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初一数学竞赛讲座(三) 数字、数位及数谜问题.doc初一数学竞赛讲座(三) 数字、数位及数谜问题.doc -- 5 元

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初一数学竞赛讲座三数字、数位及数谜问题一、一、知识要点1、整数的十进位数码表示一般地,任何一个n位的自然数都可以表示成122321110101010aaaaannnn其中,aii1,2,,n表示数码,且0≤ai≤9,an≠0.对于确定的自然数N,它的表示是唯一的,常将这个数记为N121aaaann2、正整数指数幂的末两位数字11设m、n都是正整数,a是m的末位数字,则mn的末位数字就是an的末位数字。22设p、q都是正整数,m是任意正整数,则m4pq的末位数字与mq的末位数字相同。3、在与整数有关的数学问题中,有不少问题涉及到求符合一定条件的整数是多少的问题,这类问题称为数迷问题。这类问题不需要过多的计算,只需要认真细致地分析,有时可以用凑、猜的方法求解,是一种有趣的数学游戏。二、二、例题精讲例1、有一个四位数,已知其十位数字减去2等于个位数字,其个位数字加上2等于其百位数字,把这个四位数的四个数字反着次序排列所成的数与原数之和等于9988,求这个四位数。分析将这个四位数用十进位数码表示,以便利用它和它的反序数的关系列式来解决问题。解设所求的四位数为a103b102c10d,依题意得a103b102c10dd103c102b10a9988∴ad103bc102bc10ad9988比较等式两边首、末两位数字,得ad8,于是bc18又∵c2d,d2b,∴bc0从而解得a1,b9,c9,d7故所求的四位数为1997评注将整数用十进位数码表示,有助于将已知条件转化为等式,从而解决问题。例2一个正整数N的各位数字不全相等,如果将N的各位数字重新排列,必可得到一个最大数和一个最小数,若最大数与最小数的差正好等于原来的数N,则称N为新生数,试求所有的三位新生数。分析将所有的三位新生数写出来,然后设出最大、最小数,求差后分析求出所有三位新生数的可能值,再进行筛选确定。解设N是所求的三位新生数,它的各位数字分别为a、b、ca、b、c不全相等,将其各位数字重新排列后,连同原数共得6个三位数cbacabbcabacacbabc,,,,,,不妨设其中的最大数为abc,则最小数为cba。由新生数的定义,得Ncaabccbacbaabc991010010100由上式知N为99的整数倍,这样的三位数可能为198,297,396,495,594,693,792,891,990。这9个数中,只有954459495符合条件。故495是唯一的三位新生数评注本题主要应用新生数的定义和整数性质,先将三位新生数进行预选,然后再从中筛选出符合题意的数。这也是解答数学竞赛题的一种常用方法。例3从1到1999,其中有多少个整数,它的数字和被4整除将每个数都看成四位数不是四位的,在左面补0,0000至1999共2000个数。千位数字是0或1,百位数字从0到9中选择,十位数字从0到9中选择,各有10种。在千、百、十位数字选定后,个位数字在2到9中选择,要使数字和被4整除,这时有两种可能设千、百、十位数字和为a,在2,3,4,5中恰好有一个数b,使ab被4整除a2、a3、a4、a5除以4,余数互不相同,其中恰好有一个余数是0,即相应的数被4整除在6,7,8,9中也恰好有一个数cb4,使ac被4整除。因而数字和被4整除的有210102400个再看个位数字是0或1的数。千位数字是0或1,百位数字从0到9中选择,在千、百、个位数字选定后,十位数字在2到9中选择。与上面相同,有两种可能使数字和被4整除。因此数字和被4整除的又有2210280个。在个位数字、十位数字、千位数字均为0或1的数中,百位数字在2到9中选择。有两种可能使数字和被4整除。因此数字和被4整除的又有222216个。最后,千、百、十、个位数字为0或1的数中有两个数,数字和被4整除,即1111和0000,而0000不算。于是1到1999中共有40080161497个数,数字和被4整除。例4圆上有9个数码,已知从某一位起把这些数码按顺时针方向记下,得到的是一个9位数并且能被27整除。证明如果从任何一位起把这些数码按顺时针方向记下的话,那么所得的一个9位数也能被27整除。分析把从某一位起按顺时针方向记下的9位数记为9321aaaa,其能被27整除。只需证明从其相邻一位读起的数1932aaaa也能被27整除即可。证明设从某一位起按顺时针方向记下的9位数为9321aaaa依题意得9321aaaa987281101010aaaa能被27整除。为了证明题目结论,只要证明从其相邻一位读起的数1932aaaa也能被27整除即可。1932aaaa197382101010aaaa∴109321aaaa1932aaaa10987281101010aaaa197382101010aaaa101010109738291aaaa197382101010aaaa13191911100011010aaaa∵1100010009991100010001100011000223而999能被27整除,∴100031也能被27整除。