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计算机与运筹学研究一种最佳切割方式的确定算法席林，迈克尔乔治艾迪斯* 汽巴精化公司的 CH - 1870 Monthey，瑞士 研究与技术中心 - 海拉斯，化工过程工程研究所，宝盒 361 热敏电阻57001，希腊塞萨洛尼基摘要本文提出了在确定问题的一个新的数学规划的制定，最佳的方式，给定大小的几个产品辊要切出一个或多个标准件，标准类型。其目的是执行这项任务，从而最大限度地考虑到从销售收入，原卷成本，改变切削模式的成本和费用。出售的装饰。一个混合整数线性规划（混合整数线性规划）模型提出了一种解决的全局最优使用标准技术。有不少的例子，包括工业界的实际，研究中，被提出来验证电子$ ciency 和该模型的适用性。范围和宗旨一维下料（修剪亏损）生产项目时出现问题，有可能在物理上，成片的大小分成了一维的多样性（例如，当主人的纸分切卷成卷筒，宽度窄）。这些问题发生时，有规模没有与相关经济，生产规模较大的原材料（主）卷。一般来说，在解决这些问题的目的有如下 5 点：1. 尽量减少修剪损失;2. 避免生产过度运行和/ 或;3.避免不必要的分切机设置。4.上述问题，尤其是在纸张加工工业的重要一卷纸时，需要一套要削减从原料纸卷。由于产品的宽度是充分的原纸宽度无关，一个高度组合问题出现了。一般来说，切割产生的必然过程始终修剪损，已被烧毁或在某些废物处理厂处理。在造纸行业的修剪，丢失问题，在最近几年，主要是解决了采用启发式规则。实际问题的表述。因此，在大多数情况下被事实限制了解决的方法应该能够处理整个问题。因此，只有次优解到原来的问题，并已取得5.通讯作者。电话：30-31-498-143，传真：。30-31-498-180 。E - mail 地址：georgiadcperi.certh.gr（只限乔治艾迪斯）。0305-0548/02 / $ - 见前面的问题 2002 年 Elsevier 科学有限公司保留所有权利。有价证券投资收益：秒 0 3 0 5 - 0 5 4 8（0 0）0 0 1 0 2 - 7席林 1042 克，M.C.乔治艾迪斯/ 计算机与运筹学研究 29（2002）1041 1058 很多时候，这个不能离开经济的问题留给了制造业。这项工作提出，为电子新算法的确定的文件转换过程最佳切割方式。一个混合整数线性规划模型，提出这是解决全球最优利用现有计算机工具。大量的问题，包括工业为例，提出说明该算法的适用性。 2002 年Elsevier 科学有限公司保留所有权利。关键词：整数规划;优化;修剪损耗问题;纸加工行业1。简介一个重要的问题，这是经常遇到的，如造纸行业与有关最经济的方式，给定大小的几个产品推出要产生，切割在一个或多个标准宽度更广的一个或多个可用的原始卷。这种解决方案问题涉及几个交互决定：其各项尺寸的产品数量，生产卷。 这可能是由于允许各不相同下限和上限。 在订单室目前突出，而后者则对应的最大市场容量。但是，一定的折扣哦，可能要到销售超过定单，以上数量为其中订单可室。 每间标准宽度原始辊数量将会被削减。劳斯莱斯，可在一个或多个标准宽度，对一台直喷！erent 单位单价。 针对每个原始滚切模式。切割发生在一个雇用一个在并行操作上一卷刀号机的地方， 标准宽度。虽然刀的位置可能会更改从一个滚动到下一个，这样的变化可能会产生一定的费用。此外，可能有一定的技术的限制， 刀位置可实现任何特定的切割机。上述问题的最优解往往与最小化的trima 废物一般是不可避免的，因为标准宽度辊使用。然而，修剪丢失最小化，并不一定意味着对原材料的成本最小化（卷）特别是如果正在使用的几种标准卷筒尺寸可供选择。一个更直接的经济标准是同时考虑到经营吨最大化：从产品销售辊，包括任何批量折扣常态收入;该卷的实际使用成本; 的费用，如果有的话，换在切割机刀职位 ;废物的处置费用的削减。以上是一个高度组合的问题，这并不奇怪，传统的解决方案往往是对人体进行手动的专业知识为基础。这个问题类似于切割下料问题在行动，研究文献中，凡订购件数需要削减噢！更大的存储块以最经济时尚。在 60 年代和 70 年代，一些文章对这一问题尽量减少修剪损失，例如1,2。 Hinxman 3提出了一种可用的解决方案，很好地概括修剪方法损益和各种各样的问题。 Gilmore 和戈莫里1提出了一个基本的线性规划的方法来削减库存问题，同时放宽一些问题整数字符。 Gilmore 和戈莫里2去 scribed 迭代求解方法，是非常大的订单数量适当，计算便宜，但对于削减模式的数量所产生的值会用于非整数，这是无法证明的最优性或指示的优选保证金。这些切割方式。因此，四舍五入值，得到由吉尔摩和算法戈莫里2 可能很可能导致经济表现不佳。 Wascher 4提出线性规划方法下料问题考虑到多重目标，如原料成本，仓储成本的生产过剩，修剪损耗搬迁费等。斯维尼5提出了求解一维下料问题的启发式程序多个质量等级。费雷拉等。 6认为两阶段滚切问题，基于启发式的方法。 Gradisar 等。 7提出一个电子序列启发式 $古程序以及为在服装行业的最优化软件工具推出。后来，Gradisar 等。 8开发了一个改进方案的战略基础上的近似组合，系统蒸发散和启发式领先的一维下料几乎最优解问题。一种软件工具，还制定。 近年来，整数规划技术已用于裁切损耗的解决方案和生产在造纸行业的优化问题。和工作的韦斯特伦德在一博 Akademi 大学是芬兰的同事在这方面的重要贡献。 Harjunkoski9考虑到修剪损耗问题的数学规划方法，提出了两个制定 erent 的类型。这对需要在使用和切割模式对辊切而必须根据每个这样的模式处理数为未知数。在整数非线性数学问题，这结果（INLP）涉及双线性问题每次切割的变量描述模式和相应数量的本卷切方式。两地！的线性化 INLP 获得一个混合整数线性规划 erent 方式（混合整数规划）模式进行了介绍。然而，这些 linearizations 往往导致 signi“不能增加变量和约束数量，以及作为一个大型的完整性的差距。第二种类型，由 Harjunkoski 9提出的制定是基于采用“xed 切割模式集是先天决定。在一个混合整数规划，有一个比一个更小的差距，这结果的完整性从 INLP 制定线性造成上述。然而，解决的办法获得的最佳保证只有当所有非劣切削模式是鉴定出“ED 和考虑。这种模式的数量可能相当庞大的现实工业问题。上述工作的延伸，Harjunkoski 10提出的线性和凸配方解决非凸修剪丢失的问题。韦斯特伦德11考虑了二维修剪损耗在转换文件的问题。阿非凸优化模型，同时提出在宽度和长度的原纸被视为变量。两步求解过程是用在所有可行的切割模式是生成一个混合整数线性规划问题，然后解决了。在一个类似的方式，生产中的纸张加工工业的结构优化问题已解决的韦斯特伦德12。调度纸张加工方面的切割机，同步了 CON -sidered 与由韦斯特伦德13修剪丢失的问题。最近，Harjunkoski 14成立成一个总体框架的环境影响因素的修剪丢失最小化。本文提出了一种替代的数学规划模型的直接结果在小的差距混合整数线性规划的完整性。这一模式的突出特点是，它不需要所有可能的切割方式先验枚举。接下来的部分介绍了正式声明正在审议的问题和符号使用。第 3 节认为数学制定的目标函数和业务限制。其次是一些例如工业问题，其中包括一个案例研究说明了适用性和计算，周志武行为的建议制定。2。问题陈述和数据正在考虑的任务是向他们出示我公司产品辊迪类型，类型宽度我被记为 B，我我从一个或多个标准卷。所有原料及辊的长度该产品由他们造成的轧辊被认为是相同的。这是超越这项工作的范围，考虑二维的问题，即无论是宽度和长度原纸卷和切割模式被认为是变量。轧辊生产的产品大多是命令。最低订购数量为卷筒产品我记的宽度授予，所以是对应的单位价格 p。然而，客户可能会愿意购买额外卷 I 型最多以数量 n 主题的每超出一般最低人数全产品推出折扣，在这种方式出售额外的辊数量往往是由于主要诱因，而从小生产厂家的角度来看这样的折扣仅仅是为了减少损失通过修剪。 该产品将被卷从 erent 标准类型的原始辊切。单位价格一吨的原料辊式记为 C 的标称宽度的 B.然而，有用的宽度 T 类型是由辊切割机使用。