初一数学B班讲座材料——二元一次方程组答案.doc

1初一数学B班讲座材料二元一次方程组一、基本知识1不定方程（组）的概念如果方程（组）中方程的个数少于未知数的个数，那么就称此方程（组）为不定方程（组）2不定方程的整数解的性质定理1二元一次不定方程ax+by=c中，若(a，b)c，则该方程无整数解定理2若a，b是互质的正整数，c是整数，且方程ax+by=c有一组整数解(x0，y0)，则此方程的一切整数解可表示为00xxbtyyat，其中t=0，1，2，3，多元一次不定方程以及不定方程组常可化为二元一次不定方程组来解二、习题1如果方程组60210mxymxy的解满足x0，y0，求m的取值范围解：得，(m1)x=6，当m1时，x=61m把x=61m代入得y=6211mm所以6216211xmmym由于x0，y0，所以602162101mmm解得m1，所以当m1时，原方程组的解满足x0，y02已知a，b，c，d满足方程组31393935abcdabcdabcdabcd则abcd=7516解：23若方程4x3m82xyn1=by+7是关于x、y的二元一次方程，则整数m、n、b所满足的条件可能是（B）Am=3，n=2，b0Bm=3，n=1，b0Cm=83，n=2，b=0Dm=3，n=1或2，b=0解：由题意得3810100mnb或即833100mnb或故选B4解方程组34xy=2xy=2x+y3解：原方程组即342232xyxyxyxy整理并解得这个方程组得31xy5解下列方程组：（1）73766189825xyxy解：由+得91x+91y=91，即x+y=1，变形为x=1y，代入，解得y=780，从而得x=7380，所以原方程组的解是7380780xy（2）1752319596xyxy解：由2，消去常数项，得15x+45y=0，即x=3y，代入，解得y=3，从而得x=9，所以原方程组的解是93xy36对于实数x、y规定一个新运算“xy=ax+by（a、b是常数）”，已知23=11，5(3)=10求a、b的值，并计算(2)35解：本题实际已知23115310abab解得353ab，所以(2)35=3(2)+5335=6+1=57解方程组0.10.30.050.0460.20.03311366xyxyxy解：把方程的系数化为整数，得354623xy，去分母并整理得3x+10y=19；方程整理得x2y=1，解、组成的方程组，得31xy8解方程组23101460xyxy解：设1x=m，1y=n，原方程组可化为2310460mnmn解这个方程组得145115mn所以514511xy经检验，它就是原方程组的解9解关于x、y的方程组3223232232xaybaxayba4解：方法1设32xa=m，23yb=n，原方程组化为22amnamn解这个方程组得20amn，即322203xaayb，解得22xayb方法2由原方程组得32322323xaybxayb，即2203yb，由此得322xaa，易求得原方程组的解是22xayb10已知关于x、y的方程组1axyaxy（1）当a1时，解这个方程组（2）若a=1时，方程组解的情况怎样？（3）若a=1，方程组2axyaxy解的情况怎样？解：（1）两式相减，整理得(a1)x=a1，因为a1，所以x=1，进而求得y=0所以原方程的解为10xy（2）当a=1时，方程(a1)x=a1的解是一切实数，方程组的解是满足方程xy=1的任意实数对，事实上这时方程组中的两个方程相同，所以方程组有无数个解（3）当a=1时，方程组化为12xyxy，这时不论x、y取何值，两个方程都不可能同时成立，方程组无解11当a取何值时，关于x、y的方程组5232xyaxya有正整数解5解：方法1解方程组得83473axay即223123axaya根据题意8034703aa且a是被3除余2的整数，据此易得只有当a=5，2，1时，x、y均是正整数，所以所求a的值5、2、1方法2在原方程组中消去a，的4x+y=13，这个方程的正整数解是19xy；25xy；31xy当19xy时a=5；当25xy时，a=2；当31xy时，a=1所以所求a的值为5、2、112已知346xyz，求代数式324xyzy的值解：方法1由346xyz可得x=12z，y=23z所以324xyzy=3423243zyzz=11683zz=1116方法2设346xyz=k，则x=3k，y=4k，z=6k代入原式得324xyzy=9861111161616kkkkkk方法3由346xyz得34xy，32yz324xyzy=3231133113114444244424216xyzxzyyyyy613已知3754103xyzxyz，求x+y+z的值解：方法1解关于x、y的方程组3754103xyzxyz得2932112zxzy所以x+y+z=2931122zzz=9方法2方程中分离出所求的代数式：由得x+y+z+2x+6y=5，由得x+y+z+3x+9y=332，即得x+y+z=914求方程14x+8y=200的正整数解解：由于(14，8)=2|200，故先从两边除以2，得7x+4y=100y=10074x=25x34x所以4|x，取x=4，则y=18，从而x=4，y=18是原方程的一组解，方程的整数解为：44187xtytt是整数因为题目要求的正整数解，所以4401870tt解得187t1，故t=2，1，0代入得原方程的正整数解为：124xy811xy418xy15解下列各方程组（1）258320322035273yxxy解：设x3=m，23+y=n（*），则原方程组为：582020527nmmn由于n的系数相同，7用加减消元法解得14245mn回代（*）式，得原方程组的解为13411315xy（2）58342321xyxzxyz解：方法1由前两个方程得y=58x，z=34x，进而代入第三个方程，消去y和z得x的一元一次方程，解得x后，再回代、求得y和z方法2从前两个方程求得x：y：z=8：5：6，设x=8k，y=5k，z=6k，代入第三个方程消去x、y、z三个未知数，转化为关于k的一元一次方程求得k，则求出241518xyz16解方程组1221xyxy解：+得|x1|+2x=1，解得x=0代入得y=1，原方程的解是01xy或01xy17公元5世纪，我国数学家张丘建在算经中提出了数学史上著名的“百钱买百鸡问题”：今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一凡百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？解：设鸡翁、鸡母分别买了x只、y只，则鸡雏买了(100xy)只根据题意的方程5x+3y+13(100xy)=100整理得7x+4y=100无法再列出第二个方程，但由题意可知，未知数x、y及100xy的值只能取小于100的正整数，且x必是4的倍数在此条件下，共求得3个正整数解，鸡翁、母、雏的只数分别为4，18，78；8，11，81或12，4，84818某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机已知该厂家生产不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元（1）若商场同时购进两种不同型号的电视机50台，共付9万元，请探究一下商场的进货方案；（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元在同时购进两种不同电视机的方案中，哪种能使获利最大？（3）若商场准备用9万元同时购进三种不同型号的电视机50台，请你设计进货方案解：（1）分三种情况讨论：设购进甲种电视机x台，乙种电视机y台，列方程组501500210090000xyxy解得2525xy；同理求得若同时购进甲、丙电视机分别为35台和15台；不可能同时购进乙、丙两种电视机（方程组无正整数解）（2）通过直接计算，上述