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2012年3月中考数学一轮复习精品讲义第一章有理数.doc.doc2012年3月中考数学一轮复习精品讲义第一章有理数.doc.doc -- 5 元

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初中数学复习精品讲义第一章有理数一.知识框架二.知识概念1.有理数1凡能写成0pq,ppq为整数且形式的数,都是有理数.正整数、0、负整数统称整数正分数、负分数统称分数整数和分数统称有理数.注意0即不是正数,也不是负数a不一定是负数,a也不一定是正数不是有理数2有理数的分类①负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数②负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数2.数轴数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3.相反数1只有符号不同的两个数,我们说其中一个是另一个的相反数0的相反数还是02相反数的和为0ab0a、b互为相反数.4.绝对值1正数的绝对值是其本身,0的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数注意绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离2绝对值可表示为0aa0a00aaa或0aa0aaa绝对值的问题经常分类讨论5.有理数比大小(1)正数的绝对值越大,这个数越大(2)正数永远比0大,负数永远比0小(3)正数大于一切负数(4)两个负数比大小,绝对值大的反而小(5)数轴上的两个数,右边的数总比左边的数大(6)大数小数>0,小数大数<0.6.互为倒数乘积为1的两个数互为倒数注意0没有倒数若a≠0,那么a的倒数是a1若ab1a、b互为倒数若ab1a、b互为负倒数.7.有理数加法法则(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加(2)异号两数相加,取绝对值较大的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值(3)一个数与0相加,仍得这个数.8.有理数加法的运算律(1)加法的交换律abba(2)加法的结合律(ab)ca(bc).9.有理数减法法则减去一个数,等于加上这个数的相反数即aba(b).10有理数乘法法则(1)两数相乘,同号为正,异号为负,并把绝对值相乘(2)任何数同零相乘都得零(3)几个数相乘,有一个因式为零,积为零各个因式都不为零,积的符号由负因式的个数决定.11有理数乘法的运算律(1)乘法的交换律abba(2)乘法的结合律(ab)ca(bc)(3)乘法的分配律a(bc)abac.12.有理数除法法则除以一个数等于乘以这个数的倒数注意零不能做除数,无意义即0a.13.有理数乘方的法则(1)正数的任何次幂都是正数(2)负数的奇次幂是负数负数的偶次幂是正数注意当n为正奇数时anan或abnban,当n为正偶数时anan或abnban.14.乘方的定义(1)求相同因式积的运算,叫做乘方(2)乘方中,相同的因式叫做底数,相同因式的个数叫做指数,乘方的结果叫做幂15.科学记数法把一个大于10的数记成a10n的形式,其中a是整数数位只有一位的数,这种记数法叫科学记数法.16.近似数的精确位一个近似数,四舍五入到那一位,就说这个近似数的精确到那一位.17.有效数字从左边第一个不为零的数字起,到精确的位数止,所有数字,都叫这个近似数的有效数字.18.混合运算法则先乘方,后乘除,最后加减.本章内容要求学生正确认识有理数的概念,在实际生活和学习数轴的基础上,理解正负数、相反数、绝对值的意义所在。重点利用有理数的运算法则解决实际问题.重点题型总结及应用题型一绝对值理解绝对值的意义及性质是难点,由于|a|表示的是表示数a的点到原点的距离,因此|a|≥0.可运用|a|的非负性进行求解或判断某些字母的取值.例1如果a与3互为相反数,那么|a2|等于A.5B.1C.1D.5解析a与3互为相反数,则a=3例2若a12|b2|=0,则ab=.解析由于a12≥0,|b2|≥0,又a12与|b2|互为相反数若几个非负数的和为0,则这几个数分别为0.题型二有理数的运算有理数的运算包括加减法、乘除法及乘方,是初中数学运算的基础.要熟记法则,灵活运算,进行混合运算时,还要注意运算顺序及运算律的应用.例312011的相反数是A.1B.1C.2011D.2011解析由于指数2011为奇数例4计算121211891452221110.5233.