2008年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷分类汇编8.3抛物线.doc2008年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷分类汇编8.3抛物线.doc

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高考地理复习第八章圆锥曲线方程三抛物线【考点阐述】抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质.【考试要求】(3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.【考题分类】(一)选择题(共3题)1(海南宁夏卷理11)已知点P在抛物线Y24X上,那么点P到点Q(2,-1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为()A(41,-1)B(41,1)C(1,2)D(1,-2)解点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离,如图PFPQPSPQ,故最小值在,,SPQ三点共线时取得,此时,PQ的纵坐标都是1,所以选A。(点P坐标为1,14)2(辽宁卷理10)已知点P是抛物线22YX上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A.172B.3C.5D.92A172B3C5D92答案A解析本小题主要考查抛物线的定义解题。依题设P在抛物线准线的投影为P,抛物线的焦点为F,则1,02F,依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为||||PPPF,则点P到点0,2A的距离与P到该抛物线准线的距离之和22117||||||222DPFPAAF3(四川卷理12)已知抛物线28CYX的焦点为F,准线与X轴的交点为K,点A在C上且2AKAF,则AFK的面积为(A)4(B)8(C)16(D)32【解】∵抛物线28CYX的焦点为20F,,准线为2X∴20K,高考地理复习设00AXY,,过A点向准线作垂线AB,则02BY,∵2AKAF,又0022AFABXX∴由222BKAKAB得22002YX,即20082XX,解得24A,∴AFK的面积为01144822KFY故选B【点评】此题重点考察双曲线的第二定义,双曲线中与焦点,准线有关三角形问题;【突破】由题意准确画图,利用离心率转化位置,在ABK中集中条件求出0X是关键;(二)填空题(共6题)1(江西卷理15)过抛物线220XPYP的焦点F作倾角为30的直线,与抛物线分别交于A、B两点(A在Y轴左侧),则AFFB.【解】132(全国Ⅰ卷理14文14)已知抛物线21YAX的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为.答案2由抛物线21YAX的焦点坐标为10,14A为坐标原点得,14A,则2114YX与坐标轴的交点为0,1,2,0,2,0,则以这三点围成的三角形的面积为141223(全国Ⅱ卷理15)已知F是抛物线24CYX的焦点,过F且斜率为1的直线交C于AB,两点.设FAFB,则FA与FB的比值等于.【答案】322【解析】设A(1X,1Y)B(2X,2Y)由0164122XXXYXY2231X,2232X,(21XX);∴由抛物线的定义知22322222242241121XXFBFA【高考考点】直线与抛物线的位置关系,抛物线定义的应用4(全国Ⅱ卷文15)已知F是抛物线24CYX的焦点,AB,是C上的两个点,线段AB的中点为22M,,则ABF△的面积等于.高考地理复习AYXOBGFF1图4【答案】2【解析】设过M的直线方程为22XKY,由01444222222KKXXKXYXKY∴KXX421,222114KKXX,由题意144KK,于是直线方程为XY421XX,021XX,∴24AB,焦点F(1,0)到直线XY的距离21D∴ABF△的面积是25(上海卷文6)若直线10AXY经过抛物线24YX的焦点,则实数A.【答案】1【解析】直线10AXY经过抛物线24YX的焦点1,0,F则101AA6(天津卷理13)已知圆C的圆心与抛物线XY42的焦点关于直线XY对称直线0234YX与圆C相交于BA,两点,且6AB,则圆C的方程为解析抛物线的焦点为1,0,所以圆心坐标为0,1,22220323105R,圆C的方程为22110XY(三)解答题(共7题)1(广东卷理18文20)设0B,椭圆方程为2212XYBB,抛物线方程为28XYB.