高考数学不等式专题训练.doc.doc

上海高考网更多资源关注上海高考网（一）不等式1(排序不等式）设,.21naaanbbb.21njjj,.,21是n,.,2,1的一个排列，则.221121112121nnjnjjnnnbababababababababan2(均值不等式)设naaa,.,21是n个正数，则naaan.21.21nnaaa3（柯西不等式）设),.2,1(,niRbaii则.)()(211212iniiniiniibaba等号成立当且仅当存在R，使得),.,2,1(niabii.从历史角度看，柯西不等式又可称柯西-布理可夫斯基-席瓦兹不等式变形：（1）设RbRaii,则.)()(11212niiniiniiibaba（2）设iiba,同号，且,0,iiba则.)()(1121niiiniiniiibaaba4（Jensen不等式）若)(xf是),(ba上的凸函数，则对任意),(,.,21baxxxn).(.)()(1).(2121nnxfxfxfnnxxxf5（幂均值不等式）设)(0Rai则.).().(121121MnaaanaaaMnn证：作变换令iixa，则1iixa则.).().(12121nxxxxxxnMMnn因0所以,1则函数xxf)(是),0(上的凸函数，应用Jensen不等式即得。6（切比雪夫不等式）设两个实数组naaa.21，nbbb.21则上海高考网更多资源关注上海高考网).(1).(12211111121nnniiniinnnbababannbnabababan（该不等式的证明只用排序不等式及niiniiba11的表达式就可得证）7（一个基础不等式）yxyx)1(1其中1,0,0,yx证：若yx,中有一个为零，则结论成立。设yx,均不为零，则原不等式等价于不等式).1()()(yxyx令,tyx则上式).1(tt记,)1()(tttf则1)(ttf当；0)(,1tft0)(,10tft且,0)1(f所以函数)(tf在1t取得最小值0，从而可得证结论。8（Holder不等式）设).,.2,1(0,nkbakk1,qp且111qp，则qnkqkpnkpkknkkbaba11111)()(（等号成立当且仅当qkpktba）证：在不等式7中令qkpkByAxp,1则有.11qkpkkkBqApBA所以nkqknkpkknkkBqApBA11111令nkqqkkknkppkkkbbBaaA1111)(,)(则得证Holder不等式。*9.与对数函数有关的一个不等式xxxx)1ln(1，.0x（该不等式的证明利用导数的符号得出函数的单调性）*10三角函数有关的不等式xxxtansin)2,0(x*11。舒尔（Schur）不等式设Rzyx,，则0)()()(yzxzzzyxyyzxyxx证明：首先考虑设Rzyx,，则0)()()(yzxzzzyxyyzxyxxrrr由于对称性可设0zyx上海高考网更多资源关注上海高考网（1）当0r时左边0)()()(21)()()(222222xzzyyxzxyzxyzyxyzxzzyxyzxyx所以结论成立；（2）当0r时0zy，0zx，0rryx左边0)()()()()()()()(2yxyzyyxyzxyxyzyyxyzxyxxzxzyzzyyxyzxyxxrrrrrrrr结论得证；（3）当0r时0yx，0zx，0rryz左边0)()()()()()()()(2zyyzyzxyzyyxyzxzyzzyyxyzxzyzzyyxyzxyxxrrrrrrrr结论得证。当1r时有0)()()(yzxzzzyxyyzxyxx*12。闵可夫斯基（Minkowski）不等式如果nxxx,.,21与nyyy,.,21都是非负实数1p，那么pnipipnipippiniiyxyx111111)()()(证明：11)()()(piiipiiipiiyxyyxxyx应用Holder不等式得ppiippipiiiyxxyxx1111)()()(，ppiippipiiiyxyyxy1111)()()(。从而得证。例1设Rcba,且,1abc求证.333222cbacba证：（1）由柯西不等式,)()(2222333cbacbacba而322222222223)()()(111()(3abccbacbacbacba由条件即得cbacba222所以结论成立。（2）由幂均值不等式（32,1）.)33()()3()3(3)3(32222132222222122222223222333cbacbacbacbacbacbacba（3）由切比雪夫不等式，不妨设cba，则.3)(222222333cbacbacbacba上海高考网更多资源关注上海高考网例2设,1).,.,2,1(,01niiixnix求证.1111nxxxniiniii证：左边=niiniixx11111（由柯西不等式的变形.111121niiniixnx）又212112)1()1()(1(niiininixx即)1(11nnxnii所以.1)1()1(111211nnnnnnnxxniinii又niiniixxn1212221)1.11)(结合上述两式得证结论。例3：已知cba,为满足1cba的正数，求证：.427111abccabbca证明：由柯西不等式的变形知.19)111(1112abcabcabcabccbaabccabbca而31)(312cbaabcabc所以原不等式成立。4cba,是正实数，求证：.8)(2)2()(2)2()(2)2(222222222bacbacacbacbcbacbaI证明：显然222222222)(2)(4(2)(2)()(44)(2)2(cbacbcbacbacbcbaacbacba同理22222)(2)(4(2)(2)2(acbacacbacbacb，22222)(2)(4(2)(2)2(bacbabacbacbac所以可得222222)(2)(4()(2)(4()(2)(4(6bacbabacacbacacbcbacbcbaI若bacacbcba4,4,4（*），则)(323)(22)(22232)(2)(2222cbacbcbacbcba即222)(32)(2cbacba同理222)(32)(2cbaac，上海高考网更多资源关注上海高考网222)(32)(2cbabac所以831215221)(215296)(2)(5)(336)(2)222666(36)(2)(4(3)(2)(4(3)(2)(4(36)(2)(4()(2)(4()(2)(4(62222222222222222222222cbacbacbacbacbacbacbaacbcabcbababaccbaacacbcbacbcbabacbabacacbacacbcbacbcbaI（因为).