学习三角函数奇偶性应关注的几个问题

学习三角函数奇偶性应关注的几个问题学习三角函数奇偶性应关注的几个问题数学之友2010 年第 24 期解索学习三角函数奇偶性应关注的几个问题杨建柏(江苏省海头高级中学,222111)函数的奇偶性是函数的重要性质,是高考考查的重要内容.函数奇偶性最典型的数学模型是三角函数的奇偶性,它能准确地描绘出函数奇偶性的特性,因此帮助学生准确全面地掌握三角函数的奇偶性,对于其深刻认识函数的性质具有重要意义.1 判断三角函数奇偶性,首先判断函数的定义域是否关于原点对称根据函数奇偶性的定义,函数_厂()的定义域内任意一个 X,都必须满足-厂(一)=)或一)=一.厂(),即任意一个 ,必有一个一对应.可见函数学习三角函数奇偶性应关注的几个问题的奇偶性是一个整体性质,是对于整个定义域而言的.函数具有奇偶性的一个必要条件是:其定义域关于原点对称,三角函数的奇偶性也不例外.尽管如此,在研究三角函数的奇偶性时,考生们往往会忽略定义域,因为三角函数的定义域不像其他基本初等函数那样容易看出.例 1 判断函数/()=;的奇偶性.错解 1:厂()=cos,( 一 )=lSl 似COS(一 X)=COSX=),所以-厂() 为偶函数.错解 2 一)=c.s, 又厂 ()c0s(1 一 sinx)= 一=COSX,lSlnx即厂(一)=fl),所以)为偶函数.错因分析:解法中虽然得到了 f(一)=-厂(),但是厂()的定义域为l昔+2kTr,kEZ不关于原点对称)为非奇非偶函数.学习三角函数奇偶性应关注的几个问题事实上,上例使用了约分化简的方法,化简过程中,约去 1 一 sinx 时,没有检验其是否为零.它是函数化简后定义域的一个组成部分,但不属于原函数的定义域,可见原函数定义域不关于原点对称,所以还是非奇非偶函数.而化简过程不是恒等变形是导致误判的根本原因.因此判断函数奇偶性时,如果忘记判断定义域是否关于原点对称,还可以检查约分过程中可能出现的不恒等变化,以及化简得到的最简结果的定义域的对称性作为补救措施.2 三角函数奇偶性的两个特殊性质2.1/0)=0 是函数),=Asin(+)为奇函数的充要条件三角函数 Y=Asin(o)x+)为奇函数,由于厂(0)有意义,图像必过原点,即满足-厂(0)=0.反过来 ,因为)=Asin(fOX+)的图像是中心对称图形,若0):0, 原点必是对称中心,f()=Asin(+)的图像关于原点成中心对称.所以),=Asin(+)为奇函数.这一点与一般的初等函数有很大的区别,学习三角函数奇偶性应关注的几个问题即对于一般的函数来讲,f(0)=0 仅仅是函数为奇函数的必要不充分条件.同理,对于函数 Y=Atan(+),只要其中心(竺 ,.)或 I,.ff:,.1,(z)中有一个落在原点处,该函数就是奇函数.值得注意的是正切函数有 2 类对称中心,一个在图形上,一个在图形外.例 2 将函数厂()=tan(2+寻)的图像平移后得到奇函数 g()的图像,要使平移距离最近,则(A) 向右平移詈单位(B)向左平移詈单位(c)向右平侈 ql”半 ta_(D)向左平移单位错解:将函数):tan2+寻)的图像向右平移詈后,得到 g(x)=tan2x.故选 A.错因分析:函数)=tan2+ 等) 的图像有两类对称中心(一詈,o),(+,ff,o),(z).将距离原点最近的两个点(一詈,0),( 下转第 9l 页)?R9?数学之友2010 年第 24 期错解:函数的单调增区间为0,+O0).学习三角函数奇偶性应关注的几个问题错误的原因在于没有考虑定义域,本题需考虑一110,即定义域为I 一 1 或1给出的答案已经超过了定义域的范围,比如说=0 时函数无意义,所以说答案0,+)是错误的.正解:先求定义域一 10,即函数的定义域为I 一 11.令 t=一 1,因为=一 1 在1,+)是增函数,函数 g()=也是增函数,所以由复合函数的单调性可知函数,()=一 1 在1,+)上单调递增,即函数的单调递增区间为1,+).5 定义域在求函数奇偶性中的作用判断函数的奇偶性,应先考虑函数的定义域是否关于坐标原点对称,如果定义域关于坐标原点对称,那么该函数才有可能成为奇函数或偶函数,否则该函数是非奇非偶函数.例 5 判断函数 f(x)=一 1,0,3 的奇偶性错解:因为一)=(一)一 1=一 1=厂(),所以函数 I 厂()=一 1,0,3 为偶函数.学习三角函数奇偶性应关注的几个问题此种解法没有考虑函数的定义域是否关于坐标原点对称,这是学生判断函数的奇偶性时很容易忽略的一点,所以导致了解题的错误.正解:因为函数 I 厂()=一 1,0,3 的定义域为0,3,不关于坐标原点成中心对称,所以此函数为非奇非偶函数.(上接第 89 页)fqT,0l 平移到坐标原点,分别得,1,至 Ug()=tan2x 和 g()=一 tan2x,而 g()=一tan2x 的对称中心是(0,0), 也是奇函数,容易忽略 .正确答案是 D.2.2.f(0)=A 是函数 Y=Asin(+)为偶函数的充要条件三角函数 Y=Asin(+)图像是轴对称图形,厂(0)=A 说明图像在与 Y 轴交点处取得最值,也就是说 Y 轴是其一条对称轴,偶函数的图像是关于Y 轴对称的,所以三角函数 Y=Asin(+)是偶函数.反过来,三角函数 Y=Asin(+)是偶函数,函数图像在与 Y 轴交点处取得最值,即-厂(0)=A.学习三角函数奇偶性应关注的几个问题3 三角函数奇偶性在计算中的应用y,J3 已知函数)=(ER)最6 定义域在求函数周期中的作用函数的周期性是指:对于函数 Y=厂(),如果存在个不为零的常数 T,使得取定义域内的每一个值时+T)=)都成立,那么就把函数 Y=,()叫做周期函数,不为零的常数 T 叫做这个函数的周期.在定义中也强调了”取定义域内的每一个值”,所以在考虑函数的周期性时一定要考虑函数的定义域.例 6 下列关于函数)=sin2x,0,lOw的说法中正确的序号是.(1)函数 .厂 ():sin2x,0,10w的值域为一 1,1;(2)函数 /()=sin2x,0,10r是奇函数;(3)函数 )=sin2x,0,l0 叮 T的最小正周期为叮 r;(4)函数 )=sin2x,E0,l01T的单调增区学习三角函数奇偶性应关注的几个问题间为 l0,等 1.L 厶 J正确的答案应该是(1).其中(3) 是错误的 ,因为函数的定义域为0,1O 耵,所以函数根本不存在周期性.综上所述,在求函数解析式,最值,值域,单调性,奇偶性,周期性等问题中,都需要先考虑函数的定义域.这种训练能够帮助学生完善思维的严谨性,进而提高其学习水平.pppp大值为,最小值为 m,则+m=.分析:奇函数的图像关于原点对称,显然其最大值与最小值互为相反数,本题可以考虑利用这一性质.解)=1+,m+,m 一1一 1.而函数 g():为奇函数,最大值为 M 一 1,最小值为 m 一 1,满足 M 一 1+m一1:0,即+m=2.