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物理学中的群论,绪论1.1 群的定义1.2 子群和陪集1.3 共轭元和类1.4 正规子群和商群1.5同构、同态和直积群,绪论,群论的主要研究内容对称性,日常生活中说的对称性,是指物体各部分之间的比例适当、平衡、协调一致,从而产生一种简单性和的美感。这种美来源于几何对称性,来源于群体与个体的有机结合。,生物学中的对称性,建筑艺术中的对称性,物理学中的对称性,物理学中的对称性是物质结构的对称性以及物理定律的内在对称性。,物质结构对称性,如下面某结构,若不考虑其分子平面的对称性,可将其看成具有正三角形的对称性。,如右图所示的正三角形,绕A,B,C轴旋转180度,及绕Z轴转120度和240度构成了其所有对称操作,形成的群称为D3群。,Noether定理:一个物理系统,每具有一种对称性,就相应的有一种守恒量。比如说,三维空间的平移对称性对应了动量守恒,旋转对称性对应了较动量守恒,等等。,群论主要用来研究这种物理体系的对称性。,物理定律的对称性指系统的运动方程在某种变换下的不变性,如运动方程在某种变换的不变性和时空结构的对称性。,1 空间平移不变性2 转动不变性3时间平移对称4时空结构对称性,Noether定理:一个物理系统,每具有一种对称性,就相应的有一种守恒量。,7,群论有近二百年历史,是代数学的一个分支。群论的主要来源是代数方程、数论和几何学。,群论由伽罗瓦(Galois)创立,最初应用在几何学和分析学等数学学科。量子力学诞生后,要求对对称性进行深入研究,美籍匈牙利物理学家E. P. Wigner(19021995)将群论引入量子力学,从而使群论在物理学、化学等其他学科得到迅速发展,其影响一直持续到今天。,参考书目 徐婉棠,喀兴林,群论及其在固体物理中的应用,高等教育出版社,1999. 丁培柱,王毅,群及其表示,高等教育出版社,1990. 马中骐,物理学中的群论(第二版),科学出版社,2006. J. P. Elloitt, Symmetry in Physics, Vol., London: Macmillan, 1979. 张瑞明,钟志成,应用群论导引,华中科技大学出版社,2001。 韩其智,孙洪洲,群论,北京大学出版社,1987。 王萼芳,有限群论基础,清华大学出版社,2002。,8,第一章 群的基本概念,1.1 群(group),一、定义 元素集合A、B、C、存在一个与次序有关的运算方法(群乘)使得任意两个元A,B得出确定的元C(记为AB=C),若满足下列四个条件,则称此集合为群。,(1) 封闭性:A,BG,AB=CG;,(2) 结合律:(AB)C=A(BC);,(3)存在单位元:AE=EA=A;,(4)存在逆元:A-1A=AA-1=E.,一般用G表示群,集合中的元素称为群元。,由群的定义可以得到如下几个性质:E-1=E; (A-1) -1=A; (AB)-1=B-1A-1; An; A-n=(A-1)n=(An)-1,根据群的阶,可以将群进行分为,一般说来,群的乘法不满足交换律,即:AB BA.,如果群元素的乘法满足交换律,即:AB = BA.则该群称为交换群/阿贝尔群。,二、群的例子,所有整数的集合(群乘:数的加法) 构成群。 单位元:0, n + (n) = 0, n 是逆元。,所有整数的集合(群乘:数的乘法),不构成群。无逆元。,所有实数的集合(群乘:数的乘法),不构成群。元素0无逆元。,推论:不含零的实数在数的乘法运算下构成群。,11,推论:非奇异方阵的集合在矩阵乘法下构成群。, 在乘法下构成群。单位元是1;逆元是自身。,在乘法下构成群。加法下不构成群。,在乘法下构成群。单位元是1;逆元是?,12, n 一定时,nn 阶矩阵 A 的集合(矩阵乘法) 不构成群。因为只有 det A 0 的矩阵有逆矩阵。, 行列式是正负1的三阶方阵(d3群)及2阶矩阵,乘法表,左乘因子,右乘因子,例如:正三角形,绕中心轴旋转120,其空间位置不变,该操作就是正三角形的一个对称操作。,三、对称操作群,3.1 对称操作,使物质体系所占空间位置不变的空间变换,称为该体系的对称操作。