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05第五章 相似矩阵及二次型.doc05第五章 相似矩阵及二次型.doc -- 3 元

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第五章相似矩阵及二次型1试用施密特法把下列向量组正交化1931421111,,321aaa解根据施密特正交化方法11111ab101,,1112122bbbabab12131,,,,222321113133bbbabbbbabab2011101110111,,321aaa解根据施密特正交化方法110111ab123131,,1112122bbbabab433151,,,,222321113133bbbabbbbabab2下列矩阵是不是正交阵1121312112131211解此矩阵的第一个行向量非单位向量,故不是正交阵2979494949198949891解该方阵每一个行向量均是单位向量且两两正交故为正交阵3设x为n维列向量xTx1令HE2xxT证明H是对称的正交阵证明因为HTE2xxTTE2xxTTE2xxTTE2xTTxTE2xxT所以H是对称矩阵因为HTHHHE2xxTE2xxTE2xxT2xxT2xxT2xxTE4xxT4xxTxxTE4xxT4xxTE所以H是正交矩阵4设A与B都是n阶正交阵证明AB也是正交阵证明因为AB是n阶正交阵故A1ATB1BTABTABBTATABB1A1ABE故AB也是正交阵5求下列矩阵的特征值和特征向量1201335212解31201335212||EA故A的特征值为1三重对于特征值1由000110101101325213EA得方程AEx0的基础解系p1111T向量p1就是对应于特征值1的特征值向量.2633312321解91633312321||EA故A的特征值为102139对于特征值10由000110321633312321A得方程Ax0的基础解系p1111T向量p1是对应于特征值10的特征值向量.对于特征值21,由000100322733322322EA得方程AEx0的基础解系p2110T向量p2就是对应于特征值21的特征值向量对于特征值39由00021101113333823289EA得方程A9Ex0的基础解系p31/21/21T向量p3就是对应于特征值39的特征值向量30001001001001000.解2211001010010100||EA故A的特征值为121341对于特征值121由00000000011010011001011001101001EA得方程AEx0的基础解系p11001Tp20110T向量p1和p2是对应于特征值121的线性无关特征值向量对于特征值341由00000000011010011001011001101001EA得方程AEx0的基础解系p31001Tp40110T向量p3和p4是对应于特征值341的线性无关特征值向量6设A为n阶矩阵证明AT与A的特征值相同证明因为|ATE||AET||AE|T|AE|所以AT与A的特征多项式相同从而AT与A的特征值相同7设n阶矩阵A、B满足RARBn证明A与B有公共的特征值有公共的特征向量证明设RArRBt则rtn若a1a2anr是齐次方程组Ax0的基础解系显然它们是A的对应于特征值0的线性无关的特征向量类似地设b1b2bnt是齐次方程组Bx0的基础解系则它们是B的对应于特征值0的线性无关的特征向量由于nrntnnrtn故a1a2anrb1b2bnt必线性相关于是有不全为0的数k1k2knrl1l2lnt使k1a1k2a2knranrl1b1l2b2lnrbnr0记k1a1k2a2knranrl1b1l2b2lnrbnr则k1k2knr不全为0否则l1l2lnt不全为0而l1b1l2b2lnrbnr0与b1b2bnt线性无关相矛盾因此0是A的也是B的关于0的特征向量所以A与B有公共的特征值有公共的特征向量8设A23A2EO证明A的特征值只能取1或2证明设是A的任意一个特征值x是A的对应于的特征向量则A23A2Ex2x3x2x232x0因为x0所以2320即是方程2320的根也就是说1或29设A为正交阵且|A|1证明1是A的特征值证明因为A为正交矩阵所以A的特征值为1或1因为|A|等于所有特征值之积又|A|1所以必有奇数个特征值为1即1是A的特征值10设0是m阶矩阵AmnBnm的特征值证明也是n阶矩阵BA的特征值证明设x是AB的对应于0的特征向量则有ABxx于是BABxBx或BABxBx从而是BA的特征值且Bx是BA的对应于的特征向量11已知3阶矩阵A的特征值为123求|A35A27A|解令3527则132233是A的特征值故|A35A27A||A|1233231812已知3阶矩阵A的特征值为123求|A3A2E|解因为|A|12360所以A可逆故A|A|A16A1A3A2E6A13A2E令61322则112535是A的特征值故|A3A2E||6A13A2E||A|1231552513设A、B都是n阶矩阵且A可逆证明AB与BA相似证明取PA则P1ABPA1ABABA即AB与BA相似14设矩阵50413102xA可相似对角化求x解由6150413102||2xEA得A的特征值为16231因为A可相似对角化所以对于231齐次线性方程组AEx0有两个线性无关的解因此RAE1由00030010140403101xxEAr知当x3时RAE1即x3为所求15已知p111T是矩阵2135212baA的一个特征向量1求参数ab及特征向量p所对应的特征值解设是特征向量p所对应的特征值则AEp0即0001112135212ba解之得1a3b02问A能不能相似对角化并说明理由解由31201335212||EA得A的特征值为1231由00011010111325211rbEA知RAE2所以齐次线性方程组AEx0的基础解系只有一个解向量因此A不能相似对角化16试求一个正交的相似变换矩阵,将下列对称阵化为对角阵1020212022解将所给矩阵记为A由
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