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文档简介

第四章 矩阵分解,矩阵分解,矩阵的满秩分解正交三角分解奇异值分解极分解谱分解,4.1 矩阵的满秩分解,定理1.1:设 , 则存在 ,使得,证明:,(1)因为A的秩是r,所以有r个线性无关的列,可以设 A 的前r列向量是线性无关的。,定理1.1:设 , 则存在 ,使得,证明:,(2) 若 A 的前r列向量是线性相关的,那么可以做相应的列初等变换使其前r个列向量线性无关。,例题1.1, 1.2,矩阵的满秩分解是不唯一的,但是它们之间满足:,定理1.2:若 均为A的满秩分解,那么,4.2 矩阵的正交分解(UR、QR分解),定理2.1:设 , 则 A 可以唯一的分解为,主对角线元素为正的,证明:,酉矩阵,正线上矩阵,单位矩阵,定理2.2:设 , 则 A 可以唯一的分解为,推论2.2:设 , 则 A 可以唯一的分解为,推论2.3:设 , 则 A 可以分解为,例题2.1,习题,矩阵的奇异值分解在最优化问题、特征值问题、最小二乘法问题、广义逆矩阵问题及信号与图像处理,系统理论和控制等等方面都有重要应用,4.3 矩阵的奇异值分解,本书中只考虑i=1,3,r时非零奇异值,例4.3.1,定理3.2: 若矩阵A是正规矩阵,则A的奇异值是A的非零特征值的模。,定理3.3:对任一矩阵 , 是A的r个正奇异值,则存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V,满足,证明:,定理3.4:对任一矩阵 , 是A的r个正奇异值,则存在次酉矩阵 ,满足,次酉矩阵?就是行数大于列数,且各列可以组成标准正交向量组的矩阵。,奇异值分解的几何意义,研究将一个空间映射到不同空间,特别是不同维数的空间时,就需要用矩阵的奇异值来描述算子对空间的作用了.,V是正交矩阵,表示二维空间的一个旋转,D 将平面上的圆变换到三维空间坐标平面上的椭 圆,V是正交矩阵,表示二维空间的一个旋转,S 维将 空平 间面 坐上 标的 平圆 面变 上换 的到 椭三 圆,U是正交矩阵,表示三维空间的一个旋转,奇异值分解方法2-利用矩阵AAH求解,1先求矩阵AAH的酉相似对角矩阵及酉相似矩阵U;,4扩充V1为酉矩阵V=(V1 ,V2)5 构造奇异值分解,2记,3令,例 求矩阵A的奇异值分解,利用矩阵AAH求解,例4.3.2:例4.3.3,奇异值分解的特征,1.奇异值分解可以降维,A表示 个 维向量,可以通过奇异值分解表示成 个 维向量.若A的秩 远远小于 和 , 则通过奇异值分解可以降低A的维数.可以计算出,当 时,可以达到降维的目的,同时可以降低计算机对存贮器的要求.,2. 奇异值对矩阵的扰动不敏感,特征值对矩阵的扰动敏感. 在数学上可以证明,奇异值的变化不会超过相应矩阵的变化.,3. 奇异值的比例不变性,即 的奇异值是A的奇异值的 倍.,4.奇异值的旋转不变性.即若P是正交阵,PA的奇异值与A的奇异值相同.,奇异值的比例和旋转不变性特征在数字图象的旋转、镜像、平移、放大、缩小等几何变化方面有很好的应用.,5. 容易得到矩阵A的秩为 的一个最佳逼近矩阵. 奇异值的这个特征可以应用于信号的分解和重构,提取有用信息,消除信号噪声.,4.4矩阵的极分解(略),4.5 矩阵的谱分解,左特征向量,给定n阶矩阵A,是A的特征值。由于AT与A有相同的特征值,设Y是AT的属于的特征向量,则,称YT是A的属于的左特征向量,也称A的属于的特征向量为右特征向量.,两端取转置得:,一、单纯形矩阵的谱分解,若A的每个特征值的代数重复度与几何重复度相等,则称A为单纯矩阵,设A是 n阶单纯矩阵, 1, 2, , n 是A 的n个不同特征值,x1,x2, ,xn是A的n个线性无关的特征向量,P=(x1,x2, ,xn),则:,这表明AT也与对角矩阵相似,故AT也是单纯矩阵,其中,性质:单纯矩阵不同特征值的左右特征向量是正交的,以矩阵特征值的代数重复度都为1为例加以证明:,设y1,y2, ,yn是AT的n个线性无关的特征向量.则,( y1,y2, ,yn ) = (PT )-1 = (P-1 ) T,从而,即:,对于单纯矩阵A(矩阵特征值的代数重复度都为1),,-矩阵A的谱分解,即单纯矩阵A分解成n个矩阵Gi之和的形式,其系数组合是A的谱(所有相异的特征值)。,由,则,对于 有下面的性质:,(2),例1 求矩阵A的谱分解,由,得,设A的左特征向量为,则,因为 满足,可解得,从而,单纯矩阵A的谱分解定理,设单纯矩阵 的谱为 ,,则存在唯一的,其代数重数分为,使,2.设n阶单纯矩阵特征值的代数重复度不全为1,例2:求单纯矩阵,的谱分解,由矩阵A的特征多项式,得A的特征值,及相应的线性无关的特征向量,为,P=(x1,x2,x3)设 对应的左特征向量为,则由,得,同理得:,则,从而,例5.3:,定理5.1:设n阶矩阵A为有r个相异特征根 ,则A是正规矩阵的充要条件是存在r个n阶矩阵, 满足,二、正规矩阵的谱分解,例5、求正规矩阵,的谱分

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