2013年全国高考试题分类汇编： 圆锥曲线的综合问题

10.5 圆锥曲线的综合问题 考点一 定点与定值问题 1.(2013 北京 ,19,14 分 )直线 y=kx+m(m0) 与椭圆 W:+y2=1 相交于 A,C 两点 ,O 是坐标原点 . (1)当点 B 的坐标为 (0,1),且四边形 OABC 为菱形时 ,求 AC 的长 ； (2)当点 B在 W 上且不是 W 的顶点时 ,证明 :四边形 OABC 不可能为菱形 . 解析 (1)因为四边形 OABC 为菱形 ,所以 AC 与 OB 相互垂直平分 . 所以可设 A,代入椭圆方程得 +=1,即 t=. 所以 |AC|=2. (2)假设四边形 OABC 为菱形 . 因为点 B 不是 W 的顶点 ,且 ACO B,所以 k0. 由消 y 并整理得 (1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0. 设 A(x1,y1),C(x2,y2),则 =-,=k+m=. 所以 AC 的中点为 M. 因为 M 为 AC 和 OB 的交点 ,且 m0,k 0,所以直线 OB 的斜率为 -. 因为 k -1,所以 AC 与 OB 不垂直 . 所以 OABC 不是菱形 ,与假设矛盾 . 所以当点 B 不是 W 的顶点时 ,四边形 OABC 不可能是菱形 . 2.(2013 安徽 ,21,13 分 )已知椭圆 C:+=1(ab0)的焦距为 4,且过点 P(,). (1)求椭圆 C 的方程 ； (2)设 Q(x0,y0)(x0y00) 为椭圆 C上一点 .过点 Q作 x轴的垂线 ,垂足为 E.取点 A(0,2),连结 AE.过点 A作 AE的垂线交 x 轴于点 D.点 G 是点 D 关于 y 轴的对称点 ,作直线 QG.问这样作出的直线 QG 是否与椭圆 C 一定有唯一的公共点 ?并说明理由 . 解析 (1)因为焦距为 4,所以 a2-b2=4.又因为椭圆 C 过点 P(,),所以 +=1,故 a2=8,b2=4,从而椭圆 C 的方程为 +=1. (2)由题意 ,E 点坐标为 (x0,0),设 D(xD,0),则 =(x0,-2),=(xD,-2), 再由 ADAE 知 ,=0, 即 x0xD+8=0. 由于 x0y0 0,故 xD=-. 因为点 G 是点 D 关于 y 轴 的对称点 ,所以点 G. 故直线 QG的斜率 kQG=. 又因 Q(x0,y0)在椭圆 C 上 ,所以 +2=8. 从而 kQG=-. 故直线 QG 的方程为 y=-. 将 代入椭圆 C 的方程 ,得 (+2)x2-16x0x+64-16=0. 再将 代入 , 化简得 x2-2x0x+=0. 解得 x=x0,y=y0,即直线 QG 与椭圆 C 一定有唯一的公共点 . 考点二 参变量的取值范围与最值问题 3.(2013湖北 ,22,14分 )如图 ,已知椭圆 C1与 C2的中心在坐标原点 O,长轴均为 MN且在 x轴上 ,短轴长分别为2m,2n(mn),过原点且不与 x 轴重合的直线 l 与 C1,C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为 A,B,C,D.记=,BDM 和 ABN 的面积分别为 S1和 S2. (1)当直线 l与 y 轴重合时 ,若 S1=S 2,求 的值 ； (2)当 变化时 ,是否存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1=S 2?并说明理由 . 解析 依题意可设椭圆 C1和 C2的方程分别为 C1:+=1,C2:+=1.其中 amn0,=1. (1)解法一 :如图 1,若直线 l 与 y 轴重合 ,即直线 l 的方程为 x=0,则S1=|BD|OM|=a|BD|,S 2=|AB|ON|=a|AB|, 所以 =. 在 C1和 C2的方程中分别令 x=0,可得 yA=m,yB=n,yD=-m, 所以 =. 若 =, 即 =, 化简得 2-2 -1=0.由 1, 解得 =+1. 故当直线 l 与 y 轴重合时 ,若 S1=S 2,则 =+1. 解法二 :如图 1,若直线 l 与 y轴重合 ,则 |BD|=|OB|+|OD|=m+n,|AB|=|OA|-|OB|=m-n； S1=|BD|OM|= a|BD|, S2=|AB|ON|= a|AB|. 所以 =. 若 =, 即 =, 化简得 2-2 -1=0.由 1, 解得 =+1. 故当直线 l 与 y 轴重合时 ,若 S1=S 2,则 =+1. (2)解法一 :如图 2,若存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1=S 2.根 据对称性 ,不妨设直线 l:y=kx(k0), 点 M(-a,0),N(a,0)到直线 l 的距离分别为 d1,d2. 因为 d1=,d2=, 所以 d1=d2. 又因为 S1=|BD|d1,S2=|AB|d2,所以 =, 即 |BD|=|AB|. 由对称性可知 |AB|=|CD|, 所以 |BC|=|BD|-|AB|=( -1)|AB|, |AD|=|BD|+|AB|=(+1)|AB|, 所以 =. 将 l 的方程分别与 C1,C2的方程联立 ,可求得 xA=,xB=. 根据对称性可知 xC=-xB,xD=-xA, 所以 = =. 从而由 可得 =. 令 t=,则由 mn,可得 t1, 所以由 解得 k2=. 因为 k0, 所以 k20.所以 式关于 k 有解 ,当且仅当 0,等价于 (t2-1)1, 解得 t1, 即 1, 解得 1+, 所以 当 11+ 时 ,存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1=S 2. 解法二 :如图 2,若存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1=S 2.根据对称性 ,不妨设直线 l:y=kx(k0), 点 M(-a,0),N(a,0)到直线 l 的距离分别为 d1,d2, 因为 d1=,d2=,所以 d1=d2. 又 S1=|BD|d1,S2=|AB|d2,所以 =. 因为 =, 所以 =. 由点 A(xA,kxA),B(xB,kx