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经济数学基础 12 期末复习资料 一、 单项选择题 1下列函数中为偶函数的是( ) (A) siny x x (B) 2y x x (C) 22xxy (D) cosy x x 正确答案: A 2下列函数中为奇函数的是( ) (A) siny x x (B) 1ln1xy x(C) eexxy (D) 2y x x 正确答案: B 3下列各函数对中,( )中的两个函数相等 A. 2( ) ( ) , ( )f x x g x x B. 2 1( ) , ( ) 11xf x g x xxC. 2( ) l n , ( ) 2 l nf x x g x x D. 22( ) s i n c o s , ( ) 1f x x x g x 正确答案: D 4下列结论中正确的是( ) (A) 周期函数都是有界函数 (B) 基本初等函数都是单调函数 (C) 奇函数的图形关于坐标原点对称 (D) 偶函数的图形关于坐标原点对称 正确答案: C 5下列极限存在的是( ) A 22lim 1xxx B01lim 21xx C limsinx xD 10limexx正确答案: A 6已知 ( ) 1s inxfx x,当( )时, )(xf 为无穷小量 A. 0x B. 1x C. x D. x 正确答案: A 7当 x 时,下列变量为无穷小量的是( ) A ln(1 )x B 21xxC 21ex Dxxsin正确答案: D 8函数 1 1 2 ,0(),0x xfx xkx 在 x = 0 处连续,则 k = ( ) A -2 B -1 C 1 D 2 正确 答案: B 9.曲线 sinyx在点 )0,( 处的切线斜率是( ) (A) 1 (B) 2 (C) 21(D) 1 正确答案: D 10曲线 11y x在点( 0, 1)处的切线斜率为 ( )。 A21B 12C312 ( 1)xD312 ( 1)x正确答案: B 11 若 ( ) cos 2f x x ,则 ()2f ( ) A 0 B 1 C 4 D -4 正确 答案: C 12 下 列函数在 区间 ( , ) 上单调减少的是 ( ) (A) xcos (B) 2 x (C) x2 (D) 2x 正确答案: B 13 下列结论正确的是 ( ) (A) 若0( ) 0fx ,则0x必是 )(xf 的极值点 (B) 使 ()fx 不存在的点0x,一定是 )(xf 的极值点 (C) 0x是 )(xf 的极值点,且0()fx存在,则必有0( ) 0fx (D) 0x是 )(xf 的极值点,则0x必是 )(xf 的驻点 正确答案: C 14 设某商品的需求函数为 2( ) 10e pqp ,则当6p 时,需求弹性为( ) A 35e B 3 C 3 D 12正确 答案: B 15若函数 1() xfxx, ( ) 1 ,g x x 则 ( 2)fg ( ) A -2 B -1 C -1.5 D 1.5 正确答案: A 16函数 1ln( 1)y x的连续区间是( ) A 1 2 2 ( , ) ( , ) B 1 2 2 , ) ( , ) C 1( , ) D 1, ) 正确答案: A 17设 ln( ) d xf x x cx,则 )(xf =( ) A xlnln BxxlnC21 lnxx D x2ln 正确答案: C 18下列积分值为 0 的是( ) A- sin dx x xB 1-1eed2xxx C 1-1eed2xxx D ( c o s ) dx x x 正确答案: C 19 若 )(xF 是 )(xf 的一个原函数,则下列等式成立的是 ( ) A ( ) d ( )xa f x x F xB ( ) d ( ) ( )xa f x x F x F aC ( ) d ( ) ( )ba F x x f b f aD ( ) d ( ) ( )ba f x x F b F a 正确答案: B 20.设 (1 2)A , ( 1 3)B , I 是单位矩阵,则TA B I ( ) A 2325B 1236C 1326D 2235正确答案: A 21.设 BA, 为同阶方阵,则下列命题正确的是( ) . A.若 AB O ,则必有 AO或 BO B.