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地址远大路世纪城远大园五区9号楼电话88594404教案教师__________学生__________上课时间__________第1章有理数-绝对值不用分类讨论的情况1用公式例1已知AB0,求||||||||22BAABABBA的值。分析如用定义,则要分四种情形进行分类讨论,麻烦。若根据||||||||AAABAB22,。先变形,则可避免分类讨论。解原式||||||||||||ABBAABAB22||||||||||||||||||||||ABABABABABABABABABAB02整体处理例2解方程XXX2693290||。分析按常规,应分X3与X3分类讨论,但若把||X3看成一个整体,则可避免分类讨论。解原方程可化为||XX3932002即所以或解得,,,||||||||||||XXXXXXXXXX393200343503403507182212343数形结合例3满足||||27218AA的整数A的值有()A5个B4个C3个D2个解由||||27218AA,得地址远大路世纪城远大园五区9号楼电话88594404AA72124根据绝对值的几何意义,此式表示数轴上点PA到点A72和点B12的距离之和,由于AB4,所以P点只能是线段AB上的点即7212A所以,整数A3210,,,选(B)。4用性质例4求方程||||XX231的实数根的个数。分析一般是分区间讨论求解,亦可利用数形结合法求解。但若注意到XX231,再利用性质若||||||ABAB,则A与B异号。解原方程可化为||||||XXXX2323所以XX230解得23X因此,原方程有无限多个实数根。5平方例5已知有理数T满足||||11TT,求||||TT20051的值。分析一般是先分区间讨论,再求出满足条件的T的值,代入求值。实际上,平方法是去绝对值的一种常用方法。解原等式两边平方得121222TTTT||所以||TT即T0地址远大路世纪城远大园五区9号楼电话88594404所以||||TT20051TT200512004值的十个易错点王芳在有理数的学习中,绝对值是一个重要的知识点,也比较难。由于接触绝对值概念的时间比较短,对其认识不深刻,常见的错误有1一个数的绝对值等于本身,则这个数一定是正数。分析正数的绝对值等于其本身,但0的绝对值也等于其本身,所以,绝对值等于其本身的数可能是正数,也可能是0。正确的说法是一个数的绝对值等于本身,这个数是非负数。2一个数的绝对值等于它的相反数,这个数一定是负数。分析正确的回答是绝对值等于它的相反数的数是负数或0(也就是非正数)。3如果两个数的绝对值相等,则这两个数一定相等。分析错。两个有理数的绝对值相等,这两个数不一定相等,如||||3333,,即3和3的绝对值相等,但3不等于3。4如果两个数不相等,那么这两个数的绝对值一定不等。分析错。由3知,两个数不等,它们的绝对值有可能相等。5有理数的绝对值一定是正数。分析错。因为0的绝对值是0,0既不是正数也不是负数,所以有理数的绝对值是非负数。6没有最小的有理数,也没有绝对值最小的有理数。分析没有最小的有理数。但负数与正数的绝对值都是正数,而0的绝对值是0。0小于一切正数,所以绝对值最小的数是0。7当||AA时,A0;当||AA时,则A0。分析错。||AA表示的意义是一个数的绝对值等于本身,这个数是非负数,所以这时A0;||AA说明一个数的绝对值等于它的相反数,此时A0。地址远大路世纪城远大园五区9号楼电话885944048绝对值不大于5的整数有8个。分析错。一是错把不大于理解为小于了;二是漏掉了0。正确的答案是绝对值不大于5的数有11个,分别为54321,,,,,0,1,2,3,4,5。9两个有理数为A,B,若AB,则||||AB。分析错。当AB00,时,则||||ABAB;当,00时,则不一定有||||AB,如23,而||||23;当A0,B0时,若AB,则||||AB,如47,而||||47。