,3.3 对称操作群,某一物质体系(几何实体)的所有对称操作构成的集合,称为该体系的对称操作群。 对称操作的乘法定义为相继操作。,14,3.2 对称元素,施行某一对称操作所凭借的点、线、面等几何元素称为对称要素,或对称元素。,15,(1)使正三角形自身重合的操作(D3群):对称元素:对称轴 一个3重轴,三个2重轴不动操作,记为e 绕1,2,3轴转动角度的操作,记为绕z轴逆时针转动2/3角度的操作,记为绕z轴逆时针转动4/3角度的操作,记为,正三角形所有对称操作的集合,16,乘法表,集合满足封闭性、结合律,有单位元,存在逆元,此集合构成群,称为D3群,是非Abel群。,17,(2)使正三角形自身重合的操作(C3v群):对称元素:一个3重轴,z轴;三个镜面不动操作,记为e 绕1,2,3镜面做镜面反射的操作,记为绕z轴逆时针转动2/3角度的操作,记为绕z轴逆时针转动4/3角度的操作,记为,正三角形所有对称操作的集合,18,群元运算,注意:对称元素不随对称操作而运动。,作业1:写出C3v群的乘法表,判断是否是Abel群。,(3)使正方形自身重合的操作(C4v群),四、重排定理 (Rearrangement theorem),表述一:在群的乘法表的任一行和任一列中,群的任一元素都要出现,且只出现一次。,20,表述二:群G乘以群中任意一个元素结果仍然是群G,即,低阶群的可能群表,21,二阶群表仅有一种形式!,22,四阶群表有二种形式!,三阶群的群表,四阶群的群表,三阶群表仅有一种形式。三阶群是循环群,也是Abel群。,由某一个群元的幂产生的群称为循环群,循环群一定是Abel群。,23,举例: 群中, 为3阶元 为2阶元, 有限群的群元自乘若干次后必等于单位元。 (有限群的普遍性质,可由群乘表看出),群元的阶 (有限群,但不一定是循环群),必有 ,若 ,则 是 阶的元素, 称为群元的阶。,五、群元的阶和群的生成元,24,生成元,如果群的一个最小的群元集合及乘法关系可以构造出整个群,即确定乘法表,则称最小的群元集合为群的生成元,彼此间的关系称为生成关系。,例1:d3群,群元D和A可以生成整个乘法表,因为AA=E,AD=B,DA=C,DD=F,25,例2:D3群,由 , 生成。,1.2 子群 (Subgroup)和陪集,群G有子集S,若S按群G的乘法运算也满足群的定义,则S为G的子群。,例1. 整数加法群为群G,则所有偶数在加法下构成G的子群。,26,例2. D3 群中, 为D3 群的子群; 也为D3 群的子群。,是否是D3的子群?,1、子群,对任意一个群,群元e和群本身均是其子群,除此两子群外的其他子群称为真子群。而e和群本身则称为平庸子群(显然子群)。任何一个群都有两个平庸子群。,27,2 陪 集,28,如果 ,则 ,不是陪集。,定义:若S是 G 的一个子群,G 中任取一元素X,则有 ,称该集合为子群关于X 的一个左陪集。 称为子群关于X的右陪集。,性质:(1)陪集不是群。(2)每一个陪集和子群无公共元素(3)群G中的所有元必然存在于某一子群及其所有右陪集中(4)右陪集中不存在相同的元素(或者子群与陪集元素数目相同),29,30,6.3 陪集分解,把群 G 按子群 G1 及其陪集 ajG1 瓜分(aj (GG1) ),则有这称作群按子群的陪集分解。,陪集分解还可写作,D3群:子群C3 , D3群按陪集分解为 或者 等,陪集中的任何一个元都可以做陪集代表元。,31,(5)两个陪集SX,SY或者完全相同或者没有相同的元(6)若Y是SX中的元,则SY和SX是相同的。(7)不同的陪集数是(i-1),i满足i=g/s,i称为子群指数。,子群阶定理:一个g的群G,其子群S的阶s是g的整数因子。,群阶为质数的群没有真子群。,群元的阶是群阶的整数因子。阶是质数的群一定是循环群,而且除e外的任何一个元都是生成元。,1.3共轭元素和类,32,共轭元素,对于群G,如果存在某一个群元 ( ),使得A、B两个群元满足关系: 则称B与A共轭。A、B互为共轭元素(简称共轭元),特点: 互相性: 由,33, 传递性:,1如果A与B共轭,则必定存在元素S使得A与 B共轭;,2如果B与C共轭,则必定存在元素R使得B与 C共轭,于是A与C共轭。