2008年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷分类汇编3.4数列综合应用.doc_第1页
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文档简介

高考地理复习第三章数列四数列综合应用【考点阐述】数列综合应用【考试要求】(4)运用等差数列、等比数列及求和知识解决数列综合问题。【考题分类】(一)解答题(共35题)1.(安徽卷理21)设数列na满足3*010,1,nnaacaccNc其中为实数()证明:0,1na对任意*nN成立的充分必要条件是0,1c;()设103c,证明:1*1(3),nnacnN;()设103c,证明:222*1221,13naaannNc解(1)必要性:120,1aac,又20,1,011ac,即0,1c充分性:设0,1c,对*nN用数学归纳法证明0,1na当1n时,100,1a.假设0,1(1)kak则31111kkacaccc,且3110kkacacc10,1ka,由数学归纳法知0,1na对所有*nN成立(2)设103c,当1n时,10a,结论成立当2n时,3211111,1(1)(1)nnnnnnacacacaaa103C,由(1)知10,1na,所以21113nnaa且110na113(1)nnaca21112113(1)(3)(1)(3)(1)(3)nnnnnacacacac高考地理复习1*1(3)()nnacnN(3)设103c,当1n时,2120213ac,结论成立当2n时,由(2)知11(3)0nnac21212(1)1(1(3)12(3)(3)12(3)nnnnnacccc2222221122123(3)(3)nnnaaaaanccc2(1(3)2111313ncnncc2.(安徽卷文21)设数列na满足*01,1,nnaaacaccN其中,ac为实数,且0c()求数列na的通项公式()设11,22ac,*(1),nnbnanN,求数列nb的前n项和nS;()若01na对任意*nN成立,证明01c解(1)方法一:11(1)nnaca当1a时,1na是首项为1a,公比为c的等比数列。11(1)nnaac,即1(1)1nnaac。当1a时,1na仍满足上式。数列na的通项公式为1(1)1nnaac*()nN。方法二由题设得:当2n时,2111211(1)(1)(1)(1)nnnnnacacacaac1(1)1nnaac1n时,1aa也满足上式。数列na的通项公式为1(1)1nnaac*()nN。(2)由(1)得11(1)()2nnnbnacn2121112()()222nnnSbbbn2311111()2()()2222nnSn高考地理复习2111111()()()22222nnnSn211111111()()()21()()222222nnnnnSnn12(2)()2nnSn(3)由(1)知1(1)1nnaac若10(1)11nac,则10(1)1nac101,aa1*10()1ncnNa由10nc对任意*nN成立,知0c。下面证1c,用反证法方法一:假设1c,由函数()xfxc的函数图象知,当n趋于无穷大时,1nc趋于无穷大111nac不能对*nN恒成立,导致矛盾。1c。01c方法二:假设1c,111nca,11loglog1nccca即*11log()1cnnNa恒成立(),ac为常数,()式对*nN不能恒成立,导致矛盾,1c01c3.(北京卷理20)对于每项均是正整数的数列12nAaaa:,定义变换1T,1T将数列A变换成数列1()TA:12111nnaaa,对于每项均是非负整数的数列12mBbbb:,定义变换2T,2T将数列B各项从大到小排列,然后去掉所有为零的项,得到数列2()TB;又定义2221212()2(2)mmSBbbmbbbb设0A是每项均为正整数的有穷数列,令121()(012)kkATTAk,()如果数列0A为5,3,2,写出数列12AA,;()对于每项均是正整数的有穷数列A,证明1()()STASA;()证明:对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列0A,存在正整数K,当kK时,高考地理复习1()()kkSASA解析:()解:0532A:,10()3421TA:,1210()4321ATTA:,;11()43210TA:,2211()4321ATTA:,()证明:设每项均是正整数的有穷数列A为12naaa,则1()TA为n,11a,21a,1na,从而112()22(1)3(1)(1)(1)nSTAnaana222212(1)(1)(1)nnaaa又2221212()2(2)nnSAaanaaaa,所以1()()STASA12223(1)2()nnnaaa2122()nnaaan2(1)0nnnn,故1()()STASA()证明:设A是每项均为非负整数的数列12naaa,当存在1ijn,使得ijaa时,交换数列A的第i项与第j项得到数列B,则()()2()jiijSBSAiajaiaja2()()0jiijaa当存在1mn,使得120mmnaaa时,若记数列12maaa,为C,则()()SCSA所以2()()STASA从而对于任意给定的数列0A,由121()(012)kkATTAk,可知11()()kkSASTA又由()可知1()()kkSTASA,所以1()()kkSASA高考地理复习即对于kN,要么有1()()kkSASA,要么有1()()1kkSASA因为()kSA是大于2的整数,所以经过有限步后,必有12()()()kkkSASASA即存在正整数K,当kK时,1()()kkSASA4.