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椭圆齿轮几何参数计算及齿形仿真.pdf椭圆齿轮几何参数计算及齿形仿真.pdf -- 1 元

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现代制造工程2008年第12期CAD/CAE/CAPP/CAM椭圆齿轮几何参数计算及齿形仿真苏朝晖天津科学技术馆,天津300201摘要以渐开线圆柱齿轮为基础,推导出椭圆齿轮压力角、节曲线长度、长/短轴半径和不产生根切的最少齿数等几何参数的计算公式在AutoCAD环境下,模拟范成法加工齿轮,绘制出椭圆齿轮的齿廓仿真曲线。关键词椭圆齿轮参数计算AutoCAD模拟加工仿真中图分类号TH1321424文献标识码A文章编号16713133200812005404CalculationofgeometricparametersandsimulationoftoothprofileforellipticalgearsSuZhao2huiTianjinScienceandTechnologyMuseum,Tianjin300201,CHNAbstractBasedonthetheoryofinvolutescirculargears,thegeometricalparametersofellipticalgearsareformulated,includingpressureangle,thecircumferenceofpitchcurve,thelengthofmajor/minorsemi2axis,andminimumnumberofteethwithoutun2dercutting.Moreover,acomputersimulationprogramisdevelopedtogeneratethetoothprofilesofellipticalgearsinAutoCAD.KeywordsEllipticalgearsParametercalculationAutoCADVirtualmachiningSimulation以变传动比为基本运动特征的椭圆齿轮机构,在运动性能、承载能力以及结构可靠性等诸多方面都明显优于其他具有同样运动特征的机构,常用于印刷、纺织和仪表等领域,但由于计算复杂,加工困难,长期以来并未在机械制造中得到普及。近年来,随着计算机辅助设计和数控加工技术的不断发展,椭圆齿轮的设计、加工出现了广阔的前景,因此受到越来越多机械设计师们的青睐。目前人们对椭圆齿轮的研究尚显不足,对它的了解远不如传统齿轮,没有形成一套完整通用的参数计算方法和设计规范。本文以普通渐开线圆柱齿轮为基础,推导出椭圆齿轮几何参数的计算公式采用模拟加工的方法,在AutoCAD上绘制出椭圆齿轮齿廓的仿真曲线。1椭圆齿轮几何参数计算111传动比如图1所示,一对节曲线完全相同的椭圆齿轮,分别以各自的焦点O1、O2为回转中心,椭圆的长轴等于2a,短轴等于2b,焦距等于2c。图1椭圆齿轮传动6李佳,杨萱,等.特征建模及其在箱体零件CAD/CAM集成系统中的应用J.天津大学学报,1998,315551.作者简介尹瑞雪,贵州大学机械工程学院讲师,研究方向为箱体零件CAD/CAPP。E2mailyinruixuesina.com收稿日期200820622845©19942009ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http//www.cnki.netCAD/CAE/CAPP/CAM现代制造工程2008年第12期若某一瞬时的啮合点为P1、P2,相对应的啮合半径分别为r1、r2,则根据椭圆的性质和几何关系有r1a1e21ecosφ11r2a1e22ecosφ11ecosφ12式中φ1为主动轮转角e为椭圆的偏心率,且ecaa2b2a3瞬时传动比i21为i21ω2ω1r1r21e21e22ecosφ14由式4可以看出椭圆齿轮传动比随主动轮转角φ1的变化仅与椭圆的偏心率有关,不同e值的传动比变化曲线如图2所示。图2椭圆齿轮传动比变化曲线112压力角普通渐开线圆柱齿轮的分度圆压力角等于齿条刀具的齿形角,且同一齿轮上各齿的情况完全一致。与之不同,椭圆齿轮的压力角不等于齿形角,而且各齿的情况也各异。图3椭圆齿轮分度圆曲线压力角图3所示为一对椭圆齿轮相互啮合的情况,当主动轮自初始位置φ10顺时针转过φ1,两齿廓啮合于节点P。