Billingsley, P. Ergodic Theory and Information_第1页
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文档简介

Buchbesprechungen BENNETT, B. M., and C. HORST: Supplement to Tables for Testing Significance in a 2 x 2 Contingency Table. Cambridge University Press, London 1965. 28 S., Preis 5 s. Der vorliegende Nachtrag stellt eine Ergiinzung der bereits friiher von D. J. FINNEY, R. LATSCHA, B. M. BENNETT und P. Hsn zusammengestellten Tabellen (vgl. Rezension in Bd. 7, 1965, S. 273 dieser Zeitschrift) dar, die 1963 fur die BIOMETRICA vom Cam- bridge University Press veroffentlicht wurden. Die Errechnung begriindet sich auf dem von P. Hsu, einem der vorherigen Au+,oren, vorbereiteten I. B. M.-Programm und wurde von C. HORST unter Anleitung von B. M. BENNETT durchgefiihrt. BILLINQSLEY, P.: Ergodic Theory and Information. John Wiley & Sons, Inc., New Nit diesem Buch wird die neue Reihe ,Tracts on Probability and Mathematical Sta- tistics unter den ,Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics eroffnet. In dem bemerkenswerten Vorwort zur vorliegenden Monographie berichtet D. KENDALL iiber den Sinn und den Zweck dieser neuen Reihe: Es sollen ,neue mathematische Entwick- lungen allgemein zugiinglich gemacht werden, solange noch die Pulse des Lebens in ihnen schlagen und bevor sie eine kuhle Bestiindigkeit erreicht haben. AuBerdem gibt er der Hoffnung Ausdruck, die ,Tracts immer auf dem miiBigen Umfange dieses ersten Buches halten zu konnen und ,mit dieser Serie auch einen Beitrag zur Verbesserung des gegen- wiirtigen Standards in der Ausgestdtung und im Druck mathematischer Bucher zu leisten. Die Monographje gliedert sich in fiinf Kapitel. Im 1. Kapitel ,Ergodic Theory werden die maD- und wahrscheinlichkeitstheoretischen Grundbegriffe der Theorie, insbesondere der Begriff der meBbaren Transformation eingefiihrt. (In der Ergodentheorie werden die- jenigen Transformationen studiert , die die Struktur von MaDriiumen ungeiindert lassen.) Nachdem die Begriffe Ergodizitit und Mischung erkliirt und an Beispielen erliiutert worden sind, wird das Ergodentheorem formuliert und es werden Folgerungen daraus ge- zogen. Es folgt ein erster Beweis des Ergodentheorems, danach die Formulierung und der Beweis des maximalen Ergodentheorems und daran anknupfend ein zweitm Beweis des Ergodentheorems. Nach der Behandlung einiger weiterer Beispiele, die fur spiitere Er- liuterungen wichtig sind, schlieBt das Kapitel mit einer Anwendung der bis dahin auf- gebauten Theorie auf Kettenbruche und auf die Diophantische Approximation. - Im 2. Kapitel ,Entropy wird das Isomorphieproblem fur maltreue Transformationen dar- gelegt und es werden invariante Eigenschaften in bezug auf den eingefiihrten Begriff der Isomorphie genannt. Wesentliche Invariante ist die von KOLMOGOROV, ausgehend von SHANNoNschen Uberlegungen eingef uhrte Entropie einer Transformation. Der Begriff der Entropie wird eingehend untersucht und das KOLMoGoROv-SIN-Theorem bewiesen, mit dessen Hilfe in vielen Fiillen die Entropie einer Transformation berechnet werden kann. Damit sind wesentliche Ergebnisse gewonnen, die spLter auf die informationstheoretischen Probleme angewendet werden konnen. Eine Reihe offener Probleme im Zusammenhang damit, ob die Entropie eine vollstindige Invariante ist, wird noch am SchluB dieses Ka- pitels genannt. - Das 3. Kapitel beschiiftigt sich in der iiblichen maBtheoretischen Weise mit der Definition und den Eigenschaften der bedingten Wahrscheinlichkeit und der be- dingten Erwartung. - Im 4. Kapitel ,Convergence of Entropy wird der Begriff der be- dingten Entropie eingefiihrt. AnschlieBend wird das SANNON-MCMILLAN-BREIMAN-Theo- rem bewiesen und auf den Zusammenhang