2014高考百天仿真冲刺卷（理科数学试卷八）

第 1 页 共 10 页 2014 高考百天仿真冲刺卷 数 学 (理 ) 试 卷 （ 八 ） 第 卷 （ 选择题 共 40分） 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求 的一项 1已知全集 RU ， 21 xxA ， 0 xxB ，则 )( BACU A 20 xx B 0 xx C 1 xx D 1 xx 2 复数 ii11 A i B 1 C i D 1 3已知等比数列 na的公比为 2，且 531 aa，则 42 aa 的值为 A 10 B 15 C 20 D 25 4如图是一正方体被过棱的中点 M、 N和顶点 A、 D、 C1的两个截面 截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为 A B C D 5若 a (1,2, 3)， b (2,a 1,a231)， 则 “a 1” 是 “ a b ” 的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要 条件 6右图是计算函数2x , x 1y 0 , 1 x 2x , x 2 的值的程序框图，则 在 、 、 处应分别填入的是 A yx ， y0 ， 2yx B yx ， 2yx ， y0 C y0 ， 2yx ， yx D y0 ， yx ， 2yx 7 在极坐标系中，定点 1,2A ，动点 B 在直线 c o s s i n 0 上运动，当线段 AB 最短时，动点 B 的极坐标是 A )4,22( B )43,22( C )4,23( D )43,23( 8已知三棱锥 A BCO ， OA OB OC、 、 两两垂直且长度均为 6，长为 2的线段 MN 的一个端点 M 在 棱 OA 上运动，另一个端点 N 在 BCO 内运动（含边界），则 MN 的中点 P 的轨迹与三棱锥的面所围 开 始x输 入x1x2y输 出结 束 否是否是 第 2 页 共 10 页 成的几何体的体积为 A6 B6或636 C 366 D6或 366 第 卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分把答案填在题中横线上 9 命题： 0, 2 xRx 的否定是 10 函数 1co s2)( 2 xxf 的 最小正周期为 ； 单调 递 减区间为 11如图是甲、乙两班同学身高（单位： cm）数据的茎叶图，则甲班同学身高的中位数为 ； 若从乙班身高不低 于 170cm的同学中随机抽取两名，则身高为 173cm的同学被抽中的概率为 甲班 乙班 2 18 1 9 9 1 0 17 0 3 6 8 9 8 8 3 2 16 2 5 8 8 15 9 12已知 PA 是圆 O 的切线，切点为 A ， 2PA AC 是圆 O 的直径， PC 与圆 O 交于点 B ， 1PB ， 则圆 O 的半径 R 13已知抛物线 )0(22 ppxy 与 双曲线 12222 byax有相同的焦点 F ，点 A 是两曲线的 一个 交点，且AF x 轴，则双曲线的离心率为 14在某条件下的汽车测试中，驾驶员在一次加满油后的连续行驶过程中从汽车仪表盘得到如下信息： 时间 油耗（升 /100公里） 可继续行驶距离（公里） 10： 00 9.5 300 11： 00 9.6 220 注：加满油后已行驶距离 加满油后已用油量油耗 ，当前油耗汽车剩余油量可继续行驶距离 ， 指定时间内的行驶距离 指定时间内的用油量平均油耗 从以上信息可以推断在 10： 00 11： 00这一小时内 （填上所有正确判断的序号） 行驶了 80公里； 行驶不足 80 公里； 平均油耗超过 9.6升 /100公里； 平均油耗恰为 9.6升 /100公里； 平均车速超过 80 公里 /小时 三、解答题：本大题共 6小题，共 80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 第 3 页 共 10 页 15（本小题满分 13分） 在 ABC 中， cba 、 分别 为角 CBA 、 所对的三边，已知 2 2 2+cb a bc （ ）求角 A 的值； （ ）若 3a ， 3cos3C ，求 c 的长 16（本小题满分 14分） 如图，四棱锥 P ABCD 的底面为正方形，侧棱 PA 底面 ABCD ，且 2PA AD， ,E F H 分别是线段 ,PA PD AB 的中点 （ ）求证： PB /平面 EFH ； （ ）求证： PD 平面 AHF ； （ ）求二面角 H EF A的大小 17（ 本小题满分 13分） 为了参加广州亚运会，从四支较强的排球队中选出 18人组成女子排球国家队，队员来源人数如下表： 队别 北京 上海 天津 八一 人数 4 6 3 5 （ ）从这 18名队员中随机选出两名，求两人来自同一支队的概率； （ ）中国女排奋力拼搏，战胜韩国队获得冠军若要求选出两位队员代表发言，设其中来自北京队 的人数为 ，求随机变量 的分布列 ， 及数学期望 E 18（本题满分 13分） 