若 AB O ,则必 有 AO , BO C.若秩 ()AO ,秩 ()BO ,则秩 ()AB O D. 1 1 1()A B A B 正确答案: B 22当条件( )成立时 ,n元线性方程组 AX b有解 A. ()r A n B. ()r A n C. ()r A n D. bO 正确答案: D 23.设线性方程组 AX b 有惟一解,则相应的齐次方程组 AX O ( ) A无解 B只有 0 解 C有非0 解 D解不能确定 正确答案: B 24. 设线性方程组 AX b 的增广矩阵为 1 3 2 1 40 1 1 2 60 1 1 2 60 2 2 4 1 2,则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为( ) A 1 B 2 C 3 D 4 正确答案: B 25. 若线性方程组的增广矩阵为 112 6 0A ,则当 ( )时线性方程组无解 (A) 3 (B) 3 (C) 1 (D) 1 正确答案: A 26. 设 0 4 51 2 3006A,则 ()rA ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 正确答案: D 27.设线性 方程组mnA X b 有无穷多解的充分必要条件是( ) A ( ) ( )r A r A m B ( ) ( )r A r A n C mn D ()r A n 正确答案: B 28设线性方程组 AX b 有唯一解,则相应的齐次方程组 AX O ( ) A只 有零解 B有非零解 C无解 D解不能确定 正确答案: A 29.设 A 为 23 矩阵, B 为 32 矩阵,则下列运算中( )可以进行 A AB B ABT C A+B D BAT 正确答案: A 30. 设 是可逆矩阵,且 A AB I ,则 1A ( ) . A B 1 B C IB D 1()I AB 正确答案: C 31.设需求量 q对价格 p的函数为 ( ) 3 2q p p ,则需求弹性为 Ep=( )。 A32ppB. 32ppC. 32ppD. 32pp正确答案: D 32.在无穷积分中收敛的是( ) A. 0 xe dxB. 1 31 dxxC. 211 dxx D. 0 sin xdx 正确答案: C 33. 设 A为 3 4矩阵 ,B为 5 2矩阵 ,且乘积矩阵TTAC B 有意义 ,则 C为 ( )矩阵 . A.4 2 B. 2 4 C. 3 5 D. 5 3 正确答案: B 34. 线性方程组 12122123xxxx的解的情况是( ) A.无解 B.只有 0解 C.有唯一解 D.有无穷多解 正确答案: A 二、填空题 1 函数 24ln( 1)xyx的定义域是 正确答案: ( 1,2 2函数 2 141yx x的定义域是 . 正 确答案: 2 , 1) ( 1 , 2 U 3 若函数 2( 1 ) 2 6f x x x,则 ()fx 正确答案: 2 5x 4设 1 0 1 0()2xxfx ,则函数的图形关于 对称 正确答案: y 轴 5已知需求函数为 20 233qp,则收入函数)(qR = . 正确答案: 23102qq6 sinlimxxxx 正确答案: 1 7 已知 2 1 0() 10x xfx xax ,若 )(xf 在( , ) 内连续,则 a 正确答案: 2 8 曲线 2( ) 1f x x 在 )2,1( 处的切线斜率是 正确答案:219过曲线 2e xy 上的一点( 0, 1)的切线方程为 . 正确答案: 21yx 10 函数 3( 2)yx 的驻点是 正确答案: 2x 11 设 1 2 32 5 130Aa,当 a 时,是对称矩阵 正确答案: 1 12已知 ta n( ) 1 xfxx,当 时,)(xf 为无穷小量 正确答案: 0x 13 齐次线性方程组 0AX ( A 是 nm )只有零解的充分必要条件是 正确答案: ()r A n 14若 ( ) d ( )f x x F x c ,则 e (e )dxxfx = . 