,证: A与C共轭。,类的定义: (与共轭紧密相连),互为共轭的元素的完整集合。也称为共轭类。,如何确定一个元素所属的类?,34,类的特点:,例:确定D群的类。,作业:确定C3v类,例 写出C3v群的乘法表、每个群元的阶、群的生成元;写出C3v群的所有共轭类;找出C3v群的所有子群及每个子群的右陪集。,37,C3v群:对称元素:一个3重轴,z轴;三个镜面不动操作,记为e 绕1,2,3镜面做镜面反射的操作,记为绕z轴逆时针转动2/3角度的操作,记为绕z轴逆时针转动4/3角度的操作,记为,类:,子群:,的右陪集:,关于子群的寻找,1 循环群的子群,定理1 循环群的子群仍然是循环群定理2 群阶为g的循环群中,阶为g的元素是生成元。定理3 循环群的阶g的每个因子d都对应一个子群,且子群的阶为d。,2非循环群的子群,1.4 正规子群和商群,2正规子群 若 S 是 G 的子群,且对所有元素 ,有 ,即子群S形成的所有共轭子群都相同,则该子群称为正规子群或不变子群。注意:可理解为 但未必有,1.共轭子群 若S=E=S1,S2,Ss是群G的一个s阶子群, XG, 则集合XSX-1=XS1X-1, XS2X-1, X SsX-1构成群,称为群G的共轭子群.,例. D3 群中, 为D3 群的子群; 也为D3 群的子群。,判断哪个是正规子群。,只有 是D3群的正规子群,其余三个子群不是正规子群。,定理1:指数为 2 的子群必为正规子群定理2:Abel群的子群是正规子群。,商群 有限群G的阶为g, 其正规子群S的阶为s. 于是存在i=g/s个陪集(包括正规子群):SA1, SA2, , SAi. 以群乘为集合SA1, SA2, , SAi的乘法构成的群称为群G对正规子群S的商群,记为G/S。,a) 封闭性:,b) 结合律:,c) 单位元是正规子群S:,d) 存在逆元:,例: 群G =1,-1,i,-i,群乘是代数乘法。,正规子群S= 1,-1; 陪集K=i, -i,商群G/S由两个群元组成:S及K,例:,商群G/S由两个群元组成:G/S=S(Ic2y), 其中 S(Ic2y)=S (Ic2C)=S (Ic2D)=Ic2y, Ic2C, Ic2D。,正规子群S=E, C3z , C3z-1 ;,46,商群 (factor group, quotient group),设S是G的正规子群,xS=Sx,有S的所有左陪集x1S,x2S,.。把一个陪集视为一个元素,按群的乘法进行陪集间的乘法运算,使两集合的元素互乘一次,相同元素只取一个。,以陪集为元素,按集合的乘法做运算,构成一个群,称为G对S的商群,记作G/S .,47, 结合律:, 单位元:,其中集合(E)是G/S中一元素,且 是单位元。 G/S中无其他集合符合此条件。, 逆元素:,集合 构成群。,48,例子,群阶=2 .,商群 的群表,1.5同构、同态和直积群,群的同构 (isomorphism),两个群 ,它们的阶 ,两个群的元素间有一一对应关系, ,且乘积 则说 与 同构,或说 和 是同构群, 记作 或 。如:,同构的有限群的 阶 和 群表 相同.,多对一的对应关系,在各自的群乘下若满足: : 则称 和 同态,也称准同构。记作 或,52,52,2. 商群 中的 分别与 群中的 和 对应。所以,商群 与 同态。,定义直积群 (两群中所有元素互乘一次),群阶: ,且有 。 和 称为G的直积因子,简称直因子。,若有两个群 和 ,只有单位元是公共元素,两群的群乘相同,两群的任意两个元素,直积群 (direct product group),54,证明 :,?,定理:直积因子 和 是直积群的正规子群。,若相等,则 ,则必有 。 即如果 ,必有 。,55, 直积群的类等于直因子的两个类的乘积。,1. 证明由二阶元素构成的群一定是Abel群。证明: A的阶是n,则对于任一元素A,有 , A为二阶元素。 Abel群要求 AB=BA。,56,习题:,(AB是一群元素,而群元素都是二阶, ),2. 有一群乘表如下,判断集合G=E,A,B,C,D,F 是否构成群?

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