(3)111)()(2222222222cbacbacba）若上述假设（*）不成立，不妨设cba4，则2)(2)(4(2)(2)2(22222cbacbcbacbacba由柯西不等式)111()()(2222222acbbacbb故3)(2)2(222acbacb，同理.3)(2)2(222bacbac所以.8I综上可知8I，当且仅当cba时等号成立。5若zyx,均大于1，求证.2111111222222yxzxzyzyxJ证明：事实上2222222222222222)111()1)(1()1)(1()1)(1)(111111(zyxyxzxzyzyxyxzxzyzyx故.23)(2)1()1()1()()()(23)(26662229)1)(1()1)(1()1)(1()3(2222222222222222222222222222222222222222224442222222222zyxxzzyyxzyxxzzyyxzyxxzzyyxzyxxzzyyxzyxxzzyyxzyxxzzyyxzyxyxzxzyzyxzyxJ（当且仅当1zyx时等号成立）6.已知cba,为正实数，证明：若4222abccba，则.3cba证：显然cba,在区间0，2上，设cos2a，cos2b)2,0,上海高考网更多资源关注上海高考网当c为正数时abccba222为增函数因此，对任意的正数ba,至多有一正数c满足4222abccba。下面证明)cos(2)cos(2c满足4222abccba事实上.1coscossinsincoscossinsincoscos2coscos2sinsincoscos2sinsincoscoscoscos)cos(coscos2)(coscoscos22222222222222222若2，则0)cos(2是c满足条件的唯一值。下面证明，若2则不存在满足条件的c。事实上，满足条件的c一定满足下面方程0)1cos(cos4coscos4222cc此时上面方程若有解21,cc，则0)1cos(cos40coscos4222121cccc从而21,cc均小于零，所以不存在满足条件的c。因此cos2,cos2,cos2cba（,是一个锐角三角形的三个内角）则3)3cos(32)coscos(cos2cba（上式利用xcos是2,0上的凹函数）所以结论得证。7.已知正数naaa,.,21，nbbb,.,21满足条件：1.2121nnbbbaaa。求nnnbaabaabaa222221121.的最小值。解：先证明一个不等式tyzxtzyx222)(对所有的正数成立（事实上，上式等价于,)()(222ytzxtyyztx即0)(2yzxt显然成立）于是，利用1n次如上不等式，得21).().(.2121221222221121nnnnnnbbbaaaaaabaabaabaa当nbbbaaann1.2121时等号成立。故所求最小值为.21例8：设zyx,为正数，且1543zyx，求xzzyyx111的最小值。解：由1543zyx，即1)(3)(2)(xzzyyx。则由柯西不等式的变形知上海高考网更多资源关注上海高考网.)321()(3)(2)()321()(3)3()(2)2(111122222xzzyyxxzzyyxxzzyyx且当)(33)(221xzzyyx及1543zyx时等号成立故xzzyyx111的最小值为.)321(2例3设1,abcdRdcba求证2)1(1)1(1)1(1)1(1addccbba证：设xwdwzczybyxa,Rwzyx,则原不等式等价于.2)1(1)1(1)1(1)1(1yxxwxwwzwzzyzyyx即.2111111111111yxwxwzwzyzyx由柯西不等式.)11(1)11(1)11(1)11(1)1111(1111111111112yxwxwzwzyzyxwzyxyxwxwzwzyzyx将上式分子与分母展开，应用柯西不等式可证原不等式成立。9.设正数zyxcba,满足caybxbcxazabzcy,求函数zzyyxxzyxf111),(222最小值解：由已知条件可解abcbazacbcaybcacbx222222222222令222222222,cbabcaacb则),(,)(,)(,)(Rzyx从而)()()()()()()()()()()()()(),(2222zyxf上海高考网更多资源关注上海高考网下面估计.21),(zyxf只需要证明.)()(34221)()()(2222利用均值不等式222)(从而结论成立即.21),(zyxf且等号当21zyx即cba时成立。所以),(zyxf的最小值为.2110.证明：对任意自然数n，成立不等式.3.432n证：设.).1(nkkak因为12kkkaa如果1kak，则.2)1(221kkkkaakk所以，如果32a，则由数学归纳法可知.1nan也就是nnn)1(成立，但事实上显然不成立，所以32a不成立。也就是原不等式得证。11.非负数naaa,.,21中最大的一个为a，证明不等式4).(.222122221anaaanaaann（并给出等号成立的条件）证：设.21Mnaaan则.4)2(4.2222222221aMaaMaMMnaaan（因为naaaanaaaniaaannii.),.,2,1(21222212）等号成立，第一iiaaa2对每个i成立即0ia或者；aai第二.2aM这两种情况都成立只有如下两种情况（1）所有ia均为0；（2）n为偶数，2n个,0ia其余的2n个).0(aaai12.已知)2；,.,2,1(,nniRxi满足0,1|11niniiixx，求证.2121|1nixnii证：（1）设nxxx,.,21中大于0的实数有lkkkxxx,.,21，不大于0的有nllkkkxxx,.,21，则由已知条件得.21；2111nliklikiixx所以上海高考网www.uji