题型三运用运算律简化运算过程运用加法的交换律、结合律,把某些具有相同属性的数如正数、负数、分数中的分母具有倍数关系、相反数等分别结合在一起相加,可以简化运算过程.例5计算下列各题.12149.510.223.5192113722232348332311113121121324424340.24323233351914321251943252.分析混合运算,应按法则进行,同时注意灵活运用运算律,简化运算过程.点拨1正、负数分别结合相加2分数中,同分母或分母有倍数关系的分数结合相加3除法转化为乘法,正向应用乘法分配律4逆向应用分配律abc=abac,即abac=abc.题型四利用特殊规律解有关分数的计算题根据题目特点,灵活将算式变形,对不同算式采取运算顺序重新组合、因数分解、裂项等不同的方法,达到优化解题过程、简化计算、解决问题的目的.例6计算下列各题.152315917363422317315595959521277731111111112612203042567290411111112481651210242048.分析1带分数相加,可将带分数中整数部分与分数部分拆开分别相加.2本题若按常规计算方法比较麻烦,但若用运算律可简化运算.3由于111111111111,,,2122623231234341111204545,1111305656,1111426767,1111567878,1111728989,111190910910,所以将原算式变形裂项后,再进行计算.4算式中,后一个分数的分母是前一个分数分母的2倍,可在算式中加上最后一个分数12048,再减去12048,加上的12048与前一个分数运算,所得的和再与前一个分数运算,依次向前进行,最终求得运算结果.点拨利用规律特点,灵活解分数计算题,需要认真观察,注意经常训练,提高思维的灵活性.题型五有理数运算的应用用正负数可以表示相反意义的量,有理数的运算在生活中的应用十分广泛,其中,有理数的加法、减法及乘法运用较多.做题时,要认真分析,列出算式,并准确计算.例7有8箱橘子,以每箱15千克为标准,超过的千克数记为正数,不足的千克数记为负数,现记录如下单位千克1.2,0.8,2.3,1.7,1.5,2.7,2,0.2,则这8箱橘子的总重量是多少分析本题运用有理数的加法、乘法解决问题.先求出总增减量,再求出8箱橘子的总标准重量,两者之和便为这8箱橘子的实际总重量.例8一货车为一家摩托车配件批发部送货,先向南走了8千米,到达华能修理部,又向北走了3.5千米,到达捷达修理部,继续向北走了7.5千米,到达志远修理部,最后又回到批发部.1以批发部为原点,以向南方向为正方向,用1个单位长度表示1千米,你能够在数轴上表示出华能捷达志远三家修理部的位置吗2志远修理部距捷达修理部多远3货车一共行驶了多少千米题型六探索数字规律找数字规律的题目成为近几年中考的热点问题,这类题目灵活多变.解题时要认真观察、分析思考,找出规律,并运用规律解决问题.例9某种细菌在繁殖过程中,每半小时分裂一次,由一个分裂成两个,2.5小时后,这种细菌可分裂为A.8个B.16个C.32个D.64个解析本题数字的规律是1→2→4→8,每半小时细菌个数变为原来的2倍,所以经过2.5小时,.答案例10观察图162,寻找规律,在处应填上的数字是A.128B.136C.162D.188解析观察图个数字特点可发现8=42214=84226=1484.思想方法归纳本章中所体现的数学思想方法主要有1.数形结合思想在本章中,自始至终利用数轴来定义或描述有理数的概念和运算,数轴成为理解有理数及其运算的重要工具.这种把数与形图形或数轴结合起来进行研究的思想方法,是学习数学的重要思想方法.2.分类讨论思想a与a哪个大呢a的绝对值等于什么在本章中,我们都是通过分类讨论解决问题,分类讨论可以把一个复杂的问题分成若干个较简单的问题来处理,这是数学中处理问题的一种重要思想方法.不重复、不遗漏是对分类讨论提出的基本要求.例如,我们常把有理数分成正有理数、负有理数和零三类,如果遗漏了零,只考虑正有理数和负有理数两种情况,就会犯错误.3.转化思想有理数的加法是通过符号法则转化为绝对值小学所学的数的加减法进行的有理数的减法是通过转化为加法进行的有理数的除法是通过转化为乘法,或者说有理数的乘除法是通过符号法则转化为绝对值的乘除法进行的.1.数形结合思想数轴是数形结合的重要工具,涉及含字母或绝对值符号的问题,借助数轴往往有利于问题的迅速解决.例1|a|>|b|,a>0,b<O,把a、b、a、b按由小到大的顺序排列.提示比较数的大小,可在数轴上把这些对应点表示出来,按从左到右的顺序确定后,就能写出这些数的大小关系.例2有理数a、b在数轴上对应点的位置如图l64所示,则必有A.ab>0B.ab<oC.ab>0D.ab<0解析由数轴可知0<a<1,b<l<0且|b|>|a|点拨本题要注意读懂图形数轴,掌握数轴上点的性质,还要注意有理数的四则运算法则.2.分类讨论思想例3比较2a与2a的大小.