特别是，每个原始辊式，T “的一，的特点是最大可能的总的参与，所有产品的总宽度可以从这种类型的原料辊切卷。也可能有最低需要这种类型的总接触辊乙。在一般最大卷数 N 的产品可切割的原始类型 T 将推出一般是由刀和可用机器等特点。此外，在某些情况下，有可能在给定数目的原始辊 Jh 的限制 T 型 针对每个原始滚切模式，是由刀的位置。频繁在这些位置的变化一般都不可取。因此，每一个这样的变化可能相关联与非零成本角作者从可用原料辊辊生产所需的产品可能会导致修剪废物可能需要处置。这种处理单位修剪宽度成本记在给定的数据为基础，我们获得的原始辊数量的上限 j 的可能需要削减。这是假设得到数 N 的最大的轧辊产品每种类型我会产生，这类型吨原料卷，允许的最小最小参与 B 将被使用; 并且每个原始卷将被用来生产产品的轧辊只有一个单一类型。总体而言，这将导致以下上界原卷数我们还可以计算其对原卷数最低下限 要满足现有订单的最低需求。我们通过这个假设辊类型吨，允许最大可能参与 B 的使用，是没有修剪生产。然而，我们还必须采取的数目可能的局限刀。总体而言，这会导致较低的轧辊，可能次数的上限以下须：3。数学公式该数学公式的目的是确定每个原始辊型的 T J 被削减和每种类型的卷数我的产品要生产如此。3.1。关键变量下面的整数变量的条件为：I 型产品的数量，减少轧辊原始推出 第 i 种类型的产品生产了数卷和高于最低数量排序。我们注意到，n 不能超过： 数 N 的最大的 I 型，可销售的产品辊 ;在宽度为 B 产品，可容纳在一个卷的最大数量最多， 对于类型 T 的原料辊达到最佳的参与 B 组; 数 N 的最大的可应用到原始类型的辊刀吨这导致对 n 以下范围：我们注意到，必须包含在模型中仅当 N全我们还介绍了以下这些二进制变量：1，如果第 j 个滚被削减的类型吨，如果为 纸卷切割模式是不同的轧辊 j 的！1然而，制将提交将只分配一个类型 T 的原始辊 j 的实际使用。因此，总辊子的数目，也将削减了优化问题的解决决定。这将成为下一小节清楚。3.2。辊式决心限制每个原始辊切必须是一个独特的类型 T 在以下的限制这样的结果：请注意，对于 jJ 号，它可能是 y“后，所有类型 T 0，这仅仅意味着它不要削减滚因子。此外，给定类型的轧辊有限吨原料可表示在以下方面约束3.3。切割的限制我们必须确保，如果一个 rollj 要切断，然后在最低和最高的局限性参与得到遵守。这是实现通过的限制，我们注意到，数量乙 n 表示所有产品卷筒总宽度被削减了生滚因子。如果 y“对于一些辊式 T，那么约束确保另一方面， 这体现了明显的事实是，如果 rollj 实际上不是削减，那么没有任何类型的产品可以滚动从它产生。 我们还需要确保产品的数量削减任何辊辊型的 T J 不出来超过可以在部署这种类型的卷数刀。 3.4。生产的制约因素每种类型的是我生产的产品包括卷筒总数最低订购此加上产能过剩的数量：再加上这些限制的界限，确保辊型产品数量我公司生产之间的最小和最大边界N 和 N，分别所在。3.5。转换限制如果更改裁剪招致非零成本 C 0，我们需要确定这样的变化会发生。为此，我们包括以下约束：请注意，这将使 Z 到仅当 n 是零“为我所有产物 N 卷，也就是说，如果 rollsj andj！1 在完全相同的方式削减。在这里，M 是 n 个常数的上限（见 3.1 节）。3.6。目标函数该优化目标是最大化的经营吨同时考虑到 从各类型产品的销售收入这包括从销售收入的最低订购数量 价格 p，加上额外数量的销售单价在贴现收该卷的费用被削减。一般来说，每卷成本取决于它的类型。总成本可写为 CY。我们注意到，对于每个 rollj，最多一个长期的内在总和不为零。 改变了刀具的位置的费用。 一般来说，刀位置必须改变，如果切割为给定的模式所使用的轧辊 erent 为上个季度。这是由变量 z 和在成本结果 那里的总和等于变化所必需的总数。 在处置成本的任何削减生修剪产生的宽度原 rollj 给出了由迪！erence 辊之间的宽度和所有产品的总宽度卷筒切断它。前者的数量取决于类型轧辊，可表示为通过;再次，在这个总和最多的词汇之一。在下面的成本削减长期处理结果， 以上条款现在可以收集在下面的目标函数。3.7。简并减少和限制收紧在一般情况下，上面介绍的基本配方是高度退化：由于任何可行点，人们可以简单地生成所有可能的选择形成要削减轧辊订货等等。此外，提供了同一类型所有原料连续辊切，所有这些将可行点内容对应的目标函数值相同。上述财产可能产生不利 e!在 E 美元的搜索过程 ciency 常态。因此，为了减少损失没有任何解决方案的最优性退化，我们引入下列顺序限制：这确保了产品的总人数辊切生肉 rollj！一出永远不会比低 相应数量的轧辊，所有完全未使用的原料辊左上次在这个顺序。 另一种做法是为了在不增加用电秩序的原始卷。然而，我们的实践经验表明，这是不是作为约束。我们还注意到，约束（7 ）隐式征收较低的总人数的约束产品卷筒 n 剪切出原始辊因子。一个强有力的约束有时可能会得到考虑 T 类型的轧辊使用在最低可能的最广泛的接触，以产生可能的产品名单。这导致了约束3.8。评论 目标函数和在本节所介绍的所有约束是线性的。由于所有的变数是整数重视，制定颁发对应一个整数线性规划（指令级并行）问题。然而，限制（9）确保变量将自动承担整数提供的值变量 n 这样做。因此，可视为连续的数量，这留下一个混合整数线性规划（混合整数规划）问题我们。原则上，后者可解决了使用标准的混合整数线性规划求解。4。例题在本节中，我们考虑四个问题日益复杂的例子，以研究了我们的配方计算的行为。另外一个工业案例研究。还介绍了。在所有情况下，我们认为最大的原料辊接触乙等于相应的辊宽度 B 的 GAMS 本身/ CPLEX 求解器比 6.0 已经解决方案中使用15 和所有的计算，进行了一个 Alpha 服务器 4100。为 0.1，完整性差距承担了所有问题的解决。4.1。例 1我们的“rst 例子是根据 Harjunkoski 9给出的。一些不同的翻译成本安科$ cients 是为轻微迪要帐号！ erences 中所用的目标函数两种制剂。还要注意，这些作家使用的目标是成本最小化为反对吨的最大化，因此，他们的目标函数符号相反对我们的。表 1例如 1 原料的滚动辊式宽度 B 最高。洒乙！B 最高。削减成本 c 1 1900 毫米 200 毫米 5 一千九英镑表 2例如 1 生产数据产品幅宽乙分钟。数量最多。数量价格折扣 I 型（毫米）神经网络电脑， 这个问题的目的是确定生产四迪！的 erent 类型的最佳切削模式从原始单一类型产品的轧辊辊。后者的特点见表 1。生产要求如表 2 总结。为改变切削模式的成本是 1 英镑，而招致的任何费用修剪处理。Harjunkoski 9假设一家四迪！erent最大切割图案，从而导致一个模型的规模缩小。在我们的情况下，这种模式的数量是由解决方案。同时，从表现形式（1）及（2 ），我们确定 J“的 10 和J”8。 解决方案，我们得到的是相同的，报告由 Harjunkoski 9涉及生产最低订购量的产品辊加一额外的 2 型 3 型辊和另一个。形象地提出了解决方案图。1，对应于目标函数值！1622.0 英镑，因此给定的操作招致的损失的经济数据。最佳的解决方案（在一个最优利润率为 0.1）被发现在不到 1 个 CPU 的 s 在节点分支定界算法 49 使用广度 “rst 搜索策略。必须指出，我们制定的完整性差距媲美的配方，为一由 Harjunkoski 9提出的事实，尽管它不使用任何先验的枚举切割模式。我们还研究制定，以少量的节点检测最佳点（见表 3）。每个竖条对应一个 DI！erent 辊被削减。相应的辊式显示上方 每个酒吧。每个酒吧分为相应的部分指定类型的张数。黑暗的阴影在酒吧上段是修剪损耗，其宽度为百分比显示在底部的数值例如 1 计算统计充分放松的最佳节点变量约束的完整性客观的客观差距（）在 BB 酒店（斌/诠释/续）（！）1622.0（！）1619.4 0.18 49 60（13/44/3）1154.2。例 2对这个问题的数据载于表 4 和 5。没有改变的成本削减用于装饰图案或处置。使用表达式（1 ）及（2 ），它可以计算出一个先验的所需将于 11 至 15 号原卷。