初一数学B班讲座材料——二元一次方程组答案.doc初一数学B班讲座材料——二元一次方程组答案.doc

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1初一数学B班讲座材料二元一次方程组一、基本知识1.不定方程(组)的概念如果方程(组)中方程的个数少于未知数的个数,那么就称此方程(组)为不定方程(组)2.不定方程的整数解的性质定理1二元一次不定方程AXBYC中,若A,BC,则该方程无整数解定理2若A,B是互质的正整数,C是整数,且方程AXBYC有一组整数解X0,Y0,则此方程的一切整数解可表示为00XXBTYYAT,其中T0,1,2,3,多元一次不定方程以及不定方程组常可化为二元一次不定方程组来解.二、习题1.如果方程组60210MXYMXY①②的解满足X>0,Y>0,求M的取值范围解②–①得,M–1X6,当M≠1时,X61M把X61M代入①得Y6211MM所以6216211XMMYM由于X>0,Y>0,所以602162101MMM>>解得M>1,所以当M>1时,原方程组的解满足X>0,Y>02.已知A,B,C,D满足方程组31393935ABCDABCDABCDABCD则ABCD7516解23.若方程4X3M–8–2XYN–1BY7是关于X、Y的二元一次方程,则整数M、N、B所满足的条件可能是(B)A.M3,N2,B≠0B.M3,N1,B≠0C.M83,N2,B0D.M3,N1或2,B0解由题意得3810100MNB或≠即833100MNB或≠故选B4.解方程组34XY2XY2XY–3解原方程组即342232XYXYXYXY整理并解得这个方程组得31XY5.解下列方程组(1)73766189825XYXY①②解由①②得91X91Y91,即XY1,变形为X1–Y③,代入①,解得Y780,从而得X7380,所以原方程组的解是7380780XY(2)1752319596XYXY①②解由①2–②,消去常数项,得15X45Y0,即X–3Y③,代入①,解得Y3,从而得X–9,所以原方程组的解是93XY36.对于实数X、Y规定一个新运算“XYAXBY(A、B是常数)”,已知2311,5–310.求A、B的值,并计算–235解本题实际已知23115310ABAB解得353AB,所以–2353–25335–61–57.解方程组0103005004602003311366XYXYXY①②解把方程①的系数化为整数,得354623XY,去分母并整理得3X10Y19③;方程②整理得X–2Y1④,解③、④组成的方程组,得31XY8.解方程组23101460XYXY解设1XM,1YN,原方程组可化为2310460MNMN解这个方程组得145115MN所以514511XY经检验,它就是原方程组的解9.解关于X、Y的方程组3223232232XAYBAXAYBA4解方法1设32XAM,23YBN,原方程组化为22AMNAMN解这个方程组得20AMN,即322203XAAYB,解得22XAYB方法2由原方程组得32322323XAYBXAYB,即2203YB,由此得322XAA,易求得原方程组的解是22XAYB10.已知关于X、Y的方程组1AXYAXY(1)当A≠1时,解这个方程组(2)若A1时,方程组解的情况怎样(3)若A1,方程组2AXYAXY解的情况怎样解(1)两式相减,整理得A–1XA–1,因为A≠1,所以X1,进而求得Y0所以原方程的解为10XY(2)当A1时,方程A–1XA–1的解是一切实数,方程组的解是满足方程X–Y1的任意实数对,事实上这时方程组中的两个方程相同,所以方程组有无数个解(3)当A1时,方程组化为12XYXY,这时不论X、Y取何值,两个方程都不可能同时成立,方程组无解11.当A取何值时,关于X、Y的方程组5232XYAXYA有正整数解5解方法1解方程组得83473AXAY即223123AXAYA根据题意8034703AA>>且A是被3除余2的整数,据此易得只有当A5,2,–1时,X、Y均是正整数,所以所求A的值5、2、–1方法2在原方程组中消去A,的4XY13,这个方程的正整数解是19XY;25XY;31XY当19XY时A5;当25XY时,A2;当31XY时,A–1.