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2008年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷分类汇编8.3抛物线.doc2008年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷分类汇编8.3抛物线.doc -- 8 元

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高考地理复习第八章圆锥曲线方程三抛物线【考点阐述】抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质.【考试要求】(3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.【考题分类】(一)选择题(共3题)1.(海南宁夏卷理11)已知点P在抛物线y24x上,那么点P到点Q(2,-1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为()A.(41,-1)B.(41,1)C.(1,2)D.(1,-2)解点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离,如图PFPQPSPQ,故最小值在,,SPQ三点共线时取得,此时,PQ的纵坐标都是1,所以选A。(点P坐标为1,14)2.(辽宁卷理10)已知点P是抛物线22yx上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A.172B.3C.5D.92A.172B.3C.5D.92答案A解析本小题主要考查抛物线的定义解题。依题设P在抛物线准线的投影为P,抛物线的焦点为F,则1,02F,依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为||||PPPF,则点P到点0,2A的距离与P到该抛物线准线的距离之和22117||||||2.22dPFPAAF3.(四川卷理12)已知抛物线28Cyx的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点A在C上且2AKAF,则AFK的面积为(A)4(B)8(C)16(D)32【解】∵抛物线28Cyx的焦点为20F,,准线为2x∴20K,高考地理复习设00Axy,,过A点向准线作垂线AB,则02By,∵2AKAF,又0022AFABxx∴由222BKAKAB得22002yx,即20082xx,解得24A,∴AFK的面积为01144822KFy故选B【点评】此题重点考察双曲线的第二定义,双曲线中与焦点,准线有关三角形问题【突破】由题意准确画图,利用离心率转化位置,在ABK中集中条件求出0x是关键(二)填空题(共6题)1.(江西卷理15)过抛物线220xpyp的焦点F作倾角为30的直线,与抛物线分别交于A、B两点(A在y轴左侧),则AFFB.【解】132.(全国Ⅰ卷理14文14)已知抛物线21yax的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为.答案2.由抛物线21yax的焦点坐标为10,14a为坐标原点得,14a,则2114yx与坐标轴的交点为0,1,2,0,2,0,则以这三点围成的三角形的面积为141223.(全国Ⅱ卷理15)已知F是抛物线24Cyx的焦点,过F且斜率为1的直线交C于AB,两点.设FAFB,则FA与FB的比值等于.【答案】322【解析】设A(1x,1y)B(2x,2y)由0164122xxxyxy2231x,2232x,(21xx)∴由抛物线的定义知22322222242241121xxFBFA【高考考点】直线与抛物线的位置关系,抛物线定义的应用4.(全国Ⅱ卷文15)已知F是抛物线24Cyx的焦点,AB,是C上的两个点,线段AB的中点为22M,,则ABF△的面积等于.高考地理复习AyxOBGFF1图4【答案】2【解析】设过M的直线方程为22xky,由01444222222kkxxkxyxky∴kxx421,222114kkxx,由题意144kk,于是直线方程为xy421xx,021xx,∴24AB,焦点F(1,0)到直线xy的距离21d∴ABF△的面积是25.(上海卷文6)若直线10axy经过抛物线24yx的焦点,则实数a.【答案】1【解析】直线10axy经过抛物线24yx的焦点1,0,F则101.aa6.