分析由于a可能为正数,也可能为负数和0,所以应分a>0,a<0,a=0三种情况讨论.解此类题时用分类讨论的思想方法来完成.3.转化思想例4计算l32333439931003的值.分析直接求解,当然不行,必须探索规律,将运算进行转化.解∵l3=1,1323=9=32=122,132333=36=62=1232点拨利用转化思想可将复杂问题转化为简单问题,把陌生问题转化为熟悉的知识解决.本题中把立方运算转化为平方运算,把求和运算转化为乘方的运算.4.用赋值法解题在做选择题和填空题时,问题的结论如果运用法则、定义等推导,有些题容易,而有些题很复杂,对于那些推导过程比较复杂的题目可采取赋值法,这样就能又快又准地得出结论.例5mn的相反数是A.mnB.mnC.mnD.mn解析可设m=2,n=1,则mn=1.赋值时取值要符合题意,但又不能特殊,本题中m,n不能取0,得出结论后再用其他值试一试,如m=3,n=2等.例6如果a>0,b<0,|a|>|b|,那么ab0,ab0.填>或<解析由前提条件设a=3,b=1例7若xyxy中的x,y都扩大到原来的5倍,则xyxy的值A.缩小,B.不变C.扩大到原来的5倍D.缩小到原来的15解析取x3,y=2点拨1赋值法只能在客观题填空题、选择题上并且用其他方法不易解出时使用,一般不提倡使用,但可以作为检验结论是否正确的方法。2赋值时要符合题设的前提条件,所赋的值不能特殊,并且要具有代表性.3在有些问题中,赋值一定要考虑全面,避免漏解、错解.中考热点聚焦考点1相反数、倒数、绝对值的概念考点突破此类题在中考中的考查为基础性题目,一般为选择题或填空题.解决这类问题要掌握相反数、倒数、绝对值概念的内涵和区别.例1(2011陕西,1,3分)32的倒数是()A.23B.23C.32D.32分析根据倒数的意义,两个数的积为1,则两个数互为倒数,因此求一个数的倒数即用1除以这个数.例22010江苏苏州中考32的倒数是A.32B.23C.32D.23例3(2011四川眉山,1,3分)﹣2的相反数是()A.2B.﹣2C.错误未找到引用源。D.21分析根据相反数的定义只有符号不同的两个数就是相反数,进行判断.例4(2011河北,15,3分)若|x-3|+|y+2|=0,则x+y的值为.分析根据非负数的性质,可求出x.y的值,然后将x,y再代入计算.例5(2011广西来宾,13,3分)2011的相反数是.分析根据只有符号不同的两个数互为相反数,改变符号即可.例6(2011湖南常德,1,3分)2______.分析根据绝对值的定义数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数绝对值解答即可.例72010内蒙古鄂尔多斯中考如果a与1互为相反数,则|a|等于A.2B.2C.1D.1考点突破有理数的运算是初中数学的重要基础,是历年中考的必考内容.对有理数运算的考查往往融合在实数运算、整式运算之中,单独出现的题型不多,属中、低档难度.做有理数的计算题时,要牢记运算法则和运算顺序.例8(2011江苏苏州,1,3分)122的结果是A.-4B.-1C.14D.32分析根据有理数乘法法则异号得负,并把绝对值相乘来计算.点评考查了有理数的乘法法则两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.例9(2011台湾2,4分)计算73(﹣4)3之值为何()A、9B、27C、279D、407分析先根据有理数的乘方计算出各数,再根据有理数加法的法则进行计算即可.例10(2011台湾14,4分)计算)(4433221错误未找到引用源。之值为何()A、﹣1B、﹣错误未找到引用源。C、﹣512错误未找到引用源。D、﹣错误未找到引用源。分析根据运算顺序,先算乘法运算,根据有理数的异号相乘的法则可知,两数相乘,异号的负,并把绝对值相乘,然后找出各分母的最小公倍数进行通分,然后根据分数的加减运算法则即可算出原式的值.例11(2011台湾,2,4分)计算-33+52--22之值为何()A.2B.5C.-3D.-6分析根据有理数的乘方运算顺序,先算乘方,再算加减.点评有理数乘方的顺序以及法则,正数的任何次幂都是正数负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数0的任何正整数次幂都是0.例12(2011台湾,11,4分)计算5.247164之值为何()A.-1.1B.-1.8C.-3.2D.-3.9专题计算题。分析遇到乘除加减混合运算,应先算乘除再算加减.所以这道题应先把-1.6和2.5变成分数,然后把除法变成乘法计算后,再算减法,算减法时根据减法法则减去一个数等于加上这个数的相反数把其变成加法,最后利用同号两数相加的加法法则计算即可得出值.例13(2011重庆江津区,1,4分)2﹣3的值等于()A、1B、﹣5C、5D、﹣1分析根据有理数的减法法则减去一个数等于加上这个数的相反数.