第 4 页 共 10 页 已知函数 2( ) l nf x x a x b x （ 0x ，实数 a ， b 为常数） （ ）若 1, 1ab ，求 )(xf 在 1x 处的切线方程； （ ）若 2ab ，讨论函数 ()fx的单调性 19（本小题满分 14分） 已知点 )2,1(A 是离心率为22的椭圆 C ： )0(12222 baaybx上的一点斜率为 2 的 直线 BD 交椭圆 C 于 B 、 D 两点，且 A 、 B 、 D 三点不 重合 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ） ABD 的 面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？ （ ）求证：直线 AB 、 AD 的斜率之和为定值 20 (本小题满分 13分 ) 已知集合 ,321 naaaaA ， 其中 )2,1( nniRai， )(Al 表示和 )1( njiaaji 中所有不同值的个数 （）设 集合 8,6,4,2P ， 16,8,4,2Q ， 分别求 )(Pl 和 )(Ql ； （） 若集合 2,8,4,2 nA ，求证：2 )1()( nnAl； （） )(Al 是否存在最 小 值？若存在，求出这个最 小 值；若不存在，请说明理由？ 第 5 页 共 10 页 2013 高考百天仿真冲刺卷 数学 (理 )试卷（ 八 ）参考答案 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 二、 填空题： 本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 . 9. Rx , 02 x 10. ； )(2, Zkkk 11. 169；31 12. 3 13. 12 14. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 . 15（本小题满分 13分） 在 ABC 中， cba 、 分别 为角 CBA 、 所对的三边，已知 2 2 2+cb a bc （ ）求角 A 的值； （ ）若 3a ， 3cos3C ，求 c 的长 解：（ ） 2 2 2+cb a bc ， 2 2 2 1c o s22b c aA bc-4分 A0 3A -6分 （ ）在 ABC 中，3A， 3a ， 3cos3C 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C A B A B B D 第 6 页 共 10 页 2 16s i n 1 c o s 1 33CC -8分 由正弦定理知： ,s in s inaCAC ACac sinsin63263332 -12 分 362c -13分 16（本小题满分 14分） 如图，四棱锥 P ABCD 的底面为正方形，侧棱 PA 底面ABCD ，且 2PA AD， ,E F H 分别是线段 ,PA PD AB 的中 点 （ ）求证： PB /平面 EFH ； （ ）求证： PD 平面 AHF ； （ ）求二面角 H EF A的大小 解：建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz ， ( 0 , 0 , 0 ) , ( 2 , 0 , 0 ) , ( 2 , 2 , 0 ) , ( 0 , 2 , 0 )A B C D , )2,0,0(P ， )1,0,0(E ， )1,1,0(F ， (1,0,0)H -1分 （ ）证明： ( 2 , 0 , 2 )PB ， (1, 0 , 1)EH ， 2PB EH , PB 平面 EFH ，且 EH 平面 EFH ， PB /平面 EFH -5分 （ ）解： ( 0 , 2 , 2 )PD ， (1, 0, 0)AH ， (0,1,1)AF ， 0 0 2 1 ( 2 ) 1 0 ,0 1 2 0 ( 2 ) 0 0 .P D A FP D A H ,P D A F P D A H ， 又 A F A H A ， PD平面 AHF -9分 （ ）设平面 HEF 的法向量为 ),( zyxn , 因为 (0,1, 0)EF ， (1, 0 , 1)EH ， 则 0,0,n E F yn E H x z 取 ).1,0,1(n 又因为平面 AEF 的法向量为 ),0,0,1(m 所以 1 0 0 1 2c o s , ,2| | | | 2 1 2mnmnmn -12分 , 4 5 ,mn 所以二面角 H EF A的大小为 45 -14分 17（本小题满分 13分） 第 7 页 共 10 页 为了参加广州亚运会，从四支较强的排球队中选出 18人组成女子排球国家队，队员来源人数如下表： 队别 北京 上海 天津 八一 人数 4 6 3 5 () 从这 18 名队员中随机选出两名，求两人来自同一支队的概率； () 中国女排奋力拼搏，战胜韩国 队获得冠军若要求选出两位队员代表发言，设其中来自北京队的 人数为 ，求随机变量 的分布列 ， 及数学期望 E 解： ()“ 