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有理数一、课前导入1、小明在书上看到,冬日的一天,某地的最高气温为15℃,最低气温达到12℃,平均气温是0℃,这里面的数是什么数答案15是正数12是负数0既不是正数也不是负数2、,,0.2,0.5,它们又是什么数呢答案分数课程讲义二、正数和负数的概念1、正数大于0的数,叫做正数。正数比0大。2、在正数前面加-读作负号的数,叫做负数。负数比0小。零既不是正数也不是负数,零是正数和负数的分界。注意1)为了强调,正数前面有时也可以加上+(读作正)号。2)对于正数和负数的概念,不能简单理解为带+号的数是正数,带-号的数是负数。三、有理数的概念1、有理数整数和分数统称为有理数。注意(1)有时为了研究的需要,整数也可以看作是分母为1的数,这时的分数包括整数。但是本节中的分数不包括分母是1的分数。(2)因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化,上述小数都可以用分数来表示,所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分数。(3)0即不是正数,也不是负数,但0是整数。2、整数包括正整数、零、负整数。3、分数包括正分数和负分数。四、有理数的分类1、按整数、分数的关系分类2、按正数、负数与0的关系分类注意通常把正数和0统称为非负数,负数和0统称为非正数,正整数和0称为非负整数(也叫做自然数),负整数和0统称为非正整数。如果用字母表示数,则a>0表明a是正数a<0表明a是负数a0表明a是非负数a0表明a是非正数。五、数轴的概念规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴数轴的定义包含三层含义一,数轴是一条直线,可以向两端无限延伸二,数轴有三要素原点、正方向、单位长度,三者缺一不可三,原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定,都是根据实际需要规定的(通常取向右为正方向)。六、数轴的画法1、画一条直线(一般画成水平的直线)。2、在直线上选取一点为原点,并用这点表示零(在原点下面标上0)。3、确定正方向(一般规定向右为正),用箭头表示出来。4、选取适当的长度作为单位长度,从原点向右,每隔一个单位长度取一点,依次表示为1,2,3从原点向左,每隔一个单位长度取一点,依次表示为-1,-2,-3注(1)原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取(2)确定单位长度时,根据实际情况,有时也可以每隔两个或更多的单位长度取一点,从原点向右,依次表示为2,4,6,从原点向左,依次表示为-2,-4,-6,七、相反数的概念1、相反数的几何定义在数轴上原点的两旁,到原点距离相等的两个点所表示的数,叫做互为相反数。2、相反数的代数定义只有符号不同的两个数(除了符号不同以外完全相同),我们说其中一个是另一个的相反数,0的相反数是0。八、绝对值的概念1、绝对值的几何定义一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离,数a的绝对值记作2、绝对值的代数定义一个正数的绝对值是它本身一个负数的绝对值是它的相反数0的绝对值是0。即九、有理数比大小(1)正数的绝对值越大,这个数越大(2)正数永远比0大,负数永远比0小(3)正数大于一切负数(4)两个负数比大小,绝对值大的反而小(5)数轴上的两个数,右边的数总比左边的数大(6)大数小数>0,小数大数<0.十、互为倒数乘积为1的两个数互为倒数注意0没有倒数若a≠0,那么的倒数是倒数是本身的数是±1若ab1a、b互为倒数若ab1a、b互为负倒数。十一、有理数运算法则1、加法法则(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加(2)异号两数相加,取绝对值较大的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值(3)一个数与0相加,仍得这个数。有理数加法的运算律(1)加法的交换律abba(2)加法的结合律(ab)ca(bc)。2、有理数减法法则减去一个数,等于加上这个数的相反数即aba(b)。3、有理数乘法法则(1)两数相乘,同号为正,异号为负,并把绝对值相乘(2)任何数同零相乘都得零(3)几个数相乘,有一个因式为零,积为零各个因式都不为零,积的符号由负因式的个数决定。有理数乘法的运算律(1)乘法的交换律abba(2)乘法的结合律(ab)ca(bc)(3)乘法的分配律a(bc)abac.4、有理数除法法则除以一个数等于乘以这个数的倒数注意零不能做除数,.5、有理数乘方的法则(1)正数的任何次幂都是正数(2)负数的奇次幂是负数负数的偶次幂是正数注意当n为正奇数时(a)nan或(ab)n(ba)n,当n为正偶数时(a)nan或(ab)n(ba)n.乘方的定义(1)求相同因式积的运算,叫做乘方(2)乘方中,相同的因式叫做底数,相同因式的个数叫做指数,乘方的结果叫做幂(3)a2是重要的非负数,即a2≥0若a2|b|0a0,b0(4)据规律底数的小数点移动一位,平方数的小数点移动二位。6、科学记数法把一个大于10的数记成a10n的形式,其中a是整数数位只有一位的数,这种记数法叫科学记数法。7、.近似数的精确位一个近似数,四舍五入到那一位,就说这个近似数的精确到那一位。8、有效数字从左边第一个不为零的数字起,到精确的位数止,所有数字,都叫这个近似数的有效数字。9、混合运算法则先乘方,后乘除,最后加减注意怎样算简单,怎样算准确,是数学计算的最重要的原则。10、特殊值法是用符合题目要求的数代入,并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明。练一练依据生活情境回答问题1、夜空中繁星密布时,小贝贝在数星星,他所用到的数属于什么数答案正数2、一把测量用的刻度尺上可以读出哪几类有理数答案正数、分数、零3、一支测量气温用的温度计,可以从上面读出哪几类有理数答案正数、零、负数4、下列关于零的说法,正确的有()①0是最小的正整数②0是最小的有理数③0不是负数④0既是非正数也是非负数A、1个B、2个C、3个D、4个答案B5、判断(1)0是整数()(2)自然数一定是整数()(3)0一定是正整数()(4)整数一定是自然数()答案对对错错
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