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第 1 页 共 9 页 2014 高考百天仿真冲刺卷 数 学 (理 ) 试 卷 (一) 第 卷 ( 选择题 共 40分) 一、 选择题:本大题共 8 小题 ,每小题 5 分 ,共 40 分 .在每小题列出的四个选项中 ,选出符合题目要求的一项 . 1、已知集合 30 xxA R , 42 xxB R ,则 BA A. 32 xx B. 32 xx C. 322 xxx 或 D. R 2已知数列 na为等差数列,nS是它的前 n 项和 .若 21a , 123 S,则 4S A 10 B 16 C 20 D 24 3. 在极坐标系下,已知圆 C 的方程为 2cos ,则下列各点在圆 C 上的是 A1, 3 B 1,6 C 32,4 D 52,4 4执行如图所示的程序框图,若输出 x 的值为 23,则输入的 x 值为 A 0 B 1 C 2 D 11 5已知平面 l , m 是 内不同于 l 的直线,那么下列命题中 错误 的是 A若 /m ,则 lm/ B若 lm/ ,则 /m C若 m ,则 lm D若 lm ,则 m 6. 已知非零向量 ,abc 满足 a b c ,向量 ,ab的夹角为 120 ,且| | 2| |ba,则向量 a 与 c 的夹角 为 A 60 B 90 C 120 D 150 7.如果存在正整数 和实数 使得函数 )(co s)( 2 xxf ( , 为常数)的图象如图所示(图象经过点( 1,0),那么 的值为 A 1 B 2 C 3 D. 4 8已知抛物线 M : 2 4yx= ,圆 N : 222)1( ryx (其中 r 为常数, 0r ) .过点( 1, 0)的直线l 交圆 N 于 C 、 D两点,交抛物线 M 于 A 、 B 两点,且满足 BDAC 的直线 l 只有三条的必要条件是 A (0,1r B (1,2r C 3( , 4)2r D 3 , )2r 第 卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题 :本大题共 6小题 ,每小题 5分 ,共 30分 .把答案填在题中横线上 . 21xx是否3n1nnx输 入开 始1nx输 出结 束112yO x第 2 页 共 9 页 9复数 3i1i . 10.为了解本市居民的生活成本,甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查 .他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图(如图所示),记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为1s,2s,3s ,则它们的大小关系为 . (用“ ”连接) 11如图, A, B, C 是 O 上的三点, BE 切 O 于点 B, D 是 CE 与 O 的 交点 .若 70BAC ,则 CBE _ ;若 2BE , 4CE ,则CD . 12.已知平面区域 11,11|),( yxyxD ,在区域 D 内任取一 点,则取到的点位于直线 y kx ( kR )下方的概率为 _ . 13.若直线 l 被圆 22:2C x y所截的弦长不小于 2,则在下列曲线中: 22 xy 22( 1) 1xy 2 2 12x y 221xy 与直线 l 一定有公共点的曲线的序号是 . (写出你认为正确 的所有序号) 14如图,线段 AB =8,点 C 在线段 AB 上,且 AC =2, P 为线段 CB 上一动点,点 A 绕点 C 旋转后与点 B 绕点 P 旋转后重合于点 D .设 CP =x , CPD 的面积为 ()fx.则 ()fx的定义域为 ; ()fx的零点是 . 三、解答题 : 本大题共 6小题 ,共 80分 .解答应写出文字说明 , 演算步骤或证明过程 . 15. (本小题 共 13分) 在 ABC 中,内角 A、 B、 C所 对 的 边分别为 ,abc, 已知 1tan2B , 1tan3C , 且 1c . ( )求 tanA ; ( )求 ABC 的面积 . 16. (本小题 共 14分) 在如图的多面体中, EF 平面 AEB , AE EB , /AD EF , /EF BC , 24BC AD, 3EF , 2AE BE, G 是 BC 的中点 ACBODEA C P BDO 元频 率组 距0.00020.00040.00080.0006乙100015002000250030003500 O 元频 率组 距0.00020.00040.00080.0006丙100015002000250030003500元频 率组 距0.00020.00040.00080.0006甲100015002000250030003500第 3 页 共 9 页 ( ) 求证: /AB 平面 DEG ; ( ) 求证: BD EG ; ( ) 求二面角 C DF E的余弦值 . 17. (本小题 共 13分) 某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测,每一件一等品都能通过检测,每一件二等品通过检测的概率为 23.现有 10件产品,其中 6件是一等品, 4件是二等品 . ( ) 随机选取 1件产品,求能够通过检测的概率; ( ) 随机选取 3件产品,其中一等品的件数记为 X ,求 X 的分布列; ( ) 随机选取 3件产品,求这三件产品都不能通过检测的概率 . 