多,它们的证明需要用到导数的定义。而导数的证明也恰恰是很多考生的薄弱点,通过这几个公式可以强化相关的概念,避免到复习后期成为自己的知识漏洞。具体的证明过程教材上有,这里就不赘述了。3)链式法则设,YFUUX,如果X在X处可导,且FU在对应的UX处可导,则复合函数YFX在X处可导可导,且有DYDYDUFXFUXDXDUDX或【点评】同上。4)反函数求导法则设函数YFX在点X的某领域内连续,在点0X处可导且0FX,并令其反函数为XGY,且0X所对应的Y的值为0Y,则有000111DXGYDYFXFGYDYDX或【点评】同上。5)常见函数的导数1XX,SINCOSXX,COSSINXX,1LNXX,1LOGLNAXXA,XXEE,LNXXAEA【点评】这些求导公式大家都很熟悉,但很少有人想过它们的由来。实际上,掌握这几个公式的证明过程,不但可以帮助我们强化导数的定义这个薄弱点,对极限的计算也是很好的练习。现选取其中典型予以证明。证明1XX导数的定义是0LIMXFXXFXFXX,代入该公式得11001111LIMLIMXXXXXXXXXXXXXXX。最后一步用到了极限011LIMAXXAX。注意,这里的推导过程仅适用于0X的情形。0X的情形需要另行推导,这种情况很简单,留给大家。SINCOSXX利用导数定义0SINSINSINLIMXXXXXX,由和差化积公式得002COSSINSINSIN22LIMLIMCOSXXXXXXXXXXX。COSSINXX的证明类似。1LNXX利用导数定义00LN1LNLN1LNLIMLIMXXXXXXXXXXX。1LOGLNAXXA的证明类似(利用换底公式LNLOGLNAXXA)。XXEE利用导数定义001LIMLIMXXXXXXXXXEEEEEEXX。LNXXAEA的证明类似(利用对数恒等式LNXXAAE)。
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