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高等数学论文:一种快捷的分部积分方法和其若干推广.doc.doc高等数学论文:一种快捷的分部积分方法和其若干推广.doc.doc -- 10 元

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一种快捷的分部积分方法和其若干推广张质彬2011030030018【摘要】分部积分是微积分中十分重要的一种积分方法。上个学期,在学习一元函数积分学时,从一本国外教材托马斯微积分(ThomasCALCULUS)了解到一种分部积分的快捷方法,这个学期,借数分论文这一契机,重新反思,证明了这一积分方法,并将以加以一定的推广。【关键词】分部积分,快捷方法书中例子是这样叙述的求积分3sinxxdx解令3fxx和singxx,我们列表(注意fx要求可以重复求导直至出现0)323660xxxsincossincossinxxxxx用箭头上面的运算符号组合箭头连接两个函数的乘积便得到332sincos3sin6cos6sinxxdxxxxxxxxC从此例中可以看出此种分部积分方法的具体形式,下我给出尝试性证明分部积分公式为uvdxudvuvuvdx如果定义这样一种运算符号uuvv箭头的两端表示乘积,箭头上的符号表示正负,斜向下的箭头表示项uv,横箭头表示项uvdx。根据分部积分公式,则此图既可以表示uvdxudvuvuvdx这一等式,既给分部积分的求法。进一步,若进行多次分部积分,即计算uvdx的值,则删去水平线,重复前过程。uuuvvvdx由于计算的是uvdx的值,所以此处的正负号需取反。按照此方式推广下去,可得nuuuuvvdvdv综上所述,按此种方法定义的积分方法,可以推广到不仅限于重复求导直至出现0的fx,下面,将举例说明此种方法的各种应用和推广1.最简单的情况fx可以重复求导直至出现0例求积分2xxedx2220xxxxxxeeee2222xxxxxedxxexeeC2.fx经n次求导,gx经n次积分,乘积恰好能构成原来被积函数的形式,此时,通过解方程的形式,既能求出原被积函数的不定积分。例求积分cosaxebxdx2axaxaxeaeae2cossin1cosbxbxbxb由此可得等式2221cossincoscosaxaxaxaaebxdxebxxebxdxbbb移项解方程得22cossincosaxaxbaebxdxebxbxCabb11n1n例求积分sinxxexdxsincossinxxx12xxxxexexesin1sin2cos1sinxxxxxexdxxexxexxexdx1sin2cossin2sinxxxxxexxexxexdxexdxsinsincos2xxeexdxxxCsin1sin2cossincos2xxxxexexdxxexxexxxCsinsincoscos2xxexexdxxxxxxC3.fx和gx通过若干次求导和积分,产生了可以相消或者可以结合的因子,此时需要重新整理识字并重新设fx和gx,再一次使用该种方法进行分部积分。例求积分32lnxxdx2ln12lnxxx3414xx重新另lnfxx,3gxxln1xx3414xx4322321lnlnln42xxxdxxxxdx442311lnln4244xxxxxdx4211lnln428xxxC此种虽然是应用方式中的很重要一种,但较为简单且变化较少,此处仅举一例。4.被积函数需要先做变换,才能使用此种方法,相比前面的三种情况,这种应用范围更广,灵活性也更高。例求积分2sinxexdx由公式21cos2sin2xx原式21cos22xxedx2cos2xexdx22224xxxeeecos21sin221cos24xxx有2222cos2sin2cos2cos2xxxxeeexdxxxexdx22cos2sin2cos24xxeexdxxxC22sin2sin2cos28xxeexdxxxC例求积分38xxedx凑微分,可得3338626313xxxxedxxexdxxedx原式36313xxedx另3tx原式213ttedt2220tttttteeee原式2223tettC63223texxC例求积分sinlnxdx先用换元法进行变量代换ln,,ttxtxedxedt于是,原式sinttedtsincos2tettCsinlncosln2xxxC
编号:201402160856320875    大小:249.50KB    格式:DOC    上传时间:2014-02-16
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