例142010杭州中考计算1213=A.2B.1C.0D.2例152010河南中考计算|1|22=.考点突破在中考中,对数轴的考查常与有理数的比较及运算结合在一起,是近几年中考题中的热点.解决数轴的有关问题时要注意数形结合思想的运用.例16(2011浙江省,1,3分)如图,在数轴上点A表示的数可能是()A.1.5B.-1.5C.-2.6D.2.6例17(2011四川乐山13,3分)数轴上点A、B的位置如图(7)所示,若点B关于点A的对称点为C,则点C表示的数为例182010广东深圳中考改编如图165所示,数轴上A、B两点分别对应有理数a、b,则下列结论正确的是A.ab>0B.ab>0C.ab>0D.|a||b|>0解析由数轴知a>0,b<O,且|a|<|b|考点4科学记数法考点突破科学记数法是中考中的高频考点,属中考必考内容.把一个大于10的数表示成科学记数法,要写成a10n的形式,其中1≤|a|<10,n为正整数.例19(2011南昌,2,3分)根据2010年第六次全国人口普查主要数据公报,江西省常住人口约为4456万人.这个数据可以用科学记数法表示为()A.4.456107人B.4.456106人C.4456104人D.4.456103人分析科学记数法的表示形式为a10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数当原数的绝对值<1时,n是负数.例20(2011山西,4,2分)2011年第一季度,我省固定资产投资完成475.6亿元,这个数据用科学记数法可表示为()A.947.5610元B.110.475610元C.104.75610元D.94.75610元分析475.6亿=47560000000例21(2011陕西,3,3分)我国第六次人口普查显示,全国人口为1370536875人,将这个总人口数(保留三个有效数字)用科学计数法表示为()A、1.37109B、1.37107C、1.37108D、1.371010分析较大的数保留有效数字需要用科学记数法来表示.用科学记数法保留有效数字,要在标准形式a10n中a的部分保留,从左边第一个不为0的数字数起,需要保留几位就数几位,然后根据四舍五入的原理进行取舍.例22(2011广东汕头,2,3分)据中新社北京2011年l2月8日电2011年中国粮食总产量达到546400000吨,用科学记数法表示为()A.75.46410吨B.85.46410吨C.95.46410吨D.105.46410吨例23(2011浙江绍兴,2,3分)明天数学课要学勾股定理,小敏在百度搜索引擎中输入勾股定理,能搜索到与之相关的结果个数约为12500000,这个数用科学记数法表示为()A.51.2510B.61.2510C.71.2510D.81.2510例242010广州中考激情盛会,和谐亚洲第16届亚运会将于2010年11月在广州举行.广州亚运城的建筑面积约是358000平方米,将358000用科学记数法表示为.综合验收评估测试题一、选择题1.有理数中A.有最大的负数B.有最小的整数C.有绝对值最小的数D.不是正有理数就是负有理数2.若a<b<O,则下列各式中正确的是A.1a<1bB.ab<lC.ab<1D.ab>13.已知a是最小的正整数,b是最大的负整数,c是绝对值最小的有理数,则a,b,c三数的和为A.1B.lC.0D.不存在4.12345699100的值等于A.5050B.5050C.50D.505.数轴上到表示2的点的距离为3的点表示的数为A.1B.5C5D.1或56.当a<3时,|a3|3a的值为A.62aB.0C.2a6D.2a7.下列各组数中,互为相反数的是A.3与13B.22与4C.25与52D.7与|7|8.关于近似值0.01050的有效数字的个数和精确度,下列说法正确的是A.五个有效数字,精确到十万分位B.四个有效数字,精确到十万分位C.三个有效数字,精确到万分位D.两个有效数字,精确到万分位9.据中国经济周刊报道,上海世博会第四轮环保活动投资总金额高达820亿元,其中820亿用科学记数法表示为A.0.821011B.8.21010C.8.2109D.8210810.a和a的积一定是A.正数B.负数C.非正数D.非负数二、填空题11.某粮店出售的三种品牌的大米袋上,分别标示质量为25±0.1kg,25±0.2kg,25±0.3kg的字样,从中任意拿出两袋,它们的质量最多相差kg.12.有理数3.7,2,213,23,0,0.02中,属于正数的有属于负数的有.13.若a、b互为倒数,c、d互为相反数,则ab43cd3=.三、解答题14.已知x3=0,|y5|4的值为4,z对应的点到2对应的点的距离是7,求x、y、z这三个数两两之积的和.15.计算115812243326÷32
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