机床工作台的动力学分析.pdf

2008年9月第36卷第9期机床与液压MACHINETOOL&HYDRAULICSSep12008Vol136No19收稿日期:2007-12-05作者简介:张会端(1972),女,博士研究生,主要研究方向为机械振动学。谭庆昌(1957),男,教授,博士生导师,研究方向为机械传动与控制。电话E-mail:tanqcjlu1edu1cn。机床工作台的动力学分析张会端,谭庆昌,裴永臣(吉林大学机械科学与工程学院,吉林长春130025)摘要:在考虑丝杠与螺母之间的接触关系以及轴承支承刚度的情况下,利用拉格朗日方程建立了滚珠丝杠传动系统的动力学方程,用振型叠加原理和隆格-库塔法进行求解,研究了滚珠丝杠传动系统的瞬态响应,按正交试验计算分析了系统参数对工作台轴向振动的影响,优化组合了系统参数,为滚珠丝杠传动系统参数的选择以及装配调整提供了理论依据,为提高工作台轴向定位精度奠定了基础。关键词:机床；动力学；传动系统；参数优化中图分类号:TB122文献标识码:A文章编号:1001-3881(2008)9-068-4TheDynamicAnalysisoftheWorktableofMachinesZHANGHuiduan,TANQingchang,PEIYongchen(CollegeofMechanicalScienceandEngineering,JilinUniversity,ChangchunJinlin130025,China)Abstract:Intheconditionofconsideringboththebearingstiffnessandthecontactdeformationbetweentheballscrewandthenut,dynamicmodeloftheballscrewdrivesystemofmachineswasestablishedusingLagrangeequation.ThemodelwasanalyzedbythemodesuperpositionandRunge2Kuttamethodtocalculatethetransientresponseofthesystem.Fromtheorthogonalexperiment,effectofthesystemparametersonaxialvibrationofthemachineworktablewasstudied,theoptimisticsystemparametersforthemini2mumvibrationwereobtained.Keywords:Machine；Dynamic；Drivesystem；Parameteroptimizing0引言机床传动系统一般包括伺服电机、滚珠丝杠以及随螺母做轴向往复运动的工作台。随着进给速度和加工精度的提高,工作台的运动精度和传动系统控制成为人们关注和研究的焦点1-4。研究传动系统的振动是利用控制技术提高工作台运动精度和定位精度的基础,特别是伺服电机越来越广泛的应用,使得传动系统瞬态响应的研究越来越重要5。滚珠丝杠传动系统的振动,可以看作是带有移动质量块的梁的振动。ArashYavari等6用离散单元研究了带有移动质量块的Timoshenko梁的横向振动。S1Zibdeh等7研究了Euler2Bernoulli梁、Rayleigh梁和Timoshenko梁在移动的随机力作用下的横向振动。P1Lee8研究了简支条件下受移动质量块作用的Timo2shenko梁的横向振动,并与在移动力作用下的横向振动做了比较。U1C1Cu和C1C1Cheng9研究了由伺服电机驱动的带有移动质量块轴的扭转和弯曲振动。PaoloGallina10研究了带有移动螺母的丝杠的扭转振动与纵向振动。机床工作时,工作台受力如图1所示:垂直于导轨底面的主切削力Pc,与吃刀方向相反的背向力Pr,沿x方向的进给力Pe,工作台移动时产生的摩擦力Ff。主切削力与背向力由机床导轨的底面及侧面支承,因此,沿滚珠丝杠轴向受到的外力为工作台与导轨之间的摩擦力Ff以及工作台受到的进给力Pe,二者组成轴向力Pu通过工作台作用到丝杠上。图1传动系统示意图在滚珠丝杠传动系统中,丝杠和螺母之间产生的轴向接触变形和扭转接触变形,是导致丝杠产生纵向振动和扭转振动的主要激励,引起螺母产生轴向位移,从而影响工作台的定位精度,所以丝杠的纵向振动和扭转振动是研究丝杠传动精度首先应考虑的问题10-11。笔者考虑了丝杠与螺母之间的接触变形以及轴承的支承作用,利用拉格朗日方程,建立了滚珠丝杠与质量块(即工作台)系统的动力学方程,利用振型叠加原理和隆格-库塔法求解,分析了传动系统的参数对工作台轴向振动的影响,获得了使振幅减小的优化参数组合,为滚珠丝杠传动系统的设计和装配提供了理论依据,为提高工作台定位精度奠定了基础。1滚珠丝杠传动系统的动力学模型图2滚珠丝杠传动系统的动力学模型滚珠丝杠传动系统的动力学模型如图2所示,各参数含义见附录。