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西南交通大学峨眉校区2013年数学建模第二次预选赛2013年5月6日-5月15日题目A(填写A或B题)参赛队员1参赛队员2姓名金宗李陈美学号2011620120127530专业工程机械铁车电话1822830856418283616695QQ7549237178120641551停止销售体彩22选5游戏摘要随着我国福利事业的蓬勃发展,越来越多的市民对彩票有了更大的兴趣。如何才能让顾客更无顾虑的购买彩票,获益越多,这就需要分析影响彩票好坏的因素,各种奖励出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力成了主要考虑对象,对彩票商们设置彩票有着重要的参考意义。问题一中,参考不同销售规则,利用古典概率计算方法将22选5,大乐透,双色球三种彩票各奖项的中奖率计算出来,根据不同的销售规则解出不同彩票方案在各个销售规则的概率,基于篇幅原因,在问题一中只列出单式投注的获奖概率,胆拖投注和复式投注的获奖概率放在了附录1。虽然单一彩票有不同的销售规则,但最普遍的还是单式投注。胆拖投注和复式投注的中奖率虽然高,但其投注的金额也越多,平均下来,等效于单式投注。所以对问题二和问题三的求解中所用到的概率均为单式投注中奖的概率。问题二中建立了两个模型,其为吸引力效用函数和潜在购买量评判模型,通过实际比较,第二种方法更为有效,所建立的方案对彩民的吸引力更大。根据这个特点我们构造出能衡量彩民可能购买彩票量F的函数,这个函数是一个关于销售总量M的函数,据此就可以将它与销售总量比较.假设可以达到最大销售总量maxM,那么在销售量为maxM,并且潜在购买量与销售总量非常接近时,该方案最合理。判定标准为若maxmaxmax0.05,FMMM则方案设置合理。通过分析影响彩民潜在购买量的因素,我们可以构建潜在购买量校验模型123ln.FpABgM再构造效用函数MgMabce,最后通过MATLAB软件解出最优的方案,然后根据结果以书信的方式向有关部门提出建议。第三个问题,建立单注中奖金额期望值E的模型。彩民买彩票关注的是中奖的概率,单注中奖金额期望值E值越大,对彩民的吸引力越大。且就以当前的大乐透和双色球为例,当大乐透销售最好的时候为7510n注,此时求得0.9649E,双色球平均销售注数81.510n注,此时求得1.0000E。这些结果都是符合实际情况的。关键词吸引力效用函数、潜在购买量评判模型、单注中奖金额期望值E2一、问题重述北京时间4月28日,国家体育总局体育彩票管理中心宣布,经报财政部批准,并根据彩票管理条例等有关规定,将于6月28日2000期,停止销售体彩22选5游戏,这是2个月内体彩宣布停售的第二个彩票游戏。3月8日曾宣布大乐透附加玩法将于5月11日停止销售。22选5玩法是每天开奖的玩法,购买者从0122共22个号码中选取5个号码进行投注,该玩法共设3个奖级,一等奖奖金为浮动,二等奖50元,三等奖5元。据了解,全国联网22选5玩法自2005年3月6日上市,初期只有部分省份参与销售,并陆续覆盖绝大部分销售区,目前除浙江、福建、河南、北京、云南、贵州等少数省市之外,仍有25个省、直辖市、自治区在售。该玩法在上市初期还是有不俗的销量表现,由于头奖概率较高,每期一等奖都会开出数十注甚至上百注,单注奖金也是从数千元至数万元不等。不过,随着近年大盘玩法风靡中国彩市,22选5的吸引力已经相当有限,虽然每日一开奖,但不足200万元的全国单期销量还是令人唏嘘。以2009年底才加入22选5联售的广东为例,全省共9000个左右销售终端,但广东虽然贵为该玩法第二高销量省份,单期销量也仅有20万元上下,意味着单机销量仅20多元,对于绝大多数投注站来说,这样的玩法有相当于没有。1、试对22选5以及大乐透,双色球不同的的彩票方案中,分析在不同销售规则下,各奖项的获奖率。2、建立模型分析彩票销售量与彩票销售规则、奖项设置方法以及大众的喜好偏向等因素之间的联系。设计一种更好的方案及相应的算法,并据此给彩票3、建立模型对目前市场占有比例较大的几种彩票做出科学的评判。