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图1带式输送机减速器齿轮减速器的最优化设计张云华(长江大学机械工程学院,湖北荆州434023)齿轮减速器是机械产品中最常用的通用减速装置,其性能好坏直接影响机械产品的技术性能。传统的减速器设计通常是选取适当的参数,进行反复的试凑、校核确定设计方案,但也不一定是最佳设计方案;而优化设计的方法则通过设计变量的选取、目标函数和约束条件的确定,建立数学模型,通过求解得到满足条件的最优解,同时缩短设计周期。本文介绍了单级斜齿圆柱齿轮减速器优化设计的过程和方法,建立优化设计数学模型,并利用MATLAB进行寻优求解。1数学模型的建立首先建立减速器齿轮传动系统的数学模型,然后针对具体问题,编程计算得到最优化设计方案。11确定目标函数和设计变量[1,2]根据不同的已知条件和设计要求,齿轮减速器设计的目标和方法是不同的。对于全新的设计,一般是在给定转矩、转速和传动比的情况下,确定主要的传动参数和齿轮结构参数,以使该传动既能满足所有的设计标准、规范和要求,又具有最小的体积和最紧凑的结构。而体现减速器的体积大小和结构紧凑程度的指标之一是减速器两传动齿轮的中心距。对于单级斜齿圆柱齿轮减速器,其中心距为A(1U)Z1MN2COSΒ(1)式中,Z1、U、MN,Β分别为小齿轮齿数、传动比、法面模数和螺旋角。由此可知,单级斜齿圆柱齿轮减速器设计中的独立参数有三个,由它们构成的设计变量是X=[X1,X2,X3]T[MN,Z1,Β]T(2)相应的目标函数为F(X)=(1U)X1X22COSX3(3)12建立约束条件[2,4]齿轮减速器的设计首先必须使其中的传动齿轮具有足够的承载能力和工作寿命,具体来说就是要满足齿面接触疲劳强度和齿根弯曲疲劳强度条件。其次,传动系统还必须满足有关的结构要求和润滑要求,最后,还必须根据设计规范和要求对齿轮参数的取值进行必要的限制。由此形成了如下几方面的约束条件(1)齿面接触疲劳强度条件(简称接触条件)由机械设计理论知,齿轮的齿面接触疲劳强度的校核公式是ΔH=ZEZHZΕZΒ2KT1ΨDD31U1U姨≤ΣHP(4)式中,K-载荷系数,与源动机的类型、载荷性质、转速大小、齿宽系数的大小和制造精度有关。若减速器由电动机驱动,齿宽系数较大,载荷比较平稳,齿轮为非对称布置,可取载荷系数K12;T1-减速器的输入转矩,也是高速级小齿轮承受的转矩,NMM;ΨD-齿宽系数,ΨDB/D1,B为齿宽,对于软齿面齿轮,一般取ΨD10;D1-高速级小齿轮的分度圆直径,D1MNZ1/COSΒ,MM;ZE-弹性系数,对锻钢齿轮摘要在齿轮减速器优化设计目标函数建立、设计变量选取和约束条件确定的基础上,建立其优化设计数学模型,利用MATLAB的优化工具箱对齿轮减速器进行优化设计,并通过实例与常规设计结果进行了分析。优化结果表明采用MATLAB算法求解优化设计问题,算法有效可靠且优于常规设计。关键词MATLAB;圆柱齿轮减速器;优化设计中图分类号TH13241文献标识码A文章编号1002-2333(2008)11-0080-03THEOPTIMALDESIGNOFGEARSPEEDREDUCERZHANGYUNHUA(SCHOOLOFMECHANICALENGINEERING,YANGTZEUNIVERSITY,JINGZHOU434023,CHINA)ABSTRACTBASEDONESTABLISHMENTOFTARGETFUNCTION,CHOICEOFPARAMETERSANDCONFIRMATIONOFCONSTRAINTCONDITIONSOFTHECYLINDRICALSPEEDREDUCER,ITSOPTIMUMMATHEMATICALMODELISSETUPCYLINDRICALSPEEDREDUCERISDESIGNEDBYMATLABOPTIMALTOOLBOXFINALLY,ACOMPARISONBETWEENOPTIMUMDESIGNANDCONVENTIONALDESIGNISCONDUCTEDANDANALYZEDBASEDONINDUSTRIALCASESTHERESULTSHOWSTHATBYUSINGTHEMATLABARITHMETIC,THEMECHANICALDESIGNISNOTONLYRELIABLEBUTALSOEFFECTIVE,ANDISEXCELLEDTHECONVENTIONALDESIGNKEYWORDSMATLAB;CYLINDRICALSPEEDREDUCER;OPTIMUMDESIGNZ4Z3Z1Z2轴3轴2轴1仿真/建模/CAD/CAM/CAE/CAPP制造业信息化MANUFACTURINGINFORMATIZATION机械工程师2008年第11期80ZE1898MPA;ZH-结点区域系数,是螺旋角的函数,可由有关的图表查出,记作ZH(Β);ZΕ-重合度系数,ZΕ=1ΧΕΑ姨,其中Χ为接触线长度变化系数,ΕΑ为端面重合度系数,对斜齿轮Χ09~10,ΕΑ=[18832(1Z11Z2)]COSΒ,故重合度系数可记作ZΕ(Z1,U,Β);ZΒ-螺旋角系数,ZΒCOSΒ姨;ΣHP-许用接触应力,由式ΣHP=ΣHLIMSHMINZN计算,其中ΣHLIM为材料的接触极限应力,是硬度HBS的函数,记作ΣHLIM(HBS);ZN为接触寿命系数,是转速N(R/MIN)和工作寿命T(H)的函数,记作ZN(N,T);SHMIN为最小接触安全系数,一般取105~11。