10如果||X2,则X2。分析错。因为||X2,则||X2,由于||22,||22,所以X2或2。相反数和绝对值安徽省马鞍山市第七中学杨厚文相反数和绝对值是数学的重要基础概念之一,有着广泛的应用。不少学生在学习时觉得不好理解,应用时经常出问题,下面就和同学们一起学习相反数和绝对值【相反数和绝对值知识点归纳总结】1、相反数的概念关键要理解“只有符号不同”的含义,规定零的相反数是零;2、互为相反数指的是一对数,甲、乙两数互为相反数包括甲是乙的相反数,乙也是甲的相反数;3、相反数的几何意义表示互为相反数的两个点(除0外)分别在原点O的两边,并且到原点的距离相等。4、多重符号化简的依据就是相反数的意义,化简的结果是由“-”号的个数来决定的,简称奇负偶正。5、什么是一个数的绝对值呢从数轴上看,一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离。注意,这里的距离,是以单位长度为度量单位的,是一个非负的量。6、一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数;零的绝对值是零。7、两个负数,绝对值大的反而小。地址远大路世纪城远大园五区9号楼电话88594404【用相反数和绝对值解题】一、用相反数和绝对值的概念例1(重庆市2005年中考题)5的相反数是(A-5B5CD解析根据相反数的概念只有符号不同的两个数叫做互为相反数,易知本题选A例2(绵阳市2005年绝对值为4的实数是A4B4C-4D2解析求绝对值等于4的数用绝对值几何定义比较直观,绝对值等于4的整数即在数轴上到原点距离等于4的整数点表示的数,故本题选A二、用相反数和绝对值的性质特征例3(佛山市2005年中考题)-2的绝对值是()。A.2B.-2C.2D.解析由绝对值的特征一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0所以-2的绝对值是2例4(济南市2005年中考题若A与2互为相反数,则|A2|等于(A0B-2C2D4解析由相反数的特征若A、B两数互为相反数,则A+B=0,反之也成立可知A20,再由绝对值的特征可得本题选A三.用相反数和绝对值解决实际问题例5质检员抽查某种零件的长度,超过规定长度的记为正数,不足规定长度的记为负数检查结果如下第一个为013毫米,第二个为-02毫米,第三个为-01毫米,第四个为015毫米,则长度最小的零件是第几个哪一个零件与规定长度的误差最小解析∵|-02|>|015|>|013|>|-01|∴长度最小的零件是第二个,与规定长度的误差最小的是第三个四.用相反数和绝对值中的数学思想相反数和绝对值的应用十分广泛。因此我们在学习时,不仅应该深入理解概念,掌握特征,灵活运用,还应注意在应用过程中学会思想方法。1.整体代换例6若|A-2|=2-A,求A的取值范围。地址远大路世纪城远大园五区9号楼电话88594404解析根据已知条件等式的结构特征,我们把A-2看作一个整体,那么原式变形为|A-2|=-(A-2,又由绝对值概念知A-2≤0,故A的取值范围是A≤2。2.数形结合例7(全国初中数学竞赛试题设X是实数,Y=|X-1||X1|。下列四个结论ⅠY没有最小值;Ⅱ只有一个X使Y取到最小值;Ⅲ有有限多个X(不只一个使Y取到最小值;Ⅳ有无穷多个X使Y取到最小值。其中正确的是。A.ⅠB.ⅡC.ⅢD.Ⅳ解析我们知道,|X|的几何意义是表示数轴上点X到原点的距离。类似地可知,|X-A|的几何意义是表示数轴上点X到点A的距离。一些有关绝对值的竞赛题,利用上述绝对值的几何意义,借助数形结合,常常会得到妙解。原问题可转化为求X取那些值时,数轴上点X到点1与点-1的距离之和为最小。从数轴上可知,区间-1,1上的任一点X到点1与点-1的距离之和均为2;区间-1,1之外的点X到点1与点-1的距离之和均大于2。所以函数Y=|X-1||X1|当-1≤X≤1时,取得最小值2。故选(D。3.