正确答案: (e )xFc 15 0 3edx x= 正确答案:3116 设线性方程组 AX b ,且 1 1 1 60 1 3 20 0 1 0At,则 _t 时,方程组有唯一解 正确答案: 1 17设齐次线性方程组11m n n mA X O ,且 )(Ar = r n,则其一般解中的自由未知量的个数等于 正确答案: n r 18线性方程组 AX b 的增广矩阵A化成阶梯形矩阵后为 1 2 0 1 00 4 2 1 10 0 0 0 1Ad则当d= 时,方程组 AX b 有无穷多解 . 正确答案: -1 19. 已知齐次线性方程组 AX O 中 A 为 53 矩阵,则 ()rA 正确答案: 3 20.函数 11 xfx e 的间断点是 正确答案: 0x 21.若 222xf x d x x C ,则 fx 正确答案: 2 ln 2 4x x 三、微积分计算题 1已知 22 sinx x ,求 y 解:由导数运算法则和复合函数求导法则得 2 2 2( 2 s i n ) ( 2 ) s i n 2 ( s i n )x x xy x x x 2 2 22 l n 2 s i n 2 c o s ( )xxx x x 222 l n 2 s i n 2 2 c o sxxx x x 2设 2c o s 2 s i nxyx,求 y 解; 2s i n 2 2 l n 2 2 c o sxxy x x 3设 23ln e xyx,求 y 解:由导数运算法则和复合函数求导法则得 23( l n ) ( e )xyx 32 ln 3e xxx 4设 s ine ta nxyx,求 yd 解:由导数运算法则和复合函数求导法则得 s i nd d ( e t a n )xyx s i nd ( e ) d ( t a n )x x s i n21e d ( s i n ) dc o sx xxx s i n21e c o s d dc o sx x x xx s i n 21( e c o s ) dc o sx xxx 5 2e01 d1 ln xxx解: 2e11 d1 ln xxx= 2e11 d ( 1 l n )1 l n xx = 2e12 1 ln x=2( 3 1) 6计算21sindx xx 解 21s i n1 1 1d s i n d ( ) c o sx xcx x x x 7计算 2dx xx解 2 d 22 2 d ( ) 2l n 2x xxx xcx 8计算 sin dx x x 解 s i n d c o s c o s d c o s s i nx x x x x x x x x x c 9计算 ( 1) ln dx x x 解 ( 1) ln dx x x = 221 1 ( 1 )( 1 ) l n d22 xx x xx = 221 ( 2 ) l n24xx x x x c 10计算 1221e dx xx解 1221e dx xx= 211 1221 11e d ( ) e e exxx 11 2e11 d1 ln xxx解 2e11 d1 ln xxx= 2e11 d ( 1 l n )1 l n xx = 2e12 1 ln x= 2( 3 1) 12 20 cos 2 dx x x解: 20 cos 2 dx x x = 201 sin 22 xx -201 sin 2 d2 xx = 201 cos 24 x =12 13 e10 ln ( 1)dxx e 1 e 1e1000l n ( 1 ) d l n ( 1 ) d1xx x x x xx = e101e 1 (1 )d1 xx = e10e 1 l n ( 1 ) xx eln =1 四、代数计算题 1设矩阵 1 1 0 11 2 1 , 22 2 3 5AB ,求 1AB 解:因为 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 01 2 1 0 1 0 0 1 1 1 1 02 2 3 0 0 1 0 4 3 2 0 1 1 1 0 1 0 00 1 1 1 1 00 0 1 6 4 11 1 0 1 0 00 1 0 5 3 10 0 1 6 4 1 1 0 0 4 3 10 1 0 5 3 10 0 1 6 4 1 即 1 4 3 15 3 16 4 1A 所以 1 4 3 1 1 55 3 1 2 66 4 1 5 9AB 2 设矩阵 0 1 32273 4 8A ,I是 3 阶单位矩阵,求1()IA 解:由矩阵减法运算得 1 0 