如图4所示,过点02FB,作X轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为G,已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点1F.(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程;(2)设AB,分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点P,使得ABP△为直角三角形若存在,请指出共有几个这样的点并说明理由(不必具体求出这些点的坐标).【解析】(1)由28XYB得218YXB,当2YB得4X,G点的坐标为4,2B,14YX,4|1XY,高考地理复习过点G的切线方程为24YBX即2YXB,令0Y得2XB,1F点的坐标为2,0B,由椭圆方程得1F点的坐标为,0B,2BB即1B,即椭圆和抛物线的方程分别为2212XY和281XY;(2)过A作X轴的垂线与抛物线只有一个交点P,以PAB为直角的RTABP只有一个,同理以PBA为直角的RTABP只有一个。若以APB为直角,设P点坐标为21,18XX,A、B两点的坐标分别为2,0和2,0,2224211521108644PAPBXXXX。关于2X的二次方程有一大于零的解,X有两解,即以APB为直角的RTABP有两个,因此抛物线上存在四个点使得ABP为直角三角形。2(湖南卷理20)若A、B是抛物线Y24X上的不同两点,弦AB(不平行于Y轴)的垂直平分线与X轴相交于点P,则称弦AB是点P的一条“相关弦”已知当X2时,点P(X,0)存在无穷多条“相关弦”给定X02(I)证明点P(X0,0)的所有“相关弦”的中点的横坐标相同;II试问点P(X0,0)的“相关弦”的弦长中是否存在最大值若存在,求其最大值(用X0表示)若不存在,请说明理由解(I)设AB为点P(X0,0)的任意一条“相关弦”,且点A、B的坐标分别是(X1,Y1)、(X2,Y2)(X1X2),则Y214X1,Y224X2,两式相减得(Y1Y2)(Y1Y2)4(X1X2)因为X1X2,所以Y1Y20设直线AB的斜率是K,弦AB的中点是M(XM,YM),则K12121242MYYXXYYY从而AB的垂直平分线L的方程为2MMMYYYXX又点P(X0,0)在直线L上,所以02MMMYYXX而0,MY于是02MXX故点P(X0,0)的所有“相关弦”的中点的横坐标都是X02Ⅱ由Ⅰ知,弦AB所在直线的方程是MMYYKXX,代入24YX中,整理得222220MMMMKXKYKXXYKX()则12XX、是方程()的两个实根,且2122MMYKXXXK高考地理复习设点P的“相关弦”AB的弦长为L,则222221212121LXXYYKXX2222121212222222422222220014412441444411641214123MMMMMMMMMMMMMMMMMMKXXXXKXXXYXYXYYYXYYYXXXYXXYX因为02MY4XM4XM24X08,于是设T2MY,则T0,4X08记L2GTT2X0324X012若X03,则2X030,4X08,所以当T2X03,即2MY2X03时,L有最大值2X01若2X03,则2X030,GT在区间(0,4X08)上是减函数,所以0L216X02,L不存在最大值综上所述,当X03时,点P(X0,0)的“相关弦”的弦长中存在最大值,且最大值为2(X01);当2X03时,点P(X0,0)的“相关弦”的弦长中不存在最大值3(江西卷文22)已知抛物线2YX和三个点00000,0,,MXYPYNXY、、2000,0YXY,过点M的一条直线交抛物线于A、B两点,APBP、的延长线分别交曲线C于EF、.(1)证明EFN、、三点共线;(2)如果A、B、M、N四点共线,问是否存在0Y,使以线段AB为直径的圆与抛物线有异于A、B的交点如果存在,求出0Y的取值范围,并求出该交点到直线AB的距离;若不存在,请说明理由.