若AA为两节曲线在节点P处的公切线公法线为A′A′,BB为两啮合齿廓在该点处的公法线,CC为齿廓在点P处的速度方向线,则点P的压力角为α12,而α0等于齿条刀具的齿形角。由几何关系和椭圆的性质有α12α0β5βγ/26cosγr21r224c2/2r1r27将式1~式3代入式7并综合式5、式6,便得到压力角的计算公式为α12α0γ/2cosγ12e212ecosφ1221e22ecosφ18对相互啮合的齿轮来说,通常齿形角是一个固定值,于是由式8可以得出如下结论椭圆齿轮在分度圆曲线上各齿的压力角因转角φ1而不同,且与椭圆的偏心率e有关。根据椭圆的几何性质还可知,当cosφ1e时,γ有最大值。于是由式8得α12maxα0γmax/2cosγmax12e29由此得到cos2α12maxα012e2即e2{1cos2α12maxα0}/2由于1cos2α/2sin2α,所以有esinα12maxα010在通常情况下,为保证机构传动良好,要求α12max≤65°1,这时若选取α020°,则e≤017,亦即在设计椭圆齿轮时,当齿形角等于20°时,最大偏心率不应超过017。113节曲线长度与长/短轴半径在设计椭圆齿轮时,齿轮的模数主要由强度计算决定。设已选定模数为m,则节曲线长度S、齿数z与模数m之间必须满足Spzπmz11即保证节曲线长度为齿轮周节p的整数倍。计算节曲线长度S就是求椭圆的周长。对于长半轴为a,偏心率为e的椭圆,其周长为S4a∫π201e2sin2φdφ12称式12为第二类Legendre完全椭圆积分2,写成对偏心率e的幂级数展开式为S2πa1∑∞n12n12n2e2n2n155©19942009ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http//www.cnki.net现代制造工程2008年第12期CAD/CAE/CAPP/CAM2πa1122e23142e435316422e650≤e113若将式13中的无穷级数记作K,则有S2πaK假如取前n项的和作为K的近似值并以Kn表示,则相应的绝对误差δ的取值范围可以表示为3δ|KKn|≤2n12n2e2n2n11e2n≥214同时,相对误差η的取值范围可由式15求得η|KKn||Kn|δ|Kn|15通过式14和式15可知,对于一定的n值,e值减小时,δ和η的取值范围也将减小,即计算精度随之提高。计算表明,当e017时,取n5,其相对误差η0105。这说明利用式13计算椭圆齿轮节曲线长度时,取前5项的和作为近似值,已能满足一般精度要求。当以Kn作为K的近似值时,椭圆齿轮节曲线长度S为S≈2πaKn16再利用式11、式3便可计算出给定模数m、偏心率e和齿数z时,椭圆齿轮节曲线的长轴半径和短轴半径a、b为a≈zm/2Kn17b≈zm1e2/2Kn18114不产生根切的最少齿数同普通渐开线圆柱齿轮一样,当用范成法加工椭圆齿轮时,也可能发生根切现象。经理论推导1,不发生根切的条件为h3am≤ρminsin2α019式中h3a为齿顶高系数通常h3a1m为模数ρmin为节曲线的最小曲率半径α0为齿形角通常α020°。由于椭圆曲线长半轴为a,偏心率为e的最小曲率半径ρmin为ρmina1e220因此,综合式17、式19和式20便得到椭圆齿轮不产生根切的最少齿数zmin为zmin2h3asin2α0Kn1e221zmin与e值范围的对应关系见表1。表1椭圆齿轮不产生根切的最少齿数zmin值h3a1,α020°ezminezminezminezmin0110~0126180144~0148210157~0159240165~0166270127~0136190149~0153220160~0162250167~0168280137~0143200154~0156230163~0164260169~0170292渐开线椭圆齿轮的齿形仿真211齿形仿真的原理与意义在AutoCAD环境下,首先绘制待加工的齿轮毛坯和加工齿轮的齿条刀具,然后按照范成法加工齿轮的方法,利用实体编辑功能中的差集命令来模拟金属切削,即通过不断改变毛坯和刀具的位置,同时从毛坯中去除与刀具相重合的部分来进行模拟加工。由于用这种方法形成齿廓曲线的过程与实际生产加工过程完全一致,因此只要毛坯和刀具每次的位置变化量足够小,就可以得到高精度的齿廓曲线。进一步将齿廓曲线导入MasterCAM,便可获得数控程序,并传输到数控铣床或线切割机床进行齿轮加工4。212椭圆齿轮的齿形仿真若设计一对完全相同的椭圆齿轮齿数应为奇数,在选定参数e、m、z后,由式17、式18计算出a、b。