18. (本小题 共 13分) 已知函数 ( ) lnf x x a x , 1( ) , ( R ) .ag x ax ()若 1a ,求函数 ()fx的极值; ()设函数 ( ) ( ) ( )h x f x g x,求函数 ()hx 的单调区间; () 若在 1,e ( e 2.718. )上存在一点0x,使得0()fx 0()gx成立,求 a 的取值范围 . A DFEB G C第 4 页 共 9 页 19. (本小题 共 14分) 已知椭圆 22:1xyCab ( 0)ab 经过点 3(1, ),2M其离心率为 12. ()求椭圆 C 的方程; ( )设直线 1: ( | | )2l y k x m k 与椭圆 C 相交于 A、 B两点,以线段 ,OAOB 为邻边作平行四边形OAPB,其中顶点 P在椭圆 C 上, O 为坐标原点 .求 OP 的取值范围 . 20. (本小题 共 13分) 已知每项均是正整数的数列 A :1 2 3, , , , na a a a,其中等于 i 的项有ik个 ( 1, 2, 3 )i , 设jj kkkb 21 ( 1, 2,3 )j ,12() mg m b b b n m ( 1, 2, 3 )m . ()设数列 :1, 2,1, 4A ,求 (1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) , ( 4 ) , ( 5 )g g g g g; ()若数列 A 满足12 100na a a n ,求函数 )(mg 的最小值 . 2013 高考百天仿真冲刺卷 数学 (理 )试 卷(一)参考答案 一、 选择题(本大题共 8小题 ,每小题 5分 ,共 40分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A C D B B D 二、填空题(本大题共 6小题 ,每小题 5分 . 共 30分 .有两空的题目,第一空 3分,第二空 2分) 9.12i 10. s1 s2 s3 11. 70 ; 3 12. 12 13. 14. (2,4); 3 三、解答题 (本大题共 6小题 ,共 80分 ) 15.(共 13分) 第 5 页 共 9 页 解:( I) 因为 1tan2B , 1tan3C , t a n t a nt a n ( )1 t a n t a nBCBC BC , 1分 代入得到,1123t a n ( ) 111123BC . 3分 因为 180A B C , 4分 所以 t a n t a n ( 1 8 0 ( ) ) t a n ( ) 1A B C B C . 5分 ( II)因为 0 180A ,由 ( I) 结论可得: 135A . 7分 因为 11t a n t a n 023BC , 所以 0 9 0CB . 8分 所以 5sin ,5B 10sin 10C . 9分 由sin sinacAC得 5a , 11 分 所以 ABC 的面积为: 11sin22ac B . 13 分 16. (共 14 分) 解: ( )证明: / / , / /A D E F E F B C, /AD BC . 又 2BC AD ,G 是 BC 的中点, /AD BG , 四边形 ADGB 是平行四边形, /AB DG . 2分 AB 平面 DEG , DG 平面 DEG , /AB 平面 DEG . 4分 ( ) 解法 1 证明: EF 平面 AEB , AE 平面 AEB , EF AE , 又 ,A E E B E B E F E, ,B EF 平面 BCFE , AE 平面 BCFE . 5分 过 D 作 /DH AE 交 EF 于 H ,则 DH 平面 BCFE . EG 平面 BCFE , DH EG . 6分 / / , / /A D E F D H A E, 四边形 AEHD 平行四边形, 2EH AD, 2EH BG,又 / / ,E H B G E H B E, 四边形 BGHE 为正方形, BH EG , 7分 又 ,B H D H H B H平面 BHD , DH 平面 BHD , EG 平面 BHD . 8分 BD 平面 BHD , BD EG . 9分 解法 2 EF 平面 AEB , AE 平面 AEB , BE 平面 AEB ,EF AE , EF BE , 又 AE EB , ,EB EF EA 两两垂直 . 5分 以点 E为坐标原点, ,EB EF EA 分别为 ,xyz 轴建立如图的空间直HA DFEB G CxzyA DFEB G C第 6 页 共 9 页 角坐标系 . 由已知得, A ( 0, 0, 2), B ( 2, 0, 0), C ( 2, 4, 0), F ( 0, 3, 0), D ( 0, 2, 2), G ( 2, 2, 0) . 6分 (2, 2, 0)EG , ( 2, 2, 2 )BD , 7分 2 2 2 2 0B D E G , 8分 BD EG . 9分 ( )由已知得 (2, 0, 0)EB 是平面 EFDA 的法向量 . 10分 设平面 DCF 的法向量为 ( , , )x y zn , ( 0 , 1 , 2 ) , ( 2 , 1 , 0 )F D F C , 00FD nFC n ,即 2020yzxy ,令 1z ,得 ( 1, 2,1)n . 12分 设二面角 C DF E的大小为 , 则 26c o s c o s ,626EB n , 13分 二面角 C DF E的余弦值 为 6.6 14 分 17. (共 13 分) 解: ( )设随机选取一件产品,能够通过检测的事件为 A 1分 事件 A 等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” 2分 151332104106)( Ap 4分 ( ) 由题可知 X 可能取值为 0,1,2,3. 30463101( 0 )30CCPXC , 21463103( 1 )10CCPXC , 12463101( 2 )2CCPXC , 03463101( 3 )6CCPXC . 