由此可得齿轮的齿面接触强度条件的约束条件为1898COSΒ姨ZH(Β)ZΕ(Z1,U,Β)2KT1COS3ΒM3NZ31U1U姨≤ΣHP(5)即ZH(X3)ZΕ(X2,U,X3)COS2X3(1/U1)KT1X31X32姨3726103ΣHP≤0(6)其中部分系数经整理或函数拟合后为[2,3]节点区域系数ZH(Β)=2902703702EΒ接触极限应力ΣHLIM(HBS)4950889(HBS150)接触寿命系数ZN(N,T)16,60NT≤10527501006LN(60NT),10560NT≤510710,60NT510≤≤≤≤≤≤≤≤≤7(2)齿根弯曲疲劳强度条件(简称弯曲强度条件)齿根弯曲强度的校核公式是ΣF=2KT1ΨDD21MNYFAYSAYΕYΒ≤ΣFP(7)式中,YFA、YSA、YΕ和YΒ分别为齿形系数、应力修正系数、重合度系数和螺旋角系数,它们都是齿数Z和螺旋角Β的函数,分别记作YFA(Z,Β)、YSA(Z,Β)、YΕ(Z,Β)和YΒ(Z,Β)。ΣFP代表许用弯曲应力,其值由下式计算ΣFP=ΣFLIMYSTSFLIMYN(8)其中,ΣFLIM-齿轮材料的弯曲极限应力,可由机械设计手册中查得,MPA;SFLIM-弯曲强度的安全系数,对软齿面齿轮一般取135;YST-应力修正系数,一般取20;YN-弯曲强度计算的寿命系数,与应力循环次数N有关,可从有关图表中查得。由此可得小齿轮和大齿轮的弯曲强度条件为2KT1COS3ΒZ21M3NYFA(Z1,Β)YSA(Z1,Β)YΕ(Z1,Β)YΒ(Z1,Β)-ΣFP≤0(9)即COS2X3X22X31KT1YFA(X2,X3)YSA(X2,X3)YΕ(X2,X3)YΒ(X2,X3)05ΣFP1≤0(10)COS2X3(UX2)2X31KT1YFA(UX2,X3)YSA(UX2,X3)YΕ(UX2,X3)YΒ(UX2,X3)05ΣFP2≤0(11)其中,经过整理或函数拟合后的相关系数为[2,3]齿形系数YFA3819303628LN(ZV)(ZV为当量齿数)应力修正系数YSA112330146LN(ZV)弯曲极限应力ΣFLIM(HBS)=17003(HBS-150)弯曲寿命系数YN(N)25,60NT≤10450602728LN(60NT),10460NT≤310610,60NT310≤≤≤≤≤≤≤≤≤6螺旋角系数YΒ(Z,Β)10265103ZΒTANΒ(3)结构约束条件为保证紧凑的结构,大齿轮的直径不能太大,若取最大直径为350MM,则有D2350≤0(12)为使模数取标准值,建立以下离散性约束|2MNROUND(2MN)|0001≤0(13)(4)设计变量取值范围约束传递动力的齿轮,模数不能小于2,中小型齿轮减速器中齿轮模数一般不大于4,故取2≤MN≤4(14)对于软齿面齿轮,小齿轮的齿数应选得大些为好,一般的选取范围是20~40,于是有20≤Z1≤40(15)斜齿轮的螺旋角一般选在8~20,考虑到最后还需对计算的数据进行调整,故取8≤Β≤16(16)2MATLAB优化理论和编程求解[3]MATLAB是由美国MATHWORK公司开发,集强大的科学计算、数据可视化和程序设计为一体的科技应用软件,分总包和若干工具箱,包括信号处理、图像处理、小波分析、系统识别、通信仿真、模糊控制、神经网络、工程优化、统计分析等现代工程技术学科内容。其中优化工具箱含有一系列的优化算法函数,可方便、快捷地解决线性、非线性极小值、非线性系统的方程求解、曲线拟合、二次规划和大规模优化等工程实际问题。机械优化设计多数是非线性约束最小化问题。在MATLAB中,采用序列二次规划法进行优化,算法可靠且不用编写大量的算法程序,设计效率高。本文中单级斜齿圆柱齿轮减速器优化设计属于带约束条件的非线性优化设计问题,由优化工具箱中的FMINCON函数实现。该问题的数学模型可做如下描述MINF(X)STAX≤B;线性不等式约束AEQX=BEQ;线性等式约束C(X)≤0;非线性不等式约束CEQ(X)0;非线性等式约束LBOUND≤X≤UBOUNDFMINCON函数的调用格式[X,FVAL]FMINCON(FUN,X0,A,B,AEQ,BEQ,LB,UB,NONLCON,OPTIONS)为便于与常规齿轮设计方法比较,以文献[2]第21681机械工程师2008年第11期制造业信息化仿真/建模/CAD/CAM/CAE/CAPPMANUFACTURINGINFORMATIZATION4结语本文借助CAE技术,即MOLDFLOW的分析,优化浇注系统的设计。