丝杠以角速度转动,质量块沿x轴的位移s(t),包括丝杠转动引起的轴向位移d、丝杠的扭转变形引起的质量块的轴向位移(d,t)(忽略二阶小量)、丝杠的轴向变形引起的质量块的轴向位移u(d,t),以及质量块在螺母与丝杠接合处的局部振动位移qs,记为:s(t)=d+(d,t)+u(d,t)+qs(1)滚珠丝杠传动系统的动能表示为:T=12ms2+12L0A9u(x,t)9t2dx+12L0J+9(x,t)9t2dx(2)滚珠丝杠传动系统的势能表示为:U=12L0EA9u(x,t)9x2dx+12L0GJ9(x,t)9x2dx+12kuq2s+12k(d,t)2+12ku1u(0,t)2+12ku2u(L,t)2+12k1(0,t)2+12k2(L,t)2(3)系统耗能函数表示为:D=12cuq2s+12c9(d,t)9t2+12cu1du(0,t)dt2+12cu2du(L,t)dt2+12c1+d(0,t)dt2+12c2+d(L,t)dt(4)系统外力为质量块所受摩擦力和进给力的合力Pu,所做虚功表示为:Wu=Pus(5)由文献12-13,设丝杠的纵向振动、扭转振动位移函数在时间和空间上可分离,并表示为:u(x,t)=U(x)qu(t)(6)(x,t)=(x)q(t)(7)将式(6)和(7)代入式(2)、(3)、(4)后,连同式(5),根据拉格朗日方程,并利用式(1),整理后得系统的动力学方程为:Mq+Cq+Kq=F(t)(8)其中:q=squqT,q,q分别代表加速度和速度,M、C、K分别为系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵,F(t)为力向量。2丝杠的频率方程与振型函数211丝杠的纵向振动由文献12-13,设丝杠纵向振型函数为:U(x)=Csinuaux+Dcosuaux(9)边界条件为:EAdU(x)dxx=0-ku1U(0)=0(10)EAdU(x)dxx=L+ku2U(L)=0(11)其中:au=E,C、D为常数。将式(9)代入以上两式,得:EACuau-ku1D=0(12)EACuaucosuauL-DuausinuauL+ku2CsinuauL+DcosuauL=0(13)令C=ku1au,由式(12)、(13)可得丝杠的纵向振动频率方程为:(E2A22u-ku1ku2a2u)sinuauL=EAuau(ku1+ku2)cosuauL(14)把C=ku1au和式(12)代入式(9),可得考虑轴承支承刚度的丝杠纵向振型函数:U(x)=ku1ausinuaux+EAucosuaux(15)为使振型函数唯一,把振型函数正则化,即令2uL0AU2(x)dx=1(16)把式(15)代入式(16),得:2u=1Ak2u1a2u+E2A22u2L+au4u(E2A22u-k2u1a2u)sin2uauL+ku1EAa2u21-cos2uauL(17)则两端轴承支承的丝杠纵向振动正则振型为:U(x)=uku1ausinuaux+EAucosuaux(18)96第9期张会端等:机床工作台的动力学分析212丝杠的扭转振动设丝杠扭转振动的振型函数为:(x)=Csinafx+Dcosafx(19)与纵向振动同理,可得两端轴承支承的丝杠扭转振动的频率方程与正则振型为:(G2J22f-kf1kf2a2f)sinfafL=GJfaf(kf1+kf2)cosfafL(20)(x)=fkf1afsinfafx+GJfcosfafx(21)其中:af=G2f=1Jk2f1a2f+G2J22f2L+af4f(G2J22f-k2f1a2f)sin2fafL+kf1GJa2f21-cos2fafL3模型验证为验证本文传动系统模型的正确性,在方程(8)中,令s=0,(x,t)=0,ku1、k1,ku2=k2=0,m=0,ku=k=0,=0,不计阻尼,轴向力P(t)=Psint作用在杆的右端,则模型简化为文图3杆纵向振动的对比献14中一端固定、另一端自由的杆的纵向振动。为与该文献的结果对比,取P=200N、=2进行计算,结果如图3所示。图中曲线吻合,说明本文建立的系统动力学方程(8)是正确的。4结果与分析把频率及相应的振型函数式(18)、(21)代入式(8),利用振型叠加原理和隆格-库塔法求解方程,分析工作台沿丝杠的运动。根据式(1)可知,丝杠转动引起的质量块位移s1=d为线性位移,而系统振动引起的质量块位移s2=(d,t)+u(d,t)+qs为波动位移,是影响定位精度的主要因素,所以下面分析传动系统参数对s2的影响。按正交试验,利用L12(211)正交表,确定要分析的参数及其取值,见表1。根据表1的数据,计算位移s2,分析各参数对质量块振幅的影响,结果见表2。由表可见,丝杠的导程越大,质量块s2的振幅越小；质量块的质量越小,振幅越小；质量块与丝杠连接的轴向接触刚度越大,扭转刚度越小,质量块振幅越小；丝杠两端的轴承纵向支承刚度越大,扭转刚度越小,质量块的振幅越小；而系统各连接处的阻尼和系统所受的轴向力对质量块的振幅影响不大。表1按正交试验选取的系统参数及其取值取值参数ku1=ku2/(Nm-1)k1=k2/(Nrad-1)ku/(Nm-1)k/(Nrad-1)m/kgh/mmcu/(Nsm-1)c/(Nsrad-1)cu1=cu2/(Nsm-1)c1=c2/(Nsrad-1)Pu/N140001002000400300815050200304002600020030008005001030010040060800表2各参数对质量块振幅影响的分析结果10-4m参数1234567891011s2j131222179316221882131416421822198218921902193s2j221763119213631103167113431163100310931083105Rj01460140112601221136313001340102012001180112优值21211211111主次参数4537216118910注:s2j1、s2j2为各参数取不同值时,质量块振幅的极差分析的均值；Rj为各参数的极差。