二、基本假设1、体彩中心所公布的参考数据都是真实有效2、彩票摇奖是公正的,各号码出现的机会是随机的3、彩民购买彩票不受政治,自然气候的影响,是随机事件4、对同一方案中高级别奖项的奖金比例或奖金额不应低于相对低级别的奖金比例或奖金额三、符号说明3.1全局符号说明iPi等奖的中奖率(1,2,3,4,5,6,7,8i)k单期总奖金额占总销售额的比重,一般取0.5k3ik高项奖中i等奖的比例设置(1,2,3i)注22选5(1i),双色球(1,2i)iX低项奖(固定额)i等奖的金额数(4,5,6,7,8i)注22选5(2,3i),双色球(3,4,5,6i)3.2问题二局部符号说明M销售总量p高奖项中奖率p低奖项中奖率q高奖项回报率q低奖项回报率A吸引力判断矩阵max判断矩阵A的最大特征值..CI判断矩阵A的一致性指标F彩民可能购买的彩票量3.3问题三局部符号说明n单期销售总注数E单注中奖金额的期望值三、问题分析对于问题一,用排列与组合知识求解22选5、大乐透和双色球在不同的销售规则下的概率。22选5、大乐透和双色球的奖金分为浮动奖金(奖金所占的比重)和固定奖金额度。其中22选5设3个奖级,即一、二、三等奖。其中一等奖为浮动奖,其余为固定奖。一等奖为当期奖金额减去固定奖总额后的100,及奖池和调节基金转入部分。二等奖单注固定奖金为50元。三等奖单注固定奖金为5元。单注彩票中奖奖金最高限额500万元。大乐透的设奖方式为一等奖,高等奖奖金的75与奖池奖金之和除以中奖注数二等奖,高等奖奖金的20除以中奖注数三等奖,高等奖奖金的5除以中奖注数四等奖3000元五等奖,600元六等奖100元七等奖10元八等奖5元12选2,60元。双色球的设奖方式为一等奖,当奖池资金低于1亿元时,奖金总额为当期高等奖奖金的70与奖池中累积的奖金之和,单注奖金按注均分,单注最高限额封顶500万元。当奖池资金高于1亿元(含)时,奖金总额包括两部分,一部分为当期高等奖奖金的50与奖池中累积的奖金之和,单注奖金按注均分,单注最高限额封顶500万元。另一部分为当期高等奖奖金的420,单注奖金按注均分,单注最高限额封顶500万元二等奖,当期高等奖奖金的30三等奖,单注奖金额固定为3000元四等奖,单注奖金额固定为200元五等奖,单注奖金额固定为10元六等奖,单注奖金额固定为5元。依据不同彩票的设定的中奖号码对应的个数,可用古典概型方法计算出22选5、大乐透和双色球中奖的概率(包括单式投注(也称标准投注)、胆拖投注和复式投注)。在问题二中,对于每种彩票而言,除本身的选法决定了奖项选中的概率,还包含奖项金额的分配以及奖项个数的设置,信息量是相当大的.对于彩民来说,有的注重高项奖,有的注重中奖面.而彩票管理部门销售彩票主要是为了扶持福利、体育等事业,所以在总奖金比例一定的情况下它希望影票的销售量越大越好.因此,在解答本题的时候,首先应该在保证彩票销售方案的信息量的情况下对其简化其次对彩民和彩票管理部门分别构造能够反映他们的要求的函数再次,在此基础上对各方案进行评价,并依据所构造的函数设计更好的方案。对于问题三的提出,彩票管理部门只用销售总额的50作为奖金总额,所以作为管理部门,希望每期彩票卖出的注数越多越好,作为彩民,自然希望中奖的可能性即概率越大越好、各奖项的奖金额越高越好,这样的方案设置才更具有吸引力,对于给定的彩票发行方案,单注中各项奖的概率是一定的,虽每期的彩票销售总额是随机变量,但到开奖时,每期的奖金总额将是确定的。因此,我们以高项奖一、二、三等奖的获奖比例和低项奖四、五、六、七等奖的固定奖金额作为决策变量,以单注中奖的期望值作为目标函数来衡量各方案的合理性。四、模型的建立与求解5.1问题一模型建立与求解5.1.1问题一的分析对于问题一,要求在不同的销售规则下,各个奖项的获奖概率。彩票22选5、大乐透、双色球有多种销售规则,其目前在市场上主要的销售规则有三种,分别是单式投注(也称标准投注)、胆拖投注和复式投注。每一种投注方式对应不同的概率,尤其是胆拖投注和复式投注对应的中奖类别较多,组合数也较多,基于篇幅有限,将22选5、大乐透、双色球彩票的胆拖投注和复式投注的计算概率放在附录。5.1.2问题一模型的建立(1)22选5(单式投注)获得一等奖概率15221PC(1)获得二等奖概率5415172522CCPC(2)获得等奖概率325173522CCPC(3)(2)大乐透获得一等奖概率1523512161PCC(4)获得二等奖概率1121052351251CCPCC(5)获得三等奖概率210352351250CPCC(6)获得四等奖概率4125302452351242CCCPCC(7)获得五等奖概率4111530210552351241CCCCPCC(8)获得六等奖概率41232253010530265252351235124032CCCCCCPCCCC(9)获得七等奖概率3211232530210530275252351235123122CCCCCCCPCCCC(10)获得八等奖概率3