虽然这个问题涉及的产品，只有 9 卷类型，有一个 3971 直接投资总！erent 切割方式，所有这些都是相对于最小和最大允许总可行聘用轧辊，该可应用于辊和刀的最大数量最大的纸张数量排序。因此，任何制定明确的模式，依赖于枚举就必须涉及到大量的离散变量。这是，当然，与传统的方法来削减库存问题人所共知的问题。 我们的算法获得关于这个问题，准确的（ 0的最优利润率）的最佳解决方案在不到 1 个 CPU 秒提出这个解决方案是在图。 2。计算性能统计资料载于表 6。例如 2 卷原始特征辊式宽度 B 最高。洒乙！B 最高。削减成本 c 1 1900 毫米 200 毫米 5 一六 英镑例 2 和 3 的生产数据产品幅宽乙分钟。数量最多。数量价格折扣I 型（毫米）神经网络电脑对例 2，第 3 和第 4 计算统计充分放松的最佳配方节点变量约束的完整性 客观的客观差距。例如 3 卷原始特征辊式宽度 B 最高。洒乙！B 最高。削减成本 c 4.3。范例 3这个例子是类似的实例 2 中，只有迪！erence 是，高达 6 成卷的迪生！erent一种是现在也可被削减（见表 7）。由于现在可以更广泛地辊，最低所需卷数减少到 9 J 是（从 11 例 2），但最高数量轧辊 保持不变，即 15。 准确的（0的最优保证金），获得最佳的解决方案，在不到 1 个 CPU 秒该图提出的解决方案。 3 计算性能如表 6 所示的统计数字。该最高 2 型原料辊数量是使用。有趣的是，提及的是，如果没有对 2 型原料辊数量的上限是强加的，只有这种类型的轧辊实际从事。在更高的亲“的 C 三千三百八十吨这就结果。4.4。范例 4这个例子是类似的实例 2 中，只有迪！erence 正科的成本为$ cients 变废为装饰， 切割处理模式，C 和等于 10 和 1，分别。在计算性能见表 6。我们注意到，有相当数量较大的节点分支定界树是需要比较例 2。然而，完整性差距相对较小。4.5。例 5一 justi“与我们制定教育署关注的是何种方式计算成本可能随着订单要令人满意“版人数有所增加。这是因为更多的订货会例如 5 计算统计例 2 中的节点的 CPU 全面优化变量约束的数目轧辊通常意味着更多的原料辊不得不被切割考虑，（例如，更高的 J）。的数量变量和约束在我们的配方与后者呈线性增加。为了研究如何制订了该计算性能随对订购产品的轧辊的数目，我们进行了三次另外的实验中使用原始例 2，但数据乘以 2，4，10 和 15 的订购数量的因素（见附表 8），分别。结果如表 8 总结。正如预期的更大的订购产品的数量轧辊，造成较大的数学问题和 DI 美元的解决方案 culty。例如，问题的最优解的两倍的订单数量使得 25 迪使用！erent这是自动切割的算法确定模式。然而，即使有了 最大的问题（涉及 1340 产品从 268 张卷筒生产原料），但仍可能确定在不到 1 分钟计算在桌面上的最优解工作站。整体性的差距也仍然在所有的例子非常小。同样的问题还解决了的情况下有两个迪！erent 辊可用的类型（如例 3）以及订单总数超过 600 张。该解决方案对应一个目标函数的 C 31550 零完整性的差距。所生产的总数为 660 张来自 120 个原始卷。这个问题涉及到 1823 整数变量和解决方案，得到 43 秒的CPU4.6。工业个案研究这是一个工业为例，每天修剪损设在马其顿优化问题造纸厂（梅尔）在希腊北部 S.A.公司。褪黑素是主要的造纸生产企业之一在希腊超过年产 10 万吨。通常包括每日秩序 5 15 迪！辊 erent 类型的产品以 10总重量 100 吨。到目前为止，尽量减少修剪的损耗，目前已进行采用启发式为基础的技术和人力的专业知识与修剪平均损耗 4 7的顺序而定。对这个问题的所有数据都依从表 9和 10，对应于近似的值。 假设的废物处置修剪以及改变切削模式的解决方案不花钱被描绘图。 4。请注意，9 原始辊满足生产需要。阿总数 1100 节点审查了分支定界树，需要的计算时间少。表 9工业原料的滚动个案研究辊式宽度 B 最高。洒乙！B 最高。削减成本 c 1 三百六十厘米 40 厘米 515 9 表 10为工业生产数据为例产品幅宽乙（厘米）最小。数量最多。数量价格折扣 I 型神经网络电脑图。 4。解无废物处置和变化的成本削减工业为例。5。解决方案与废物处置和变化的成本削减工业为例。超过 5 秒的 CPU 该目标函数代表亲“吨最优值是 C3105.8 它等于完全放松的目的。修剪的平均损耗是1.126，并代表大约 55的改善比较，现时的做法基于纯粹的人专业知识。 同样的问题也解决了假设美元的成本安科废物处置 cients为改变切削模式是等于 0.39 和 58.8，分别为（见图 4）。该最优值吨，而现在C2842 的完全松弛问题的价值是 C3044。大约 9000 点被认为需要 1 分钟的CPU 计算时间。这是值得注意的是，既然改变裁剪成本考虑在内，只有三这样的变化，而平均修剪损耗仍然与前面的情况相同。然而，应该强调的是，在削减节省的时间，由于同时 minimiz -改变切割图案，通报 BULLETIN 已 signi 植物 tability“亲上不能影响”。这是由于生产速度增长比例几乎与总切削减少时间。5。结论本文介绍了优化确定为一个新的数学公式切一维问题的图案。在前面的配方，其主要优势在于它的小的差距，其完整性变量和约束较少。为达到这个目的，而不需要诉诸先天生成的切割方式，并在问题规模增加而组合从这样一种做法。在中等大小混合整数规划问题的结果，在制订目前的范围提供商业解决者。配方的完整性差距普遍偏小，虽然迪的解决方案增加$ culty，涉及转换和废物处置费用的问题。 无论是这里提出的制定和审查了本文前面的大部分主要是与确保各项订单 ful 关注“lled。只有韦斯特尔工作隆德13其实认为倍，由于此类订单。一个有趣的方面提出制定明确的特点是，它的卷已被削减顺序两个条款的类型的每种原料辊和裁剪为它用。这将打开的可能性引进更多的变量和约束特征的时间点是每卷切断，从而确定最佳切割调度。致谢致谢感谢博士 Iiro Harjunkoski 有关问题的一些有益的讨论本文研究。笔者也感谢议员 Sotiris Kiourtsides，生产经理马其顿造纸厂萨，为工业提供了个案研究和讨论，对一些有价值的在修剪损耗问题的实际问题。参考文献1吉尔摩电脑，戈莫里再生能源。一个线性规划的方法来削减库存问题。运筹学 1961; 9:849 59。2吉尔摩电脑，戈莫里再生能源。一个线性规划的方法来削减库存问题*第二部分。行动 研究 1963; 11:863 88。3 Hinxman 人工智能。裁切损耗和品种问题。一项调查。欧洲运筹学杂志1980; 5:8 18。4 Wascher 克线性规划为基础的方法来削减库存的多目标问题。欧洲杂志 运筹学 1990; 44:175 84。5斯威尼体育，哈斯勒刻录。一维与多辊下料质量等级的决定。欧洲运筹学杂志 1990; 44:224 31。6费雷拉绥，内韦斯硕士，体育丰塞卡 卡斯特罗两阶段滚切的问题。欧洲杂志 业务 研究 1990; 44:185 96。7 Gradisar 男，Jesenko J 号，Resinovic 克在服装行业切割辊优化。计算机与运营1976 年的研究， 10：S945 53。8 Gradisar 男，Kljajic 男，Resinovic 克，Jesenko j 的顺序为一立体裁剪启发式程序。欧洲运筹学杂志 1999; 114:557 68。9 Harjunkoski 我韦斯特伦德笔，伊萨克森 J 号，Skrifvars 阁下迪！修剪丢失的问题解决在 erent 配方一纸转换与独立工党厂。计算机与化学工程 1996 年 20：S121 6。10 Harjunkoski 我，韦斯特伦德笔，色情河迪！解决非凸修剪损问题的 erent转换的 MINLP。欧洲运筹学杂志 1998; 105:594 603。11韦斯特伦德笔，伊萨克森 J 号，Harjunkoski 一求解二维修剪损耗与混合整数线性规划问题。欧洲运筹学杂志 1998; 104:572 81。12韦斯特伦德笔，Harjunkoski 我，伊萨克森 j 的生产优化问题的求解在一份文件转换轧机与混合整数线性规划。