0 0 1 3 1 1 30 1 0 2 2 7 2 3 70 0 1 3 4 8 3 4 9IA 利用初等行变换得 1 1 3 1 0 0 1 1 3 1 0 02 3 7 0 1 0 0 1 1 2 1 03 4 9 0 0 1 0 1 0 3 0 1 1 1 3 1 0 0 1 1 0 2 3 30 1 1 2 1 0 0 1 0 3 0 10 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 3 20 1 0 3 0 10 0 1 1 1 1即 11 3 2( ) 3 0 11 1 1IA 3. 设矩阵 A = 1 0 21 2 0, B = 631241,计算 (AB)-1 解 因为 AB = 1 0 21 2 0631241= 2141(AB I ) = 2 1 1 0 2 1 1 04 1 0 1 0 1 2 1 112 0 1 1 10220 1 2 10 1 2 1 所以 (AB)-1= 1122214.解矩阵方程 2 3 13 4 2X 。 解:由 2 3 13 4 2X ,得 12 3 13 4 2X 2 3 1 0 1 1 1 13 4 0 1 3 4 0 11 1 1 1 1 0 4 30 1 3 1 0 1 3 3 所以, 12 3 1 4 3 1 23 4 2 3 2 2 1X 5求线性方程组 1 3 41 2 3 41 2 3 4203 2 02 5 3 0x x xx x x xx x x x 的一般解 解:因为系数矩阵 1 0 2 1 1 0 2 11 1 3 2 0 1 1 12 1 5 3 0 1 1 1A 1 0 2 10 1 1 10 0 0 0所以一般解为 1 3 42 3 42x x xx x x (其中3x, 4x 是自由元) 6当 取何值时,线性方程组 1 2 31 2 31312451x x xx x xxx 有解?并求一般解 解 因为增广矩阵 1 1 1 12 1 41 0 5 1A 1 1 1 10 1 6 20 1 6 2 1 0 5 10 1 6 20 0 0 所以,当 =0 时,线性方程组有无穷多解,且一般解为: 13235162xx (x3 是自由未知量 五、应用题 1 投产某产品的固定成本为 36(万元),且边际成本为 ( ) 2 4 0C x x (万元 /百台)。试求产量由 4 百台增至 6 百台 时总成本的增量,及产量多少时,可使平均成本达到最低? :解 当产量由 4 百台增至 6 百台时,总成本的增量为 6 26 44( ) ( 2 4 0 ) 4 0 1 0 0C x x d x x x (万元) 又200 () 4 0 3 6 3 6( ) 4 0x C x d x c xxC x xx x x 令236( ) 1 0Cx x ,解得 6x 。 2已知某产品的边际成本 ( ) 4 3C q q (万元 /百台), q 为产量(百台),固定成本为 18(万元),求最低平均成本 解:总得成本函数为 2( ) d ( 4 3 ) d 2 3 1 8C C q q q q q q 平均成本函数为 ( ) 1 823CqCqqq2182C q ,令21820C q ,解得 3x (百台) 因为平均成本存在最小值,且驻点唯一,所以,当产量为 300 台时,可使平均成本达到最低。 最低平均 成本为 18( 3 ) 2 3 3 93C (万元 /百台) 3生产某产品的边际成本为 ( ) 8C x x (万元 /百台 ),边际收入为 ( ) 1 0 0 2R x x (万元 /百台),其中 x为产量,问 (1) 产量为多少时,利润最大? (2) 从利润最大时的产量再生产 2 百台,利润有什么变化? 解 ( 1)边际利润函数为 ( ) ( ) ( )L x R x C x ( 1 0 0 2 ) 8 1 0 0 1 0x x x 令 ( ) 0Lx 得 10x (百台) 又 10x 是 Lx( ) 的唯一驻点,根据问题的实际意义可知 Lx( ) 存在最大值,故 10x 是 Lx( ) 的最大值点,即当产量为 10(百台)时,利润最大 ( 2)利润函数 1 2 1 21 0 1 0( ) d ( 1 0 0 1 0 ) dL L x x x x 2 1 210(1 0 0 5 ) 2 0xx 即从 利润最大时的产量再生产 2 百台,利润将减少 20 万元 4已知某产品的边际成本 2C (元 /件),固定成本为 0,边际收益 1 2 0 .0 2R x x 。