从填充时间、熔接痕、气穴、流动前沿的温度和锁模力方面综合分析了最优的浇口位置,即采用侧浇口。进而进行了合理的模具设计,以注塑出最佳的塑料制品,保证制品能全部充满,大大缩短了模具制造的时间,降低了模具的生产成本。(编辑立明)作者简介赵凤国(1958),助理讲师,高级技师,主要研究方向为机械优化设计。收稿日期20080916页例题102为例进行优化设计,基本数据与之相同,输入转T1=9948104NMM,输入转速N1500R/MIN,传动比U32。根据以上建立的单级斜齿圆柱齿轮减速器的数学模型,用MATLAB语言编制的求解程序由以下4个函数(主程序和子程序)组成①减速箱齿轮传动优化设计主程序(GEARDESIGNM)[SIGMAHP,SIGMAFP]GEARPARAMETER(RAT);X0[3,24,14];OPTIONSOPTIMSET(DISPLAY,ITER);LB[2,20,8];UB[4,40,16];[X,F,EXITFLAG,OUTPUT]FMINCONGEAROBJFUN,X0,[],[],[],[],LB,UB,GEARCONSTR,OPTIONS)②目标函数子程序(GEAROBJFUNM)FUNCTIONFGEAROBJFUNX);FX(1)(1RAT)X(2)/2COS(X(3)PI/180));③约束条件子程序(GEARCONSTRM)FUNCTION[C,CEQ]GEARCONSTR(X)C(1)ZHZEP(COS(BETA))2SQRT((11/RAT)/(X(1)X(2))3)SQRT(KKT1)3726E3SIGMAHP(1);C(2)(COS(BETA))2/X(2)2/X(1)3YFA(1)YSA(1)YEPYBETAKKT105SIGMAFP(1);C(3)(COS(BETA))2/(RATX(2))2/X(1)3YFA(2)YSA(2)YEPYBETAKKT105SIGMAFP(2);C(4)D2350;C(5)ABS(2X(1)ROUND(2X(1)))0001;CEQ[];④许用应力计算程序(GEARPARAMETERM)FUNCTION[SIGMAHP,SIGMAFP]GEARPARAMETER(RAT)FORI12SIGMAH(I)4950889(HBS(I)150);SIGMAF(I)17003(HBS(I)150);ENDFORI12SIGMAHP(I)SIGMAH(I)ZN(I)/11;SIGMAFP(I)SIGMAF(I)YN(I)148;END运行上述最优化设计程序,计算中采用序列二次规划算法和一维搜索算法,共经过7次规划子问题的求解。当相邻两次二次规划子问题解的函数值之差与最大不满足约束的值都满足给定计算精度106之后程序运行结束。输出最优解如下X24995200000139136F1081522经过适当圆整和标准化修正后的齿轮传动系统设计参数如下X252014F10815而对比常规设计得到的参数X=[X1,X2,X3]T=[MN,Z1,Β]T=[2,31,14]T,目标函数值A13398MM,优化后,减速器目标函数值下降了193。可见,优化后的设计在保证满足约束的条件下尽量减少了尺寸富裕量,极大地节约了资源。3结束语通过对实例的计算和对计算结果的分析,证明了应用MATLAB优化工具箱进行减速器的优化设计求解,具有编程工作量小、初始参数输入简单、设计效率高等优点,尤其是对于某些工程问题,用一种预先选定的方法很可能得不到最优解,运用MATLAB语言优化工具箱来求解优化问题就显得简便可靠。但是,在实际工程中仅对单目标进行优化是不够的,还需对多目标的优化加以研究,不断探索出更好的优化方法。[参考文献][1]陈杰.MATLAB宝典[M].北京电子工业出版社,2007[2]濮良贵,纪名刚.机械设计[M].第七版.北京高等教育出版社,2000[3]唐军,等.减速器的优化设计[J].重型科技机械,2005(4)1517[4]王文斌,等.机械设计手册[M]北京机械工业出版社,2005(编辑黄荻)作者简介张云华(1971),男,讲师,研究方向为机械设计。收稿日期2008-09-10仿真/建模/CAD/CAM/CAE/CAPP制造业信息化MANUFACTURINGINFORMATIZATION机械工程师2008年第11期82图14变光盖板注射模1动模板2定模板3定模座板4浇口套5定模6导柱7导套8动模9支承板10限位销11推板12推板固定板13推杆14复位杆15垫块16推板导套17推板导柱18拉料杆19内六角螺钉20动模(上接第133页)333333333333333333333333333333333333333333333332345671181716190151413121110981920290200
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