分类例8(2003年哈尔滨市中考题)已知|X|=3,|Y|=2,且XY<0,则X+Y的值等于()A.5或-5B.1或-1C.5或1D.-5或-1解析|X|=3,|Y|=2,所以X=3,Y=2,又因为XY<0,X、Y异号。所以有两种情况(1)当X=3,Y=-2时,X+Y=1。(2)当X=-3,Y=2时X+Y=-1。故选B。练习1.(玉林市2005年中考题)若-M4,则M__________。2正式排球比赛,对所使用的排球的重量是有严格规定的。检查5个排球的重量,超过规定重量的克数记作正数,不足规定重量的克数记作负数,检查结果如下表15-1030-20-40地址远大路世纪城远大园五区9号楼电话88594404指出哪个排球的质量好一些(即重量最接近规定重量)你怎样用学过的绝对值知识来说明这个问题3如图是一个正方体纸盒的侧面展开图,请在其余三个正方形内分别填入适当的数,使得折成正方体后相对面上的两个数互为相反数则①②③表示的数分别为()A.-1,-05,3B.-05,-1,3C.-05,3,-1D.3,-05,-14.(2004年重庆市初中数学竞赛已知A、B、C都不等于0,且的最大值为M,最小值为N,则(MN)2004=_________5(第二届“创新杯”数学邀请赛若实数A、B、C在数轴上对应点的位置如图所示,则|C|-|B-A||BC|等于((A-A(B-A2B(C-A-2C(DA-2B6.(江苏省第十七届初中数学竞赛题下列说法中,正确的是()。(A)|-A|是正数(B)|-A|不是负数(C)-|A|是负数(D)不是正数7.(2004年全国初中数学联赛试题深圳赛区题已知、都是有理数,且,则是(C)A.负数;B正数;C负数或零;D非负数练习题答案1-42第二只排球质量好一些,利用这些数据的绝对值的大小来判断排球的质量,绝对值越小说明越接近规定重量,因此质量也就好一些。3D405C6B7C浅谈关于绝对值的化简地址远大路世纪城远大园五区9号楼电话88594404河北省阳原县化稍营中学(075800)韩富文进入初中阶段,绝对值总是学生们感觉较难的问题。无论是从绝对值的几何定义,还是绝对值的代数定义,都揭示了绝对值的一个重要性质非负性,也就是说任何一个有理数的绝对值都是非负数,即无论A取任意有理数都有||A0。下面关于绝对值的化简题作一探讨。一、含有一个绝对值符号的化简题1已知未知数的取值或取值范围进行化简。如,当X2时化简||23XX(根据绝对值的意义直接化简)解原式2333XXX。2没有告诉未知数的取值或取值范围进行化简。如,化简||XX52(必须进行讨论)我们把使绝对值符号内的代数式为0的未知数的值叫做界值,显然绝对值符号内代数式是X5,使X50的未知数的值是5,所以我们把5叫做此题的界值,确定了界值后,我们就把它分成三种情况进行讨论。(1)当X5时,则X50是一个正数,则它的绝对值应是它本身,所以原式XXX5235。(2)当X5时,则X50,而0的绝对值为0,所以原式022XX或||XX5202510。(3)当X5时,则X50,是一个负数,而负数的绝对值应是它的相反数,所以原式XXXXX52525。又如,化简||2612XYXY此题虽含有一个绝对值符号,但绝对值符号内出现了两个未知数,在这种情况下,我们把含有两个未知数的式子看作一个整体,即把2X+Y看作一个整体未知数,找出界值,使260XY的整体未知数的值是26XY,我们把6叫做此题的界值,这样又可分三种情况进行讨论。地址远大路世纪城远大园五区9号楼电话88594404(1)当26XY时,||2612XYXY2612526XYXYX(2)当26XY时||2612XYXY01212XYXY(3)当26XY时||2612XYXY261226123226XYXYXYXYXY二、含有两个绝对值符号的化简题1已知未知数的取值或取值范围,进行化简也应根据绝对值的意义直接化简。如当X5时,化简||||256XX解原式256XX25685XXX
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