zwischen Entropiebegriff und dem allgemeinen York 1965. XI11 + 193 S. Abb., Tab. Preis 64 s. Buchbesprechung eh 85 Begriff der Dimension hingewiesen. - Im 5. Kapitel ,Coding werden die bisher gewonnenen Kenntnisse benutzt, um die bekannten Kodierungstheoreme fir Kmiile ohne Gediichtnis zu beweisen, und zwar zuniichst fiir Kaniile ohne Rauschen. Danach wird der Begriff eines Kanals mit Rauschen definiert und damn anschlieBend das Kodierungstheorem fiir diese Kaniile bewiesen. Der Beweis des FamsTmschen Theorems und des direkten Theorems fur Blockkodierungen beschlieden dieses Kapitel .- Ein Literaturverzeichnis, ein Ver- zeichnis der verwendeten Beispiele und ein Stichwortverzeichnis bilden den SchluB dea Buches. Das ganze Buch ist, so darf der Rez. wohl ausdriicken, in dem klaren und durchsichtigen Wosschen Stile geschrieben. (Vgl. HALMOS: Meaaure Theory 1950, Lectures on Er- godio Theory 1956). Die heuristischen fherlegungen, die mit den einzelnen Problemen erliiuternd verbunden sind, erleichtern das Verstiindnis sehr. So werden beispielsweise oft wahrscheinlichkeitstheoretische Probleme damit verdeutlicht, daB Verf. die Gottin des Gliickes, TYCHE, die Wurfel werfen liiBt. - Die Bemerkungen am Ende mancher Ab- schnitte bieten einen gedriingten historischen uberblick und erleichtern gleichzeitig das Eindringen in die Literatur iiber die behandelten Gegenstiinde. Die vorliegende Monographie erfiillt genau die Hoffnungen, die im Vorwort D. KEN- DALLS ausgesprochen wurden; sie bildet eine gediegene Einfiihrung in den fioblemkreis der Ergoden- und Informationstheorie und gleichzeitig einen vielversprechenden Auftakt der neuen Serie ,Tracts on Probability and Mathematical Statistics. Der auch in Druck und Ausstattung vorzuglichen Monographie ist weite Verbreitung zu wiinschen. S. Claus BLOEMENA, A. R.: Sampling from a Graph. Mathematical Centre Tracts 2. Mathe- Der anschauliche Hintergrund dieser Arbeit liiBt sich an folgendem 6kologischen oder virologischen Problem erliiutern. Wird ein Feldversuch mit dem Ziel angelegt, die Ver- breitung kranker Pflanzen im Bestand aller Pflanzen des Versuches zu untersuchen, wenn die Art und Weise, mit der sich die Krankheit ausbreitet, unbekannt ist, so wird ein anderer Mechanismus fur das Zustandekommen einer zufiilligen Verteilung der kranken Pflanzen im Bestand anzunehmen sein als fur ein gmppenweises Auftreten kranker Pflanzen (Cluster- bildung). Um einen Test fur die Hypothese zu gewinnen, ob r kranke Pflanzen zufiillig verteilt unter n Pflanzen eines im Rechteckgitter stehenden Bestandes auftreten, wird fiir jede der T Pflanzen ausgeziihlt, wie viele kranke Pflanzen in ihrer unmittelbaren Nach- barschaft stehen. Die Summe dieser Ansahlen bildet eine Teststatistik fiir einen asympto- tischen Test der genannten Hypothese zufiilliger Anordnung. Dieser schon von anderen Autoren (TODD, MORAN, KRISHNA IYER, FREEMAN) vorgeschiagene Text wird vom Verf. auf den Fall verallgemeinert, daB die krankmachende Wirkung beispielsweise durch In- sekten von Pflanze zu Pflanze iibertragen wird. Eine kranke Pflrtnze beeinflu5t dann nicht nur ihre unmittelbaren Nachbarn, sondern auch andere Pflanzen in der weiteren Umgebung. Ein Test fur die oben genannte Hypothese diirfte an Stirke gewinnen, wenn die Test- statistik neben der Anzahl der Paare unmittelbar benachbarter kranker Pflanzen auch noch den in geeigneter Weise definierten Abstand zwischen weiter entfernt stehenden kranken Pflanzen beriicksichtigt. An dieser Stelle setzen die poetum veroffentlichten nberlegungen kombinatorisch-topologischer und wahrscheinlichkeitstheoretischer Art des im Jahre 1960 verstorbe

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