因此,1932aaaa能被27整除。从而问题得证。评注本题中,1091难以分解因数,故将它化为100031,使问题得到顺利解决。这种想办法降低次数的思想,应注意领会掌握。例5证明111111112112113113能被10整除分析要证明111111112112113113能被10整除,只需证明111111112112113113的末位数字为0,即证111111,112112,113113三个数的末位数字和为10。证明111111的末位数字显然为1112112112428,而1124的末位数字是6,所以112112的末位数字也是6113113113428113,1134的末位数字是1,所以113113的末位数字是3∴111111,112112,113113三个数的末位数字和为16310∴111111112112113113能被10整除评注本题是将证明被10整除转化为求三数的末位数字和为10。解决数学问题时,常将未知的问题转化为熟知的问题、复杂的问题转化为简单的问题,这是化归思想。例6设Pm表示自然数m的末位数,nPnPan2求199521aaa的值。解199521aaa112PP222PP199519952PP199521199521222PPPPPP199521199521222PP∵1995101995,又因为连续10个自然数的平方和的末位数都是5∴51995432119952122222222PPP5510又219961995199521PP0∴199521aaa10评注本题用到了连续10个自然数的平方和的末位数都是5这个结论。例71111111请找出6个不同的自然数,分别填入6个问号中,使这个等式成立。第三届华杯赛口试题分析分子为1分母为自然数的分数称作单位分数或埃及分数,它在很多问题中经常出现。解决这类问题的一个基本等式是11111nnnn,它表明每一个埃及分数都可以写成两个埃及分数之和。解首先,12121从这个式子出发,利用上面给出的基本等式,取n2可得613121∴1613121又利用上面给出的基本等式,取n3可得1214131∴1611214121再利用上面给出的基本等式,取n4可得2015141∴1611212015121最后再次利用上面给出的基本等式,取n6可得4217161∴1421711212015121即可找出2,5,20,12,7,42六个自然数分别填入6个问号中,使等式成立。评注1、因为问题要求填入的六个自然数要互不相同,所以每步取n时要适当考虑,如最后一步就不能取n5,因为n5将产生30161,而61已出现了。2、本题的答案是不唯一的,如最后一步取n12,就可得16115611312015121例8如图,在一个正方体的八个顶点处填上1到9这些数码中的8个,每个顶点处只填一个数码,使得每个面上的四个顶点处所填的数码之和都相等,并且这个和数不能被那个未被填上的数码整除。求所填入的8个数码的平方和。第12届希望杯数学竞赛培训题解设a是未填上的数码,s是每个面上的四个顶点处所填的数码之和,由于每个顶点都属于3个面,所以6s31234567893a即6s3453a,于是2s45a,可以断定a是奇数而a不整除s,所以a只能是7,则填入的8个数码是1,2,3,4,5,6,8,9,它们的平方和是1222324252628292236例9在右边的加法算式中,每个表示一个数字,任意两个数字都不同。试求A和B乘积的最大值。AB分析先通过运算的进位,将能确定的确定下来,再来分析求出A和B乘积的最大值。解设算式为abcdefghAB显然,g1,d9,h0acf10B,bc9A,∴A≤62AB19234567835,∴AB8要想AB最大,∵A≤6,∴取A5,B3。此时b6,e8,a2,c4,f7,故AB的最大值为15.评注本题是通过正整数的十进制的基本知识先确定g,d,h,然后再通过分析、观察得出A、B的关系,最后求出AB的最大值。例10在一种游戏中,魔术师请一个人随意想一个三位数abc。并请这个人算出5个数acb、bac、bca、cab、cba的和N,把N告诉魔术师,于是魔术师就能说出这个人所想的数abc。现在设N3194,请你做魔术师,求出数abc来。第四届美国数学奥林匹克试题解将abc也加到和N上,这样a、b、c就在每一位上都恰好出现两次,所以有abcN222abc①从而3194a1,由123aaa减去321aaa得一个三位数123bbb,证明123bbb321bbb108919、对于自然数n,如果能找到自然数a和b,使得nabab,那么n就称为好数。如31111,所以3是好数。在1到100这100个自然数中,有多少个好数20、AOMEN和MACAO分别是澳门的汉语拼音和英文名字。如果它们分别代表两个5位数,其中不同的字母代表从1到9中不同的数字,相同字母代表相同的数字,而且它们的和仍是一个5位数,求这个和可能的最大值是多少
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