8分 9分 ( )设随机选取 3件产品都不能通过检测的事件为 B 10 分 事件 B 等于事件“随机选取 3件产品都是二等品且都不能通过检测” 所以, 31 1 1( ) ( )3 0 3 8 1 0PB . 13分 18. (共 13 分) 解:() ()fx的定义域为 (0, ) , 1分 当 1a 时, ( ) lnf x x x , 11( ) 1 xfxxx , 2分 3分 所以 ()fx在 1x 处取得极小值 1. 4分 X 0 1 2 3 P 301 103 21 61 x (0,1) 1 (1, ) ()fx 0 + ()fx 极小 第 7 页 共 9 页 () 1( ) l nah x x a xx , 22 2 21 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) 1 a a x a x a x x ahx x x x x 6分 当 10a 时,即 1a 时,在 (0,1 )a 上 ( ) 0hx ,在 (1 , )a 上 ( ) 0hx , 所以 ()hx 在 (0,1 )a 上单调递减,在 (1 , )a 上单调递增; 7分 当 10a ,即 1a 时,在 (0, ) 上 ( ) 0hx , 所以,函数 ()hx 在 (0, ) 上单调递增 . 8分 ( III)在 1,e 上存在一点0x,使得0()fx 0()gx成立,即 在 1,e 上存在一点0x,使得0( ) 0hx,即 函数 1( ) l nah x x a xx 在 1,e 上的最小值小于零 . 9分 由()可知 即 1ea,即 e1a时, ()hx 在 1,e 上单调递减, 所以 ()hx 的最小值为 (e)h ,由 1( e ) e 0e aha 可得 2e1e1a , 因为 2e1e1e1 ,所以 2e1e1a ; 10分 当 11a,即 0a 时, ()hx 在 1,e 上单调递增, 所以 ()hx 最小值为 (1)h ,由 (1) 1 1 0ha 可得 2a ; 11分 当 1 1 ea ,即 0 e 1a 时, 可得 ()hx 最小值为 (1 )ha , 因为 0 ln (1 ) 1a ,所以, 0 ln (1 )a a a 故 (1 ) 2 l n (1 ) 2h a a a a 此时, (1 ) 0ha不成立 . 12分 综上讨论可得所求 a 的范围是: 2e1e1a 或 2a . 13 分 19. (共 14 分) 解:()由已知可得 222214abe a,所以 2234ab 1分 又点 3(1, )2M在椭圆 C 上,所以221914ab 2分 由解之,得 224, 3ab. 故椭圆 C 的方程为 22143xy. 5分 ( ) 当 0k 时, (0,2 )Pm在椭圆 C 上,解得 32m,所以 | | 3OP . 6分 当 0k 时,则由22,1.43y kx mxy 消 y 化简整理得: 2 2 2( 3 4 ) 8 4 1 2 0k x k m x m , 2 2 2 2 2 26 4 4 ( 3 4 ) ( 4 1 2 ) 4 8 ( 3 4 ) 0k m k m k m 8分 设 ,ABP 点的坐标分别为1 1 2 2 0 0( , ) ( , ) ( , )x y x y x y、 、,则 第 8 页 共 9 页 0 1 2 0 1 2 1 22286, ( ) 23 4 3 4k m mx x x y y y k x x mkk . 9分 由于点 P 在椭圆 C 上,所以 2200143xy. 10分 从而 2 2 22 2 2 21 6 1 2 1( 3 4 ) ( 3 4 )k m mkk,化简得 224 3 4mk ,经检验满足式 . 11分 又 2 2 22200 2 2 2 26 4 3 6|( 3 4 ) ( 3 4 )k m mO P x ykk 2 2 22 2 24 (1 6 9 ) 1 6 9( 3 4 ) 4 3m k kkk 234.43k 12分 因为 102k,得 23 4 3 4k ,有23314 4 3k , 故 1332OP. 13 分 综上,所求 OP 的取值范围是 13 3, 2. 14分 ( )另解:设 ,ABP 点的坐标分别为1 1 2 2 0 0( , ) ( , ) ( , )x y x y x y、 、, 由 ,AB在椭圆上,可得 2211223 4 1 23 4 1 2xy 6分 整理得1 2 1 2 1 2 1 23 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 0x x x x y y y y 7分 由已知可得 O P O A O B,所以 1 2 01 2 0x x xy y y 8分 由已知当1212yyk xx ,即 1 2 1 2()y y k x x 9分 把 代入 整理得0034x ky 10分 与 22003 4 1 2xy联立消0x整理得 20 2943y k 11 分 由 22003 4 1 2xy得 220044 3xy, 所以 2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 24 1 3| | 4 4 43 3 4 3O P x y y y y k 12分 因为 12k ,得 23 4 3 4k ,有23314 4 3k , 故 1332OP. 13 分 所求 OP 的取值范围是 13 3, 2. 14 分 20. (共 13 分) 解:( 1)根据题设中有关字母的定义, 1 2 3 42 , 1

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