(天津卷理13)已知圆C的圆心与抛物线xy42的焦点关于直线xy对称.直线0234yx与圆C相交于BA,两点,且6AB,则圆C的方程为.解析抛物线的焦点为1,0,所以圆心坐标为0,1,22220323105r,圆C的方程为22110xy.(三)解答题(共7题)1.(广东卷理18文20)设0b,椭圆方程为2212xybb,抛物线方程为28xyb.如图4所示,过点02Fb,作x轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为G,已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点1F.(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程(2)设AB,分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点P,使得ABP△为直角三角形若存在,请指出共有几个这样的点并说明理由(不必具体求出这些点的坐标).【解析】(1)由28xyb得218yxb,当2yb得4x,G点的坐标为4,2b,14yx,4|1xy,高考地理复习过点G的切线方程为24ybx即2yxb,令0y得2xb,1F点的坐标为2,0b,由椭圆方程得1F点的坐标为,0b,2bb即1b,即椭圆和抛物线的方程分别为2212xy和281xy(2)过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P,以PAB为直角的RtABP只有一个,同理以PBA为直角的RtABP只有一个。若以APB为直角,设P点坐标为21,18xx,A、B两点的坐标分别为2,0和2,0,2224211521108644PAPBxxxx。关于2x的二次方程有一大于零的解,x有两解,即以APB为直角的RtABP有两个,因此抛物线上存在四个点使得ABP为直角三角形。2.(湖南卷理20)若A、B是抛物线y24x上的不同两点,弦AB(不平行于y轴)的垂直平分线与x轴相交于点P,则称弦AB是点P的一条相关弦.已知当x2时,点P(x,0)存在无穷多条相关弦.给定x02.(I)证明点P(x0,0)的所有相关弦的中点的横坐标相同II试问点P(x0,0)的相关弦的弦长中是否存在最大值若存在,求其最大值(用x0表示)若不存在,请说明理由.解(I)设AB为点P(x0,0)的任意一条相关弦,且点A、B的坐标分别是(x1,y1)、(x2,y2)(x1x2),则y214x1,y224x2,两式相减得(y1y2)(y1y2)4(x1x2).因为x1x2,所以y1y20.设直线AB的斜率是k,弦AB的中点是M(xm,ym),则k12121242myyxxyyy.从而AB的垂直平分线l的方程为.2mmmyyyxx又点P(x0,0)在直线l上,所以0.2mmmyyxx而0,my于是02.mxx故点P(x0,0)的所有相关弦的中点的横坐标都是x02.Ⅱ由Ⅰ知,弦AB所在直线的方程是mmyykxx,代入24yx中,整理得222220.mmmmkxkykxxykx()则12xx、是方程()的两个实根,且2122.mmykxxxk高考地理复习设点P的相关弦AB的弦长为l,则222221212121lxxyykxx2222121212222222422222220014412441444411641214123.mmmmmmmmmmmmmmmmmmkxxxxkxxxyxyxyyyxyyyxxxyxxyx因为03,则2x030,4x08,所以当t2x03,即2my2x03时,l有最大值2x01.若23时,点P(x0,0)的相关弦的弦长中存在最大值,且最大值为2(x01)当2x03时,点P(x0,0)的相关弦的弦长中不存在最大值.3.(江西卷文22)已知抛物线2yx和三个点00000,0,,MxyPyNxy、、2000,0yxy,过点M的一条直线交抛物线于A、B两点,APBP、的延长线分别交曲线C于EF、.(1)证明EFN、、三点共线(2)如果A、B、M、N四点共线,问是否存在0y,使以线段AB为直径的圆与抛物线有异于A、B的交点如果存在,求出0y的取值范围,并求出该交点到直线AB的距离若不存在,请说明理由.