(北京卷文20)数列na满足11a,21()nnanna(12n,),是常数()当21a时,求及3a的值;()数列na是否可能为等差数列?若可能,求出它的通项公式;若不可能,说明理由;()求的取值范围,使得存在正整数m,当nm时总有0na解:()由于21()(12)nnannan,且11a所以当21a时,得12,故3从而23(223)(1)3a()数列na不可能为等差数列,证明如下:由11a,21()nnanna得22a,3(6)(2)a,4(12)(6)(2)a若存在,使na为等差数列,则3221aaaa,即(5)(2)1,解得3于是2112aa,43(11)(6)(2)24aa这与na为等差数列矛盾所以,对任意,na都不可能是等差数列()记2(12)nbnnn,根据题意可知,10b且0nb,即2且2*()nnnN,这时总存在*0nN,满足:当0nn时,0nb;当01nn时,0nb所以由1nnnaba及110a可知,若0n为偶数,则00na,从而当0nn时,0na;若0n为奇数,则00na,从而当0nn时0na因此“存在*mN,当nm时总有0na”的充分必要条件是:0n为偶数,高考地理复习记02(12)nkk,则满足22221(2)20(21)210kkbkkbkk故的取值范围是22*4242()kkkkkN5.(福建卷理19)已知函数321()23fxxx.()设an是正数组成的数列,前n项和为Sn,其中a1=3.若点211(,2)nnnaaa(nN*)在函数y=f(x)的图象上,求证:点(n,Sn)也在y=f(x)的图象上;()求函数f(x)在区间(a-1,a)内的极值.解:()证明:因为321()2,3fxxx所以2()2fxxx,由点211(,2)(N)nnnaaan在函数()yfx的图象上,221122nnnnaaaa111()()2()nnnnnnaaaaaa,又0(N),nan所以12nnaa,na是13,2ad的等差数列所以2(1)32=22nnnSnnn,又因为2()2fnnn,所以()nSfn,故点(,)nnS也在函数()yfx的图象上.()解:2()2(2)fxxxxx,令()0,fx得02xx或.当x变化时,()fx()fx的变化情况如下表:x(-,-2)-2(-2,0)0(0,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值注意到(1)12aa,从而当212,21,()(2)3aaafxf即时的极大值为,此时()fx无极小值;当10,01,()aaafx即时的极小值为(0)2f,此时()fx无极大值;当2101,()aaafx或或时既无极大值又无极小值.6.(广东卷理21)设pq,为实数,是方程20xpxq的两个实根,数列nx满高考地理复习足1xp,22xpq,12nnnxpxqx(34n,)(1)证明:p,q;(2)求数列nx的通项公式;(3)若1p,14q,求nx的前n项和nS【解析】(1)由求根公式,不妨设,得2244,ppqppq2244ppqppqp,2244ppqppqq(2)设112()nnnnxsxtxsx,则12()nnnxstxstx,由12nnnxpxqx得stpstq,消去t,得20spsq,s是方程20xpxq的根,由题意可知,12,ss当时,此时方程组stpstq的解记为12sstt或112(),nnnnxxxx112(),nnnnxxxx即11nnxtx、21nnxtx分别是公比为1s、2s的等比数列,由等比数列性质可得2121()nnnxxxx,2121()nnnxxxx,两式相减,得2212121()()()nnnxxxxx221,xpqxp,222x,1x22221()nnnxx,22221()nnnxx1()nnnx,即1nnnx,11nnnx当时,即方程20xpxq有重根,240pq,即2()40stst,得2()0,stst,不妨设st,由可知2121()nnnxxxx,2121()nnnnxxxx高考地理复习即1nnnxx,等式两边同时除以n,得111nnxx,即111nnxx数列nnx是以1为公差的等差数列,12(1)111nnxxnnn,nnnxn综上所述,11,(),()nnnnnxn(3)把1p,14q代入20xpxq,得2104xx,解得1211()()22nnnxn232311111111()()().()()2()3().()22222222nnnSn23111111()()2()3().()22222nnn111111()2()()3(3)()2222nnnnnn7.(广东卷文21)设数列na满足11a,22a,121(2)3nnnaaa(3,4,)n。数列nb满足11,(2,3,)nbbn是非零整数,且对任意的正整数m和自然数k,都有111mmmkbbb。(1)求数列na和nb的通项公式;(2)记(1,2,)nnncnabn,求数列nc的前n项和nS。【解析】(1)由121()3nnnaaa得1122()3nnnnaaaa(3)n又2110aa,数列1nnaa是首项为1公比为23的等比数列,1123nnnaa12132431()()()()nnnaaaaaaaaaa高考地理复习2222211333n112183231255313nn,由122221111,0bbbbZb得21b,由233331111,0bbbbZb得31b,同理可得当n为偶数时,1nb;当n为奇数时,1nb;因此1-1nb(2)11832553832553nnnnnnncnabnn1234nnSccccc当n为奇数时,012

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