计算机与化学工程 1998; 22:563 70。13韦斯特伦德笔，伊萨克森 j 的一些电子邮件美元用于修剪损益和调度解决方案，同时古配方问题的文件转换行业。交易的部分化工学会1998 年的 ; 76:677 84。14 Harjunkoski 我，韦斯特伦德笔，色情 001 Skrifvars 阁下数值并在复杂的环境因素工业混合整数非线性规划（的 MINLP）问题。计算机与化学工程1999; 23:1545 61。15布鲁克甲，肯德里克研发，Meeraus 甲，拉曼河 GAMS 本身。用户的指南。只要 GAMS 开发公司，1998 年。迈克尔乔治艾迪斯，博士是在化工过程工程研究所专职研究员希腊塞萨洛尼基。他获得萨洛尼卡亚里斯多德大学和他的化学工程文凭收到他的硕士和博士学位在过程系统工程帝国学院，伦敦。他的研究兴趣在于为在制造过程工业领域 exible 混合整数和计算机辅助优化技术，生产调度，规划和动态建模和仿真。他是杂志的作者和超过 15 会议出版物。 难解的席林，博士，是一个过程，发展的汽巴精化公司在瑞士的化学工程师。他获得了来自联邦理工学院，苏黎世他的文凭，并获得工程博士学位从过程系统工程中伦敦帝国学院。*Correspondingauthor.Tel.:#30-31-498-143;fax:#30-31-498-180.E-mail address: georgiadcperi.certh.gr(M.C.Georgiadis).Computers&OperationsResearch29(2002)10411058AnalgorithmforthedeterminationofoptimalcuttingpatternsGordianSchillingp0,MichaelC.Georgiadisp1p11*p0Ciba Specialty Chemicals Inc., CH-1870 Monthey, Switzerlandp1Centre for Research and Technology - Hellas, Chemical Process Engineering Research Institute, P.O. Box 361,Thermi 57001, Thessaloniki, GreeceReceived1June2000;receivedinrevisedform1September2000;accepted1October2000AbstractThispaperpresentsanewmathematicalprogrammingformulationfortheproblemofdeterminingtheoptimalmannerinwhichseveralproductrollsofgivensizesaretobecutoutofrawrollsofoneormorestandardtypes.Theobjectiveistoperformthistasksoastomaximizetheprottakingaccountoftherevenuefromthesales,thecostsoftheoriginalrolls,thecostsofchangingthecuttingpatternandthecostsofdisposalofthetrim.Amixedintegerlinearprogramming(MILP)modelisproposedwhichissolvedtoglobaloptimalityusingstandardtechniques.Anumberofexampleproblems,includinganindustrialcasestudy,arepresentedtoillustratethee$ciencyandapplicabilityoftheproposedmodel.Scope and purposeOne-dimensional cutting stock (trim loss) problems arise when production items must be physicallydividedintopieceswithadiversityofsizesinonedimension(e.g.whenslittingmasterrollsofpaperintonarrower width rolls). Such problems occur when there are no economies of scale associated with theproductionofthelargerraw(master)rolls.Ingeneral,theobjectivesinsolvingsuchproblemsareto5:p69 minimizetrimloss;p69 avoidproductionover-runsand/or;p69 avoidunnecessaryslittersetups.Theaboveproblemisparticularlyimportantinthepaperconvertingindustrywhenasetofpaperrollsneedtobecutfromrawpaperrolls.Sincethewidthofaproductisfullyindependentofthewidthoftherawpaperahighlycombinatorialproblemarises.Ingeneral,thecuttingprocessalwaysproducesinevitabletrim-losswhichhastobeburnedorprocessedinsomewastetreatmentplant.Trim-lossproblemsinthepaperindustryhave, in recent years, mainly been solved using heuristic rules. The practical problem formulationhas,therefore,inmostcasesbeenrestrictedbythefactthatthesolutionmethodsoughttobeabletohandletheentireproblem.Consequently,onlyasuboptimalsolutiontotheoriginalproblemhasbeenobtainedand0305-0548/02/$-seefrontmatter p7 2002ElsevierScienceLtd.Allrightsreserved.PII: S0305-0548(00)00102-7veryoftenthisrathersignicanteconomicproblemhasbeenlefttoamanualstage.Thisworkpresentsa novel algorithm for e$ciently determining optimal cutting patterns in the paper converting process.Amixed-integerlinearprogrammingmodelisproposedwhichissolvedtoglobaloptimalityusingavailablecomputertools.Anumberofexampleproblemsincludinganindustrialcasestudyarepresentedtoillustratetheapplicabilityoftheproposedalgorithm. p7 2002ElsevierScienceLtd.Allrightsreserved.Keywords: Integerprogramming;Optimization;Trim-lossproblems;Paperconvertingindustry1. IntroductionAnimportantproblemwhichisfrequentlyencounteredinindustriessuchaspaperisrelatedwiththemosteconomicmannerinwhichseveralproductrollofgivensizesaretobeproducedbycuttingoneormorewiderrawrollsavailableinoneormorestandardwidths.Thesolutionofthisprobleminvolvesseveralinteractingdecisions:p69 Thenumberofproductrollsofeachsizetobeproduced.Thismaybeallowedtovarybetweengivenlowerandupperbounds.Theformernormallyre#ectthe rmordersthatarecurrentlyoutstanding,whilethelattercorrespondtothemaximumcapacityofthemarket.However,certaindiscountsmayhavetobeo!eredtosellsheetsoverandabovethequantitiesforwhichrmordersareavailable.p69 Thenumberofrawrollsofeachstandardwidthtobecut.Rollsmaybeavailableinoneormorestandardwidths,eachofadi!erentunitprice.p69 Thecuttingpatternforeachrawroll.Cuttingtakesplaceonamachineemployinganumberofknivesoperatinginparallelonarollofstandardwidth.Whilethepositionoftheknivesmaybechangedfromonerolltothenext,suchchangesmayincurcertaincosts.Furthermore,theremaybecertaintechnologicallimitationsontheknifepositionsthatmayberealizedbyanygivencuttingmachine.Theoptimalsolutionoftheaboveproblemisoftenassociatedwiththeminimizationofthetrima waste that is generally unavoidable since rolls of standard widths are used. However,trim-lossminimizationdoesnotnecessarilyimplyminimizationofthecostoftherawmaterials(rolls)beingusedespeciallyifseveralstandardrollsizesareavailable.Amoredirecteconomiccriterionisthemaximizationoftheprotoftheoperationtakingaccountof:p69 therevenuefromproductrollssales,includingthee!ectsofanybulkdiscounts;p69 thecostoftherollsthatareactuallyused;p69 thecosts,ifany,ofchangingtheknifepositionsonthecuttingmachine;p69 thecostofdisposingoftrimwaste.Theaboveconstitutesahighlycombinatorialproblemanditisnotsurprisingthattraditionallyitssolutionhasoftenbeencarriedoutmanuallybasedonhumanexpertise.Thesimpliedversionofthisproblemissimilartothecuttingstockproblemknownintheoperation-researchliterature,whereanumberoforderedpiecesneedtobecuto!biggerstoredpiecesinthemosteconomicfashion.Inthe1960sandthe1970s,severalscienticarticleswerepublishedontheproblemof1042 G. Schilling, M.C. Georgiadis/Computers & Operations Research 29 (2002) 10411058minimizingtrimloss,e.g.1,2.Hinxman3presentsagoodoverviewoftheavailablesolutionmethodsfortrim-lossandassortmentproblems.GilmoreandGomory1presentedabasiclinearprogrammingapproachtothecuttingstockproblemwhilerelaxingsomeinteger-charactersof theproblem.GilmoreandGomory2de-scribed an iterative solution method that is suitable for very large number of orders and iscomputationalcheap,buttheresultingvaluesforthenumberofcuttingpatternstobeusedarenon-integeranditisnotpossibletoprovetheoptimalityorindicatethemarginofoptimalityofthese cutting patterns. Thus, the rounding values obtained by the algorithm of Gilmore andGomory2mayveryprobablyresultinpooreconomicperformance.Wascher4presentedalinearprogrammingapproachtocuttingstockproblemstakingintoaccountmultipleobjectivessuchascostoftherawmaterials,costoftheoverproductionstorage,trim-lossremovalcosts,etc.Sweeny5proposedaheuristicprocedureforsolvingone-dimensionalcuttingstockproblemswithmultiplequalitygrades.Ferreiraetal.6consideredthetwo-phaserollcuttingproblemsbased on a heuristic approach. Gradisar et al. 7 presented an e$cient sequential heuristicprocedureand a softwaretool for optimizationof roll cutting in theclothing