(1)证明设221122,,AxxBxx、,,,EEFFExyBxy、则直线AB的方程222121112xxyxxxxx即1212yxxxxx因00,Mxy在AB上,所以012012yxxxxx①又直线AP方程21001xyyxyxyxPNOMAEBF高考地理复习由210012xyyxyxxy得2210010xyxxyx所以22100012111,EEExyyyxxxyxxx同理,200222,FFyyxyxx所以直线EF的方程201201212yxxyyxxxxx令0xx得0120012yyxxxyxx将①代入上式得0yy,即N点在直线EF上,所以,,EFN三点共线(2)解由已知ABMN、、、共线,所以0000,,,AyyByy以AB为直径的圆的方程2200xyyy由22002xyyyxy得22000210yyyyy所以0yy(舍去),01yy要使圆与抛物线有异于,AB的交点,则010y所以存在01y,使以AB为直径的圆与抛物线有异于,AB的交点,TTTxy则01Tyy,所以交点T到AB的距离为00011Tyyyy4.(山东卷理22)如图,设抛物线方程为x22pyp>0,M为直线y2p上任意一点,过M引抛物线的切线,切点分别为A,B.(Ⅰ)求证A,M,B三点的横坐标成等差数列(Ⅱ)已知当M点的坐标为(2,2p)时,410AB,求此时抛物线的方程(Ⅲ)是否存在点M,使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线220xpyp>上,其中,点C满足OCOAOB(O为坐标原点).若存在,求出所有适合题意的点M的坐标若不存在,请说明理由.高考地理复习解(Ⅰ)证明由题意设221212120222xxAxBxxxMxppp,,,,,,.由22xpy得22xyp,得xyp,所以1MAxkp,2MBxkp.因此直线MA的方程为102xypxxp,直线MB的方程为202xypxxp.所以2111022xxpxxpp,①2222022xxpxxpp.②由①、②得121202xxxxx,因此1202xxx,即0122xxx.所以AMB,,三点的横坐标成等差数列.(Ⅱ)解由(Ⅰ)知,当02x时,将其代入①、②并整理得2211440xxp,22440xxp,所以12xx,是方程22440xxp的两根,因此124xx,2124xxp,又222101221222ABxxxxxppkxxpp,所以2ABkp.由弦长公式得2221212241411616ABkxxxxpp.又410AB,所以1p或2p,因此所求抛物线方程为22xy或24xy.yxBAOM2p高考地理复习(Ⅲ)解设33Dxy,,由题意得1212Cxxyy,,则CD的中点坐标为12312322xxxyyyQ,,设直线AB的方程为011xyyxxp,由点Q在直线AB上,并注意到点121222xxyy,也在直线AB上,代入得033xyxp.若33Dxy,在抛物线上,则2330322xpyxx,因此30x或302xx.即00D,或20022xDxp,.(1)当00x时,则12020xxx,此时,点02Mp,适合题意.(2)当00x,对于00D,,此时2212022xxCxp,,2212022CDxxpkx221204xxpx,又0ABxkp,ABCD,所以22220121220144ABCDxxxxxkkppxp,即222124xxp,矛盾.对于20022xDxp,,因为2212022xxCxp,,此时直线CD平行于y轴,又00ABxkp,所以直线AB与直线CD不垂直,与题设矛盾,所以00x时,不存在符合题意的M点.综上所述,仅存在一点02Mp,适合题意.5.(陕西卷理20文21)已知抛物线C22yx,直线2ykx交C于AB,两点,M是线段AB的中点,过M作x轴的垂线交C于点N.(Ⅰ)证明抛物线C在点N处的切线与AB平行高考地理复习(Ⅱ)是否存在实数k使0NANB,若存在,求k的值若不存在,说明理由.解解法一(Ⅰ)如图,设2112Axx,,2222Bxx,,把2ykx代入22yx得2220xkx,由韦达定理得122kxx,121xx,1224NMxxkxx,N点的坐标为248kk,.设抛物线在点N处的切线l的方程为284kkymx,将22yx代入上式得222048mkkxmx,直线l与抛物线C相切,2222282048mkkmmmkkmk,mk.即lAB∥.(Ⅱ)假设存在实数k,使0NANB,则NANB,又M是AB的中点,1||||2MNAB.由(Ⅰ)知121212111224222Myyykxkxkxx22142224kk.MNx轴,22216||||2488MNkkkMNyy.又222121212||1||14ABkxxkxxxx2222114111622kkkk.22216111684kkk,解得2k.即存在2k,使0NANB.解法二(Ⅰ)如图,设22112222AxxBxx,,,,把2ykx代入22yx得xAy112MNBO
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