所以所求A的值为5、2、–112.已知346XYZ,求代数式324XYZY的值解方法1由346XYZ可得X12Z,Y23Z所以324XYZY3423243ZYZZ11683ZZ1116方法2设346XYZK,则X3K,Y4K,Z6K.代入原式得324XYZY9861111161616KKKKKK方法3由346XYZ得34XY,32YZ324XYZY3231133113114444244424216XYZXZYYYYY613.已知3754103XYZXYZ①②,求XYZ的值.解方法1解关于X、Y的方程组3754103XYZXYZ得2932112ZXZY所以XYZ2931122ZZZ9方法2方程中分离出所求的代数式由①得XYZ2X6Y5③,由②得XYZ3X9Y3④.③3–④2,即得XYZ914.求方程14X8Y200的正整数解解由于14,82|200,故先从两边除以2,得7X4Y100Y10074X25–X–34X所以4|X,取X4,则Y18,从而X4,Y18是原方程的一组解,方程的整数解为44187XTYTT是整数①因为题目要求的正整数解,所以4401870TT>>解得187<T<1,故T–2,–1,0代入①得原方程的正整数解为124XY811XY418XY15.解下列各方程组(1)258320322035273YXXY解设X–3M,23YN(),则原方程组为582020527NMMN由于N的系数相同,7用加减消元法解得14245MN回代()式,得原方程组的解为13411315XY(2)58342321XYXZXYZ解方法1由前两个方程得Y58X①,Z34X②,进而代入第三个方程,消去Y和Z得X的一元一次方程,解得X后,再回代①、②求得Y和Z方法2从前两个方程求得XYZ856,设X8K,Y5K,Z6K,代入第三个方程消去X、Y、Z三个未知数,转化为关于K的一元一次方程.求得K,则求出241518XYZ16.解方程组1221XYXY①②解①②得|X–1|2X1③,解得X0代入②得Y1,原方程的解是01XY或01XY17.公元5世纪,我国数学家张丘建在算经中提出了数学史上著名的“百钱买百鸡问题”今有鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一.凡百钱买百鸡,问鸡翁、母、雏各几何解设鸡翁、鸡母分别买了X只、Y只,则鸡雏买了100–X–Y只.根据题意的方程5X3Y13100–X–Y100整理得7X4Y100无法再列出第二个方程,但由题意可知,未知数X、Y及100–X–Y的值只能取小于100的正整数,且X必是4的倍数.在此条件下,共求得3个正整数解,鸡翁、母、雏的只数分别为4,18,78;8,11,81或12,4,84818.某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机.已知该厂家生产不同型号的电视机,出厂价分别为甲种每台1500元,乙种每台2100元,丙种每台2500元.(1)若商场同时购进两种不同型号的电视机50台,共付9万元,请探究一下商场的进货方案;(2)若商场销售一台甲种电视机可获利150元,销售一台乙种电视机可获利200元,销售一台丙种电视机可获利250元.在同时购进两种不同电视机的方案中,哪种能使获利最大(3)若商场准备用9万元同时购进三种不同型号的电视机50台,请你设计进货方案.解(1)分三种情况讨论①设购进甲种电视机X台,乙种电视机Y台,列方程组501500210090000XYXY解得2525XY;②同理求得若同时购进甲、丙电视机分别为35台和15台;③不可能同时购进乙、丙两种电视机(方程组无正整数解)(2)通过直接计算,上述两种方案的利润分别为8750元和9000元,应选第二种方案(3)设购进甲、乙、丙三种电视机分别X台、Y台和Z台,根据题意,可列方程组5015002100250090000XYZXYZ分别求出Y和Z,得53523252XYXZ分别得到符合题意的整数解为11133512XYZ22231109XYZ33329156XYZ44427203XYZ
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