初一竞赛讲座04（有理数的有关知识）.doc.doc

初一数学竞赛讲座(四)有理数的有关知识一、一、知识要点1、绝对值x的绝对值x的意义如下：x=00xxxx，如果，如果x是一个非负数，当且仅当x=0时，x=0绝对值的几何意义是：一个数的绝对值表示这个数对应的数轴上的点到原点的距离；由此可得：ba表示数轴上a点到b点的距离。2、倒数1除以一个数(零除外)的商，叫做这个数的倒数。如果两个数互为倒数，那么这两个数的积等于1。3、相反数绝对值相同而符号相反的两个数互为相反数。两个互为相反数的数的和等于0。二、二、例题精讲例1化简6312xxx分析：由2x+1=0、x-3=0、x-6=0求出零点，然后用零点分段法将绝对值去掉，从而达到化简的目的。解：由2x+1=0、x-3=0、x-6=0分别求得：x=-1/2，x=3，x=6当21x时，原式=-(2x+1)+(x-3)-(x-6)=-2x+2当321x时，原式=(2x+1)+(x-3)-(x-6)=2x+4当63x时，原式=(2x+1)-(x-3)-(x-6)=10当x6时，原式=(2x+1)-(x-3)+(x-6)=2x-2原式=时当，时当，时当，时当，6x2-2x6310342222121xxxxx评注：用零点分段法，通过零点分段将绝对值去掉，从而化简式子，解决问题是解决含绝对值问题的基本方法。例2已知312351312xxxxx，求的最大值和最小值。(第六届迎春01-3杯决赛试题)分析：先解不等式，求出x的范围，然后利用绝对值的几何意义来求最大值和最小值。解：解不等式2351312xxx得：117x11731xx的几何意义是x到1的距离与x到-3的距离的差，从上图中可以看出：当x-3时这差取得最大值4，因117x，则当117x时这差取得最小值1133.评注：1、本题是采用数形结合的思想，用绝对值的几何意义来解题。2、本题求得x的范围后，也可用零点分段法将31xx化简，然后求出最大值和最小值。31xx=117322313431xxxxxxx，当时当，由上式可以看出：当x-3时取得最大值4，当117x时取得最小值1133例3解方程013.728111415926.3yyxx(第六届华杯赛决赛初一试题)分析：两个非负数的和是0，这两个非负数必须都是0。解：由原方程得)2(013.72811)1(01415926.3yyxx由(1)得：1415926.3xx从而x=x-3.1415926或x=3.1415926-x，所以x=1.5707963由(2)得：13.72811yy从而yyy13.7811y13.72811或所以y=2001701或y=6001151于是，原方程的解是60011515707963.120017015707963.1yxyx评注：两个非负数的和是0，这两个非负数必须都是0是解题中常用的一个结论。本题中，求1415926.3xx中的x值也可以用绝对值的几何意义来解，1415926.3xx表示x到原点与到3.1415926的距离相等，因而x是原点与点3.1415926连结线段的中点，即x=1.5707963例4有理数cba,均不为0，且.0cba设|,|bacacbcbax试求代数式xx99192000之值。(第11届希望杯培训题)分析：要求代数式xx99192000的值，必须求出x的值。根据x的特征和已知条件，分析a与b+c,b与a+c，c与a+b的关系，从而求出x的值。解：由cba,均不为0，知baaccb,均不为0.0cba).(),(),(bacacbcba即,1,1,1bacacbcba又cba,中不能全同号，故必一正二负或一负二正所以bacacbcba|,|,|中必有两个同号，即其值为两个1，一个1或两个1，一个1,1|bacacbcba.1|bacacbcbax因此，20009919xx.19022000991例5已知a、b、c为实数，且514131accacbbcbaab，求cabcababc的值。(第8届希望杯试题)分析：直接对已知条件式进行处理有点困难，根据已知条件式的结构特征，可以将它们两边取倒数。解：由已知条件可知a0，b0，c0，对已知三式取倒数得：511411311accbba，三式相加除以2得：6111cba因为6111cbaabccabcab，所以cabcababc=61例6求方程132xx的实数解的个数。(1991年祖冲之杯数学邀请赛试题)分析：1可以化成：32xx，于是32xx32xx由绝对值的性质：若ab0，则baba可得(x-2)(x-3)0从而求得x解：原方程可化为：32xx32xx则(x-2)(x-3)0，所以03020302xxxx或，所以2x3因此原方程有无数多个解。评注：本题很巧妙地将“1”代换成32xx，然后可利用绝对值的性质来解题。在解数学竞赛题时，常常要用到“1”的代换。例7求关于x的方程1)a(0012ax的所有解的和。解：由原方程得ax12，ax120a1，ax12，即x-2=(1a),x=2(1a),从而，x1=3+a，x2=3-a，x3=1+a，x4=1-ax1+x2+x3+x4=8，即原方程所有解的和为8例8已知：的值，求，且1012422xxxaaxxx。分析：直接求值有困难，但我们发现将已知式和待求式倒过来能产生xx1，通过将xx1整体处理来求值。解：axxxaaxxx110122，且即aaaxxaxx1111111而22222224211111111aaaaxxxxxxxaaxxx2112242评注：本题通过将xx1整体处理来解决问题，整体处理思想是一种常用的数学思想。例9解方程组222222121212yyzxxyzzx(1984年江苏省苏州市初中数学竞赛试题)解：观察得，x=y=z=0为方程组的一组解。当xyz0时，将原方程组各方程两边取倒数得：)3(112)2(112)1(112222yzxyzx(1)+(2)+(3)得：2221113222yxzzyx01111113222111222222zyxzyxzyx0111111zyxx=y=z=1故原方程组的解为：111000zyxzyx或评注：本题在对方程组中的方程两边取倒数时，不能忘了x=y=z=0这组解。否则就会产生漏解。三、三、巩固练习选择题1、若的值是，则aaa12()A、1B、-1C、1或-1D、以上都不对2、方程132xx的解的个数是()(第四届祖冲之杯数学邀请赛试题)A、0B、1C、2D、3E、多于3个3、下面有4个命题：存在并且只存在一个正整数和它的相反数相同。存在并且只存在一个有理数和它的相反数相同。存在并且只存在一个正整数和它的倒数相同。存在并且只存在一个有理数和它的倒数相同。其中正确的命题是：（）（A）和（B）和（C）和（D）和4、两个质数的和是49，则这两个质数的倒数和是()A、4994B、9449C、4586D、86455、设y=ax15+bx13+cx11-5(a、b、c为常数)，已知当x=7时，y=7，则x=-7时，y的值等于()A、-7B、-17C、17D、不确定6、若a、c、d是整数，b是正整数，且满足a+b=c，b+c=d，c+d=a，则a+b+c+d的最大值是()A、-1B、0C、1D、-5填空题7、设a0，且x21,xxaa则=8、a、b是数轴上两个点，且满足ab。点x到a的距离是x到b的距离的2倍，则x=9、若236ma与互为相反数，则ma10、计算：10032113211321121111、若a是有理数，则|)|(|)(aaaa的最小值是.12、有理数cba,在数轴上的位置如图所示，化简._|1|1|ccabba解答题13、化简：325xx14、已知200222110112baba，求15、若abc0，求ccbb