industry.Later,Gradisaretal.8developedanimprovedsolutionstrategybasedonacombinationofapproxima-tionsandheuristicsleadingtoalmostoptimalsolutionsfortheone-dimensionalstockcuttingproblems.Asoftwaretoolwasalsodeveloped.Inrecentyears,integerprogrammingtechniqueshavebeenusedforthesolutionofthetrim-lossand production optimization problem in the paper industry. The work of Westerlund andcoworkersatAp15 boAkademiUniversityinFinlandisakeycontributioninthisarea.Harjunkoski9consideredamathematicalprogrammingapproachtothetrim-lossproblemandpresentedtwodi!erenttypesofformulation.Intherstone,boththecuttingpatternsthatneedtobeusedandthenumberofrollsthathavetobecutaccordingtoeachsuchpatternaretreatedasunknowns.Thisresultsinanintegernonlinearmathematicalproblem(INLP)involvingbilinearproblemsofthevariablescharacterizingeachcuttingpatternandthecorrespondingnumberofrollscutinthisway.Twodi!erentwaysoflinearizingtheINLPtoobtainamixedintegerlinearprogramming(MILP)modewerepresented.However,theselinearizationsoftenresultinasignicantincreaseinthenumberofvariablesandconstraints,aswellasalargeintegralitygap.ThesecondtypeofformulationpresentedbyHarjunkoski9isbasedonusingaxedsetofcuttingpatternsthatisdecidedapriori.ThisresultsinaMILPthathasamuchsmallerintegralitygapthantheoneresultingfromthelinearizationoftheINLPformulationmentionedabove.However,thesolutionobtainedisguaranteedtobeoptimalonlyifallnon-inferiorcuttingpatternsareidentiedandtaken into consideration. The number of such patterns may be quite substantial for realisticindustrialproblems.Extendingtheabovework,Harjunkoski10presentedlinearandconvexformulationsforsolvingthenon-convextrim-lossproblems.Westerlund11consideredthetwo-dimensionaltrim-lossprobleminpaperconverting.Anon-convexoptimizationmodelwasproposedwhereboththewidthsandthelengthsoftherawpaperwereconsideredasvariables.Atwo-stepsolutionprocedurewasusedwhereallfeasiblecuttingpatternswere rst generated and then a MILP problem was solved.In a similar fashion,theproductionoptimizationprobleminthepaperconvertingindustrywasaddressedbyWesterlund12.Schedulingaspectsofthecuttingmachinesinpaperconvertingweresimultaneouslycon-sideredwiththetrim-lossproblembyWesterlund13.Recently,Harjunkoski14incorporatedenvironmentalimpactconsiderationsintoageneralframeworkfortrim-lossminimization.G. Schilling, M.C. Georgiadis/Computers & Operations Research 29 (2002) 10411058 1043ThispaperpresentsanalternativemathematicalprogrammingformulationthatresultsdirectlyinaMILPofsmallintegralitygap.Thesalientfeatureofthismodelisthatitdoesnotrequireapriorienumerationofallpossiblecuttingpatterns.Thenextsectionpresentsaformalstatementoftheproblemunderconsiderationandthenotationused.Section3considersthemathematicalformulationoftheobjectivefunctionandtheoperationalconstraints.Thisisfollowedbysomeexampleproblemsincludinganindustrialcasestudyillustratingtheapplicabilityandcomputa-tionalbehavioroftheproposedformulation.2. Problem statement and dataThetaskbeingconsideredhereistoproduceproductrollsofIdi!erenttypes,thewidthoftypeibeingdenotedbyBp71,i1,2,Ifromoneormorestandardrolls.Thelengthsofallrawrollsandoftheproductrollsresultingfromthemareassumedtobeidenticalandxed.Itisbeyondthescopeofthisworktoconsiderthetwo-dimensionalproblemwhereboththewidthsandthelengthsofrawpaperrollsandthecuttingpatternsareconsideredvariables.Productrollsaremostlyproducedtoorder.Theminimumorderedquantityforproductrollsofwidth i is denoted by Np13p9p14p71and is given, and so is the correspondingunit price