问产量为多少时利润最大?在最大利润产量的基础上再生产 50 件,利润将会发生什么变化? 解:因为边际利润 1 2 0 . 0 2 2 1 0 0 . 0 2L x R x C x x x 令 0Lx ,得 500x 。 500x 是唯一驻点,而该问题确实存在最大值。所以,当产量为 500 件时,利润最大。 当产量由 500 件增加至 550 件时,利润改变量为 550 2 5 5 0500500 1 0 0 . 0 2 1 0 0 . 0 15 0 0 5 2 5 2 5L x d x x x 即利润将减少 25 元。 5.设生产某产品的总成本函数为 ( ) 3C x x (万元 ),其中 x 为产量,单位:百吨销售 x 百吨时的边际收入为 ( ) 1 5 2R x x (万元 /百吨),求: (1) 利润最大时的产量; (2) 在利润最大时的产量的 基础上再生产 1 百吨,利润会发生什么变化? 解: (1) 因为边际成本为 ( ) 1Cx ,边际利润( ) ( ) ( ) 1 4 2L x R x C x x 令 ( ) 0Lx ,得 7x 由该题实际意义可知, 7x 为利润函数 ()Lx 的极大值点,也是最大值点 . 因此,当产量为 7 百吨时利润最大 . (2) 当产量由 7 百吨增加至 8 百吨时,利润改变量为 8 8277 (1 4 2 ) d (1 4 )1 1 2 6 4 9 8 4 9 1L x x x x (万元) 即当产量由 7 百吨增加至 8 百吨时,利润将减少 1 万元。 6设生 产某种产品 x 个单位时的成本函数为:2( ) 1 0 0 6C x x x(万元) ,求: 当 10x 时的总成本和平均成本; 当产量 x 为多少时,平均成本最小? 解: 因为总成本、平均成本和边际成本分别为: 2( ) 1 0 0 6C x x x 100( ) 6C x xx , 所以, 2(1 0 ) 1 0 0 1 1 0 6 1 0 2 6 0C 100( 1 0 ) 1 1 0 6 2 610C , 2100( ) 1Cx x 令 ( ) 0Cx ,得 10x ( 10x 舍去),可以验证 10x 是 ()Cx的最小值点,所以当 10x 时,平均成本最小。 7.某厂每天生产某种产品q件的成本函数为2( ) 0 . 5 3 6 9 8 0 0C q q q(元) .为使平均成本最低,每天产量应为多少?此时,每件产品平均成 本为多少? 解:因为 Cq( )=Cq( )= 98000 .5 3 6qq( 0q ) ()Cq = 9800( 0 . 5 3 6 )qq=298000.5 q 令 ()Cq =0,即298000.5 q =0,得1=140, 2= -140(舍去)。 q1=140 是Cq( )在其定义域内的唯一驻点,且该问题确实存在 最小值 。 所以q1=140 是平均成本函数Cq( )的最小值点,即为使平均成本最低,每天产量应为 140 件 . 此时的平均成本为 C( )= 98000 . 5 1 4 0 3 6140 =176 (元 /件) 8已知某产品的销售价格p(单位:元件)是销量q(单位:件)的函数 4002qp,而总成本为( ) 1 0 0 1 5 0 0C q q (单位:元),假设生产的产品全部售出,求产量为多少时,利润最大?最大利润是多少? 解: 由已知条件可得收入函数 2( ) 4 0 02qR q p q q利润函数 2( ) ( ) ( ) 4 0 0 ( 1 0 0 1 5 0 0 )2qL q R q C q q q23 0 0 1 5 0 02qq求导得 ( ) 3 0 0L q q 令 ( ) 0Lq 得 300q ,它是唯一的极大值点,因此是最大值点 此时最大利润为 2300( 3 0 0 ) 3 0 0 3 0 0 1 5 0 0 4 3 5 0 02L 即产量为 300 件时利润最大最大利润是 43500 元 9. 设生 产某种产品 x 个单位时的成本函数为

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