从这 18名队员中随机选出两名，两人来自于同一队 ” 记作事件 A， 则 22224 6 3 52182() 9CCCCPA C. -5分 () 的所有可能取值为 0， 1， 2. -2分 21421891( 0 ) 153CP C ， 114 1 421856( 1 ) 153CCP C ， 242186( 2 ) 153CP C ， 的分布列为： 0 1 2 P 91153 56153 6153 -10分 9 1 5 6 6 4( ) 0 1 21 5 3 1 5 3 1 5 3 9E . -13 分 18（本题满分 13分） 已知函数 2( ) l nf x x a x b x （ 0x ，实数 a ， b 为常数） （ ）若 1, 1ab ，求 )(xf 在 1x 处的切线方程； （ ）若 2ab ，讨论函数 ()fx的单调性 解：（ ）因为 1, 1ab ，所以函数 2( ) lnf x x x x ， 2)1( f 又 1( ) 2 1f x xx ， 2)1( f -2分 所以 )1(22 xy 即 )(xf 在 1x 处的切线方程为 02 yx -5分 （ ）因为 2ab ，所以 2( ) ( 2 ) l nf x x b x b x ，则 ( 2 ) ( 1 )( ) 2 ( 2 ) b x b xf x x bxx )0( x 令 ( ) 0fx ，得1 2bx ，2 1x -7分 （ 1）当 02b，即 0b 时，函数 ()fx的单调递减区间为 (0,1) ，单调递增区间为 (1, ) ； -8分 （ 2）当 012b，即 02b 时， )(xf ， )(xf 的变化情况如下表： x (0, )2b ( ,1)2b (1, ) ()fx ()fx 所以，函数 ()fx的单调递增区间为 (0, )2b， (1, ) ，单调递减区间为 ( ,1)2b； -9分 第 8 页 共 10 页 X Y O D B A （ 3）当 12b，即 2b 时，函数 ()fx的单调递增区间为 (0, ) ； -10分 （ 4）当 12b，即 2b 时， )(xf ， )(xf 的变化情况如下表： x (0,1) (1, )2b ( , )2b ()fx ()fx 所以函数 ()fx的单调递增区间为 (0,1) ， ( , )2b ，单调递减区间为 (1, )2b； -12分 综上，当 0b 时，函数 ()fx的单调递减区间为 (0,1) ，单调递增区间为 (1, ) ；当 02b 时，函数 ()fx的单调递增区间为 (0, )2b， (1, ) ，单调递减区间为 ( ,1)2b；当 2b 时，函数 ()fx 的单调递增区间为 (0, ) ；当 2b 时，函数 ()fx的单调递增区间为 (0,1) ， ( , )2b ，单调递减区间为(1, )2b -13分 19（本小题满分 14分） 已知点 )2,1(A 是离心率为22的椭圆 C ： )0(12222 baaybx上的一点斜率为 2 的 直线 BD 交椭圆 C 于 B 、 D 两点，且 A 、 B 、 D 三点不 重合 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ） ABD 的 面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？ （ ）求证：直线 AB 、 AD 的斜率之和为定值 解：（ ） ace 22， 12122 ab， 222 cba 2a ， 2b ， 2c 14222 yx -5分 （ ）设直线 BD的 方程为 bxy 2 42222 yxbxy 04224 22 bbxx 0648 2 b 2222 b ,2221 bxx - 4 4221 bxx - 22212 82 64 864343)2(1 bbxxBD ， 设 d 为点 A 到直线 BD： bxy 2 的距离， 3bd 2)8(4 221 22 bbdBDS ABD ，当且仅当 2b 时取等号 . 因为 2 )22,22( ， 所以当 2b 时， ABD 的面积最大，最大值为 2 -10 分 第 9 页 共 10 页 （ ）设 ),( 11 yxD ， ),( 22 yxB ， 直线 AB 、 AD 的斜率 分别为： ABk 、 ADk ，则 ABAD kk 1 221 221 21 222112211 x bxx bxxyxy = 1)( 222 2121 21 xxxx xxb -* 将（ ）中 、 式代入 *式整理得 1)( 222212121 xxxx xxb=0， 即 ABAD kk 0-14 分 20 (本小题满分 13分 ) 已知集合 ,321 naaaaA ， 其中 )2,1( nniRai， )(Al 表示和 )1( njiaaji 中所有不同值的个数 （）设 集合 8,6,4,2P ， 16,8,4,2Q ， 分别求 )(Pl 和 )(Ql ； （） 若集合 2,8,4,2 nA ，求证：2 )1()( nnAl； （） )(Al 是否存在最 小 值？若存在，求出这个最 小 值；若不存在，请说明理由？ 解：（ ）由 ,1486