222311142530105302105302852525235123512351230122102CCCCCCCCCCPCCCCCC(11)(3)双色球(单式投注)获得一等奖概率61613316161PCC(12)获得二等奖概率61615261331660CCPCC(13)获得三等奖概率51627361331651CCPCC(14)获得四等奖概率511426271562746161331633165041CCCCCPCCCC(15)获得五等奖概率421336271562756161331633164031CCCCCPCCCC(16)获得六等奖概率24156627627276616161331633163316211101CCCCCPCCCCCC(17)5.1.3问题一模型的求解双色球大乐透22选5中奖率奖金比率或固定额中奖率奖金比率或固定额中奖率奖金比率或固定额一等奖5.64299E08704.66729E08753.79737E05100二等奖8.46449E07309.33458E07200.00322776650三等奖9.14165E0630002.10028E0650.0516442625四等奖0.0004342282007.00093E063000五等奖0.007757707100.000140019600六等奖0.05889254750.000518069100七等奖0.00595546110八等奖0.0600811315总中奖率iP0.0670945260.0667047610.0549100027低项将中奖率0.0670936230.0667016810.054872029高项奖中奖率9.02879E073.08041E063.79737E05固定额期望PX0.4863104340.5167811930.419609635.1.4问题一结果的分析及验证通过对结果的分析,我们可以看出,奖项越高中奖率越低,这符合彩票商的销售手段,并且结果与根据官方给出的数据一样,说明模型计算准确。5.2问题二模型建立与求解5.2.1问题二的分析构建一个吸引力效用函数,由函数的某些特性来间接评判.该函数包含一定的信息量,间接反映了提供信息的方案的合理性,制定一定的标准,从而可以进行决策。模型一(吸引力效用函数)彩民的目的就是去中奖,且把大部分目光投放在高项奖上,高项奖的回报率、中奖率,是吸引彩民的关键信息.由于中高奖太难,也有一部分人把目光投放在低项奖上,即低项奖的回报率、中奖率也是一个关键信息.因此,可考虑选取吸引彩民购买彩票的关键信息,构造一个包含这些已关键信息的函数,这个函数表面上是彩票对移民的吸引力函数,其实体现的是这种影票的合理性.如果它的设置合理,对彩民的吸引力自然就大,彩票的销售量自然就好。构造一个移民潜在购买量函数,采用暗含评价标准的函数来评判.主要是假设函数彩票销售总额确定,通过比较彩民潜在购买量与销售总额的相符程度来进行评判。模型二(潜在购买量评判模型)模型一的思想是构造一种效用函数,由效用函数的大小来确定各方案的合理性,简单易行,可操作性强.缺点是并没有真正建立一种判定的标准,而是在相互比较中得出相对合理性较强与相对合理性较弱,或者说相对不合理性较强与相对不合理性较弱的方案。再利用模型二的关系,并且添加约束,对彩票方案进行优化设计。5..2.2问题二模型的建立5.2.2.1模型一的建立选取了四个关键因素,分别为p高奖项中奖率p低奖项中奖率q高奖项的回报率q低奖项的回报率8建立效用函数1234maxLqqpp(18)其中31iipP(19)478niipPn或(20)(注不同的彩票玩法,n取不同的值,下同44111,22nniiiiiiqPXqPX一参数确定Step1和法求权重本模型的权重确定,是一个典型的单一准则下元素相对权重计算问题,可用层次分析法中的权重计算方法确定。根据四个因素对彩民的吸引力强弱不同,列出吸引力强弱的不同(吸引力越大,销售量就越高),列出吸引力判断矩阵A如表1表1qqppq1324q1/3121/2p1/21/213p1/421/31Step2一致性检验计算单一准则下元素相对权重向量时,必须进行一致性检验,步骤如下1)一致性指标max..1nCIn,max为判断矩阵A的最大特征根。计算得..0.0103CI。2)平均随机一致性指标..RI查表得..0.89RI.3)一致性比例......CICRRI.计算得..0.01160.1,CI这表明判断矩阵的
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