2011年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试题与解

2011年浙江省高中数学竞赛试题参考解答与评分标准说明：本试卷分为A卷和B卷：A卷由本试卷的22题组成，即10道选择题，7道填空题、3道解答题和2道附加题；B卷由本试卷的前20题组成，即10道选择题，7道填空题和3道解答题。一、选择题(本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分)1.已知53,42，则1sin21sin2+可化简为(D)A2sinB.2sinC.2cosD.2cos解答：因为53,42，所以1sin21sin2+=cossincossin+2cos=。正确答案为D。2如果复数()()21aii+的模为4，则实数a的值为(C)A.2B.22C.2D.22解答：由题意得22442aa+=。正确答案为C。3.设A，B为两个互不相同的集合，命题P：xAB，命题q：xA或xB，则p是q的(B)A.充分且必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分且非必要条件解答：P是q的充分非必要条件。正确答案为B。4.过椭圆2212xy+=的右焦点2F作倾斜角为45ringoperator弦AB，则AB为(C)A.263B.463C.423D.433解答：椭圆的右焦点为(1，0)，则弦AB为1,yx=代入椭圆方程得2212124423400,2()33xxxxABxx=。正确答案为C。5.函数150()510xxxfxx=的解为(C)A.3x或2x或1x或1x=+。正确答案为C。二、填空题(本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分)11.函数()2sin3cos2xfxx=的最小正周期为_4_。解答：最小正周期为4。12.已知等差数列na前15项的和15S=30，则1815aaa+=_6_.解答：由1513072Sad=+=，而181513(7)6aaaad+=+=。13.向量(1,sin)a=arrowrightnosp，(cos,3)b=arrowrightnosp，R，则abarrowrightnosparrowrightnosp的取值范围为1，3。解答：22(1cos)(sin3)52(cos3sin)ab=+=arrowrightnosparrowrightnosp=54sin()6，其最大值为3，最小值为1，取值范围为1，3。14.直三棱柱111ABCABC，底面ABC是正三角形，P，E分别为1BB，1CC上的动点(含端点)，D为BC边上的中点，且PDPE。则直线,APPE的夹角为_90ringoperator_。解答：因为平面ABC平面11BCCB，ADBC，所以AD平面11BCCB，所以ADPE，又PEPD，PE平面APD，所以PEPD。即夹角为90ringoperator。15设yx,为实数，则=+=+)(max22104522yxxyx_4_。解答：222254104105002xyxyxxx+=22222224()1025(5)2534xyxxxxy+=+16.马路上有编号为1，2，3，2011的2011只路灯，为节约用电要求关闭其中的300只灯，但不能同时关闭相邻两只，也不能关闭两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有_3001710C_种。(用组合数符号表示)解答：问题等价于在1711只路灯中插入300只暗灯，所以共有3001710C种关灯方法。17.设zyx,为整数，且3,3333=+=+zyxzyx，则=+222zyx_3或57_。解答：将3zxy=代入3333=+zyx得到83()9xyxyxy=+，因为,xy都是整数，所以1428,25116xyxyxyxyxyxyxyxy+=+=+=+=前两个方程组无解；后两个方程组解得1;4,5xyzxyz=。所以=+222zyx3或57。三、解答题(本大题共3小题，每小题17分，共计51分)18.设2a，求xxy)2(=在2,a上的最大值和最小值。解答：当20,(1)1,xyx=+当20,(1)1,xyx=-5分由此可知max0y=。-10分当2min12,2ayaa=；当min121,1ay=又所以。AC-17分四、附加题(本大题共2小题，每小题25分，共计50分)21.在锐角三角形ABC中，3=A，设在其内部同时满足PBPA和PCPA的点P的全体形成的区域G的面积为三角形ABC面积的31。证明三角形ABC为等边三角形。解答：做ABC的外接圆O，做,OEABE于,OFACF于,OMBC于M则G为四边形AEOF。又1,2223ABCAEOAOFAOBAOCAEOFAEOFSSSSSSS=+=+四边形四边形所以13OBCABCSS=。-10分1120,302BOCOBC=ringoperatorringoperator由已知则,则OM=R(R为ABC外接圆半径)3,2ADBCDADAOOMR+=作于则13322ABCOBCRSBCS=，等号成立当且仅当A、O、M共线，即ABC为等边三角形。-25分22.设+Rcba,，且3=+cba。求证：23222+acaccbcbbaba，并指明等号成立的条件。EFOBMD证明：由柯西不等式22111()niniiniiiiaabb=得到acaccbcbbaba+2222()62()abcbacabc+(1)-10分(1)式右边的分子=2()2()abc