根据减小s2的幅值,提高工作台运动精度的原则,通过正交计算分析,确定传动系统参数的优化组合:ku1=ku2=6000N/m；k1=k2=100N/rad；ku=3000N/m；k=400N/rad；m=300kg；h=10mm；cu=150N/rad；c=50N/rad,cu1=cu2=200Ns/m；c1=c2=30Ns/rad；Pu=400N。按优化参数计算质量块的振动曲线,如图4所示。质量块在最初的波动之后很快趋于平稳,且振幅较小,说明通过调整传动系统的参数,可以使工作台处于比较平稳的轴向移动状态。图4质量块的优化振动曲线07机床与液压第36卷5结论笔者利用拉格朗日方程建立了滚珠丝杠传动系统的动力学方程,用振型叠加原理和隆格-库塔法求解,研究了滚珠丝杠传动系统的动态响应,分析了系统参数对质量块轴向振动的影响,并优化了系统参数组合。为了减小工作台轴向位移的波动,提高定位精度,设计或装配传动系统时,在满足其它条件的前提下,应遵循以下原则:增大丝杠导程；减小工作台的质量；增大丝杠两端轴承的纵向支承刚度,减小扭转支承刚度；增大螺母与丝杠连接的纵向刚度,减小扭转刚度。参考文献【1】AminKamalzadeh,KaanErkorkmaz.Accuratetrackingcontrollerdesignforhigh2speeddrivesJ.InternationalJournalofMachineTools&Manufacture,2007,47:1393-1400.【2】DominicSGuecarra,AkiraKyusojin.Developmentofanewlappingmethodforhighprecisionballscrew(2ndre2port)DesignandexperimentstudyofanautomaticlappingmachinewithinprocesstorquemonitoringsystemJ.JournaloftheInternationalSocietiesforprecisionEngi2neeringandNanotechnology,2002,26:389-395.【3】R1Whalley,M1Ebrahimi,A1A1Abdul2Ameer.HybridmodelingofmachinetoolaxisdriveJ.JournalofMa2chineToolandManufacture,2005,45:1560-1576.【4】Min2SeokKim,Sung2ChongChung.Integrateddesignmethodologyofball2screwdrivenservomechanismswithdiscretecontrollersPart1Modelingandperformanceanaly2sisJ.Mechatronics,2006,16:491-502.【5】H1Diken.Dynamicbehaviorofacoupledelasticshaft2elasticbeamssystemJ.JournalofSoundandVibra2tion,2006,293:1-15.【6】ArashYavari,MostafaNouri.DiscreteelementanalysisofdynamicresponseofTimoshenkobeamsundermovingmassJ.AdvanceinEngineeringSoftware,2002,33:143-153.【7】H1S1Zibdeh,H1S1Juma.DynamicresponseofarotatingbeamsubjectedtoarandommovingloadJ.JournalofSoundandVibration,1999,223(5):741-758.【8】H1P1Lee.DynamicresponseofaTimoshenkobeamonwinklerfoundationsubjecttoamovingmassJ.Ap2pliedAcoustics,1998,55(3):203-205.【9】U1C1Cu,C1C1Cheng.Vibrationanalysisofahigh2speedspindleundertheactionofamovingmassJ.JournalofSoundandVibration,2004,278:1131-1146.【10】PaoloGallina.Vibrationinscrewjackmechanisms:exp2erimentalresultsJ.JournalofSoundandVibration,2005,282:1025-1041.【11】王培功,彭伟,等.数控机床进给系统的动态优化设计J.机械设计与制造,2005(8):101-103.【12】