(1)证明设221122,,AXXBXX、,,,EEFFEXYBXY、则直线AB的方程222121112XXYXXXXX即1212YXXXXX因00,MXY在AB上,所以012012YXXXXX①又直线AP方程21001XYYXYXYXPNOMAEBF高考地理复习由210012XYYXYXXY得2210010XYXXYX所以22100012111,EEEXYYYXXXYXXX同理,200222,FFYYXYXX所以直线EF的方程201201212YXXYYXXXXX令0XX得0120012YYXXXYXX将①代入上式得0YY,即N点在直线EF上,所以,,EFN三点共线(2)解由已知ABMN、、、共线,所以0000,,,AYYBYY以AB为直径的圆的方程2200XYYY由22002XYYYXY得22000210YYYYY所以0YY(舍去),01YY要使圆与抛物线有异于,AB的交点,则010Y所以存在01Y,使以AB为直径的圆与抛物线有异于,AB的交点,TTTXY则01TYY,所以交点T到AB的距离为00011TYYYY4(山东卷理22)如图,设抛物线方程为X22PYP>0,M为直线Y2P上任意一点,过M引抛物线的切线,切点分别为A,B(Ⅰ)求证A,M,B三点的横坐标成等差数列;(Ⅱ)已知当M点的坐标为(2,2P)时,410AB,求此时抛物线的方程;(Ⅲ)是否存在点M,使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线220XPYP>上,其中,点C满足OCOAOB(O为坐标原点)若存在,求出所有适合题意的点M的坐标;若不存在,请说明理由高考地理复习解(Ⅰ)证明由题意设221212120222XXAXBXXXMXPPP,,,,,,.由22XPY得22XYP,得XYP,所以1MAXKP,2MBXKP.因此直线MA的方程为102XYPXXP,直线MB的方程为202XYPXXP.所以2111022XXPXXPP,①2222022XXPXXPP.②由①、②得121202XXXXX,因此1202XXX,即0122XXX.所以AMB,,三点的横坐标成等差数列.(Ⅱ)解由(Ⅰ)知,当02X时,将其代入①、②并整理得2211440XXP,22440XXP,所以12XX,是方程22440XXP的两根,因此124XX,2124XXP,又222101221222ABXXXXXPPKXXPP,所以2ABKP.由弦长公式得2221212241411616ABKXXXXPP.又410AB,所以1P或2P,因此所求抛物线方程为22XY或24XY.YXBAOM2P高考地理复习(Ⅲ)解设33DXY,,由题意得1212CXXYY,,则CD的中点坐标为12312322XXXYYYQ,,设直线AB的方程为011XYYXXP,由点Q在直线AB上,并注意到点121222XXYY,也在直线AB上,代入得033XYXP.若33DXY,在抛物线上,则2330322XPYXX,因此30X或302XX.即00D,或20022XDXP,.(1)当00X时,则12020XXX,此时,点02MP,适合题意.(2)当00X,对于00D,,此时2212022XXCXP,,2212022CDXXPKX221204XXPX,又0ABXKP,ABCD,所以22220121220144ABCDXXXXXKKPPXP,即222124XXP,矛盾.对于20022XDXP,,因为2212022XXCXP,,此时直线CD平行于Y轴,又00ABXKP,所以直线AB与直线CD不垂直,与题设矛盾,所以00X时,不存在符合题意的M点.综上所述,仅存在一点02MP,适合题意.5(陕西卷理20文21)已知抛物线C22YX,直线2YKX交C于AB,两点,M是线段AB的中点,过M作X轴的垂线交C于点N.(Ⅰ)证明抛物线C在点N处的切线与AB平行;高考地理复习(Ⅱ)是否存在实数K使0NANB,若存在,求K的值;若不存在,说明理由.解解法一(Ⅰ)如图,设2112AXX,,2222BXX,,把2YKX代入22YX得2220XKX,由韦达定理得122KXX,121XX,1224NMXXKXX,N点的坐标为248KK,.设抛物线在点N处的切线L的方程为284KKYMX,将22YX代入上式得222048MKKXMX,直线L与抛物线C相切,2222282048MKKMMMKKMK,MK.即LAB∥.(Ⅱ)假设存在实数K,使0NANB,则NANB,又M是AB的中点,1||||2MNAB.由(Ⅰ)知121212111224222MYYYKXKXKXX22142224KK.MNX轴,22216||||2488MNKKKMNYY.又222121212||1||14ABKXXKXXXX2222114111622KKKK.22216111684KKK,解得2K.即存在2K,使0NANB.解法二(Ⅰ)如图,设22112222AXXBXX,,,,把2YKX代入22YX得XAY112MNBO
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