在AutoCAD中先用画椭圆命令ellipse绘制齿轮的节曲线,再用图形编辑中的offset命令绘制齿顶圆曲线接着按照标准齿条刀的参数绘制齿条轮廓,并使齿条的分度线与椭圆节曲线在椭圆的长轴处相切用建立面域命令region使齿顶圆曲线和齿条轮廓线都成为域,分别视作椭圆齿轮的毛坯和齿条刀具,如图4a所示。为了能切制出全部的齿廓,在操作时,齿条的齿数应略大于椭圆齿轮的齿数。图4模拟范成法生成椭圆齿轮齿廓按照椭圆的节曲线与齿条的分度线作纯滚动的运动规律完成齿廓的切制见图4b,步骤为椭圆转过某一微小角度,齿条做相应平移,原位复制一个齿条,用差集命令subtract从椭圆中去除与齿条的重叠部分。不断重复上面的步骤,直到全部齿廓被切出5,6见图4c。很显然,这个过程非常繁杂,若用65©19942009ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http//www.cnki.netCAD/CAE/CAPP/CAM现代制造工程2008年第12期手工操作一步一步地完成将是难以想象的。在实际操作中,通常采用的方法是用AutoCAD内嵌的Au2toLISP语言编制一个程序,全部过程均由计算机自动完成。由椭圆齿轮与齿条相互啮合的特点得知,当椭圆齿轮绕回转中心转动时,齿条做水平和垂直的合成运动。因此用范成法原理获得椭圆齿轮齿廓的关键是求得齿条平动与椭圆转动的关系。图5椭圆齿轮角速度与齿条刀具平移速度的关系如图5所示,椭圆齿轮以角速度ω顺时针转动,当转过角度ψ时,节曲线与齿条刀具分度线的切点为P。由于它们做纯滚动,故在点P处的速度相等。设该速度为v,且与齿条分度线的夹角为θ,则齿条此时的水平和垂直平移速度vx、vy分别为vxvsinθωr1sinθvyvcosθωr1cosθ当有微小的时间增量Δt时,椭圆又转过Δψ,齿条相应平移Δx和Δy,且有ωΔψΔtvxΔxΔtvyΔyΔt于是得到Δxr1sinθΔψΔyr1cosθΔψ22由于φ1ψθ,且由式1得r1a1e21ecosφ1a1e21ecosψθ23这时,在XOY坐标系中,椭圆的参数方程可以写成xr1cosθr1cosθa1e21ecosψθcosθyr1sinθr1sinθa1e21ecosψθsinθ因过点P的切线与Y轴平行,所以有dxdθ|P0。由此得到sinθesinψ,即θarcsinesinψ24综合式22、式23、式24便得到齿条平移增量与椭圆转角增量的关系为Δxa1e2esinψ1ecosψarcsinesinψΔψΔya1e21esinψ21ecosψarcsinesinψΔψ25在使用式25编程时,需要注意两个问题。1由于AutoLISP没有提供反正弦函数,因此求解反正弦函数时,可以利用作图法,通过调用Angle函数实现。2对于任意给定的椭圆转角ψ,其相对应的齿条平移距离x、y本应该通过对式25进行积分求得,而使用增量累加法相当于数值积分,增量值必须取得很小如Δψ01001°,才能保证计算的正确性。但用如此小的增量切制齿廓曲线却是没有意义的,非但不能提高齿廓的精度,反而使齿廓曲线变得过于零散。实践证明,在切制齿廓时,取Δψ1°己能达到令人满意的效果。解决这一矛盾的办法是取Δψ01001°计算每次的位移量,而非每一次都做齿廓切制。3结语综上所述,以普通渐开线圆柱齿轮为基础,推导出椭圆齿轮主要几何参数的计算公式,表述清晰,易于理解,简单实用,能有效地解决椭圆齿轮设计中计算复杂的问题,使椭圆齿轮的常规设计便捷、迅速。文中所介绍的用计算机模拟加工技术,生成椭圆齿轮齿廓仿真曲线的方法,使椭圆齿轮的设计、加工过程实现一体化。参考文献1吴序堂,王贵海.非圆齿轮及非匀速比传动M.北京机械工业出版社,1997.2刘式适,刘式达.特殊函数M.2版.北京气象出版社,2002.3甄西丰.实用数值计算方法M.北京清华大学出版社,2006.4周太平.特殊齿轮的一种加工方法J.机械传动,2006,303.5林超,倪孟岩,冉小虎.非圆齿轮力学模型及虚拟试验J.现代制造工程,20079.6吴学文.模拟加工过程中生成渐开线齿轮齿廓的方法J.机械研究与应用,2006,192.作者简介苏朝晖,工程师,主要从事科技馆展品设计研究。E2mailsuvwtom.com收稿日期200820820575©19942009ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http//www.cnki.net
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