pp71. However,customersmaybewillingtobuyadditionalrollsoftypeiuptoamaximumquantityNp13p0p24p71subjecttoadiscountofcp3p9p19p2p71foreachproductrolloverandabovetheminimumnumberNp13p9p14p71.Ingeneral,thenumberofadditionalrollssoldinthismannertendstoberathersmallsincethemainincentiveofsuchdiscountingfromthe pointofviewofthe manufacturerismerelyto decreasethe lossthroughtrim.Theproductrollsaretobecutfromrawrollsofdi!erentstandardtypes.Theunitpriceforarawrolloftypetisdenotedbycp18p15p12p12p82anditsnominalwidthbyBp18p15p12p12p82.However,theusefulwidthofa roll of type t is determined by the cutting machine used. In particular, each raw roll typet1,2,ischaracterizedbyamaximumpossibletotalengagementBp13p0p24p82denotingthemaximumtotalwidthofallproductrollsthatcanbecutfromarawrollofthistype.Theremayalsobeaminimumrequiredtotalengagement Bp13p9p14p82forthistypeofroll.IngeneralBp13p9p14p82)Bp13p0p24p82)Bp82, t1,2,.Themaximumnumber Np13p0p24p82ofproductrollsthatcanbecutoutofarawrolloftype t willgenerally be determined by the knives and other characteristics of the available machine.Moreover,insomecases,theremaybelimitationsintheavailablenumberJHp82ofrawrollsofagiventype t.Thecuttingpatternforeachraw rollis determinedby the positionof theknives.Frequentchangesinthesepositionsaregenerallyundesirable.Eachsuchchangemaythereforebeassociatedwithanon-zerocost cp2p8p0p14p6p4.Theproductionoftherequiredproductrollsfromtheavailablerawrollsmayresultintrimwastewhichmayneedtobedisposedof.Thecostofsuchdisposalperunitwidthoftrimisdenotedby cp3p9p19p16.Basedonthegivendata,werstderiveanupperboundJonthenumberofrawrollsthatmayneedtobecut.ThisisobtainedbyassumingthatthemaximumnumberNp13p0p24p71ofproductrollsofeach type i will be produced; that raw rolls of the type t that permits the smallest minimum1044 G. Schilling, M.C. Georgiadis/Computers & Operations Research 29 (2002) 10411058engagement Bp13p9p14p82willbeused;andthateachrawrollwillbeusedtoproduceproductrollsofasingletypeonly.Overall,thisleadstothefollowingupperboundonthenumberofrawrollsthatmayberequired:Jp13p0p24p39p9p71p14p16Np13p0p24p71p87minp82Bp13p9p14p82/Bp71p88. (1)We can also calculate a lower bound Jp13p9p14 on the minimum number of raw rolls that arenecessarytosatisfytheminimumdemandfortheexistingorders.Wedothisbyassumingthatrollsof the type t allowing the maximum possible engagement Bp13p0p24p82are used, and that no trim isproduced.However,wemustalsotakeaccountofpossiblelimitationsonthenumberofavailableknives. Overall, this leads to the following lower bound on the number of rolls that mayberequired:Jp13p9p14maxp7p9p39p71p14p16Np13p9p14p71Bp71maxp82Bp13p0p24p82,p9p39p71p14p16Np13p9p14p71maxp82Np13p0p24p82p8. (2)3. Mathematical formulationTheaimofthemathematicalformulationistodeterminethetypetofeachrawrolljtobecutandthenumberofproductrollsofeachtype i tobeproducedfromit.3.1. Key variablesThefollowingintegervariablesareintroduced:np71p72:numberofproductrollsoftype i tobecutoutofrawroll jafii9773p71: numberofproductrollsoftype i producedoverandabovetheminimumnumberordered.Wenotethat np71p72cannotexceed:p69 themaximumnumber Np13p0p24p71ofproductrollsoftype i thatcanbesold;p69 themaximumnumberofproductrollsofwidth Bp71thatcanbeaccommodatedwithinamax-imumengagementBp13p0p24p82forarawrolloftype t;p69 themaximumnumber Np13p0p24p82ofknivesthatcanbeappliedtoarawrolloftype t.Thisleadstothefollowingboundsfor np71p72:0)np71p72)minp1Np13p0p24p71,maxp16p87p82p87p50Bp13p0p24p82Bp71,maxp16p87p82p87p50Np13p0p24p82p2i1,2,I, j1,2,Jp13p0p24. (3)Also0)afii9773p71)Np13p0p24p71!Np13p9p14p71, i1,2,I. (4)G. Schilling, M.C. Georgiadis/Computers & Operations Research 29 (2002) 10411058 1045Wenotethat afii9773p71needtobeincludedinthemodelonlyif Np13p0p24p71Np13p9p14p71.Wealsointroducethefollowingbinaryvariables:yp82p72p71 ifthe jthrolltobecutisoftype t,0 otherwise.zp72p71 ifthecuttingpatternforpaperroll j isdifferenttothatforroll j!1,0 otherwise.Wenotethat,ingeneral,theindexjwillbeintherange1,2,Jp13p0p24.However,theformulationtobepresentedwillassignatypet onlytotherawrollsjthatareactuallyused.Hence,thetotalnumberofrollstobecutwillalsobedeterminedbythesolutionoftheoptimizationproblem.Thiswillbecomeclearerinthenextsubsection.3.2. Roll type determination constraintsEachrawroll j tobecutmustbeofauniquetype t.Thisresultsinthefollowingconstraints:p50p9p82p14p16yp82p721, j1,2,Jp13p9p14, (5a)p50p9p82p14p16yp82p72)1, jJp13p9p14#1,2,Jp13p0p24. (5b)Notethatfor jJp13p9p14,itispossiblethat yp82p720for all types t;thissimplyimpliesthatitisnotnecessarytocutroll j.Furthermore,thelimitedavailabilityofrawrollsofagiventypetmaybeexpressedintermsoftheconstraintp40p13p0p24p9p72p14p16yp82p72)JHp82, t1,2,. (6)3.3. Cutting constraintsWeneedtoensurethat,ifarolljistobecut,thenthelimitationsontheminimumandmaximumengagementareobserved.Thisisachievedviatheconstraintsp50p9p82p14p16Bp13p9p14p82yp82p72)p39p9p71p14p16Bp71np71p72)p50p9p82p14p16Bp13p0p24p82yp82p72, j1,2,Jp13p0p24. (7)Wenotethatthequantityp9p39p71p14p16Bp71np71p72representsthetotalwidthofallproductrollstobecutoutofrawroll j.Ifyp82p721forsomerolltype t,thenconstraint(7)ensuresthatBp13p9p14p82)p39p9p71p14p16Bp71np71p72)Bp13p0p24p82.1046 G. Schilling, M.C. Georgiadis/Computers & Operations Research 29 (2002) 10411058Ontheotherhand,ifyp82p720forall t,thenconstraint(7)e!ectivelyforcesnp71p720foralli1,2,I.Thisexpressestheobviousfactthatifrolljisnotactuallycut,thennoproductrollsofanytypecanbeproducedfromit.Wealsoneedtoensurethatthenumberofproductrollscutoutofanyrolljoftypetdoesnotexceedthenumberofknivesthatcanbedeployedonrollsofthistype.Thisiswrittenas0)p39p9p71p14p16np71p72)p50p9p82p14p16Np13p0p24p82yp82p72, j1,2,Jp13p0p24. (8)3.4. Production constraintsThetotalnumberofproductrollsofeachtype i thatareproducedcomprisestheminimumorderedquantity Np13p9p14p71forthistypeplusthesurplusproductionafii9773p71:p40p13p0p24p9p72p14p16np71p72Np13p9p14p71#afii9773p71, i1,2,I. (9)Theseconstraints,togetherwiththeboundsonafii9773p71,ensurethatthequantityofproductrollsoftypei producedliesbetweentheminimumandmaximumbounds Np13p9p14p71and Np13p0p24p71,respectively.3.5. Changeover constraintsIfchangingthecuttingpatternincursanon-zerocost cp2p8p0p14p6p40,weneedtodeterminewhensuchchangeswilltakeplace.Tothisend,weincludethefollowingconstraint:!Mp71zp72)np71p72!np71p11p72p92p16)Mp71zp72, i1,2,I, j2,2,Jp13p0p24. (10)Notethatthiswillallowzp72tobezeroonlyifnp71p72np71p11p72p92p16forallproductrollsi,i.e.ifrollsjandj!1arecutinexactlythesameway.Here,theconstantMp71isanupperboundonnp71p72(seeSection3.1).3.6. Objective functionTheobjectiveoftheoptimizationistomaximizethetotalprotoftheoperationtakingaccountof:p69 Theincomefromthesalesofproductrollsofeachtype i.Thiscomprisestheincomefromsellingtheminimumorderedquantities Np13p9p14p71atthefullunitprice pp71,plus theincomeof sellingtheadditionalquantities afii9773p71atthe discountedunitpricepp71!cp3p9p19p2p71:p39p9p71p14p16(pp71Np13p9p14p71#afii9773p71(pp71!cp3p9p19p2p71).p69 Thecostsoftherollstobecut.Generally,thecostofeachrolldependsonitstype.Thetota
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