《线性代数》-习题5和习题6

习题五1求下列矩阵的特征值和特征向量1）；2）；3）；4）。4160131082并说明哪些矩阵可以相似于对角形矩阵。解1），特征值。23242,3当时，故属于的特征向量为（）。1,1K0当时，故属于的特征向量为（）。3232由于线性无关的特征向量个数为2，故可以对角化。2），特征值。1319360,19当时，故属于的特征向量为（）。01,1K0当时，故属于的特征向量为（2,02）。20K当时，故属于的特征向量为（）。931,93K0由于线性无关的特征向量个数为3，故可以对角化。3），特征值。2011,当时，。故属于的特征向量为1,02,0（不全为零）。12K2,K当时，故属于的特征向量为3,11（）。3K0由于线性无关的特征向量个数为3，故可以对角化。4），特征值。2310181,2当时，故属于的特征向量为（）。1,61K0当时，故属于的特征向量为（220,22）。20K由于线性无关的特征向量个数为2，故不可以对角化。2已知方阵满足，求的所有可能的特征值。A230EA解设是的特征值，则有非零向量满足。于是，X2AX。因为非零，所以。223EX30即的特征值只能为或。A13设是的特征值，证明1）是的特征值，（为正整数）是的特征值；2IIA2）设是多项式，则是的特征值；FFF3）如果可逆，则是的特征值。A1A证明1）因为，则。X22XA，依此类推，即是的特征值。323IIII2）由1）（为正整数），记，则IIA01NFAA，即是的特征值。0NFXAEAEXFA3）如果可逆，对两边左乘有。又可逆矩阵1A1X的特征值不为零（否则，与可逆矛盾）。故。04设和是的属于两个不同特征值的特征向量，证明不是的1X2A12A特征向量。证明由题意，设，则线性无关。1X21212,X（反证）若是的特征向量，则有。从而12A。因为，所以不全为零，于120X1212,是线性相关，矛盾。故不是的特征向量。,XA5如果方阵可逆，证明矩阵和相似。AB证明因为，所以矩阵和相似。16设与相似，与相似。证明与相似。BCDCBD证明因为与相似，与相似，故有可逆矩阵与，使得APQ，。于是，即1P1Q1AP与相似。CBD7计算，其中。KA14203解，特征值。415031,5当时，对应的特征向量为；当时，对应的特征向110,量为；当时，对应的特征向量为。故可取2,531,2，有，使得。01P120P15AP从而。1452052545KKKKKKKKKKKA8求，的值，使得矩阵与相似，其中，XYAB1XAY。012B解因为的特征值为，由与相似，可得，0,AB0EA，1EA。即，从而。2020XY0XY9证明1）实反对称矩阵的特征值为0或纯虚数；2）正交矩阵的特征值的模等于1。证明1）设是实反对称矩阵，是的特征值，则有，。AA0XAX取共轭有。考虑，一方面；另一方面，XX；于是。又因为，所以。故，即为0或纯虚数。002）设是正交矩阵，是的特征值，则有，。取共轭AAXAX有，再转置。所以。XX因为，所以。故，即的模为1。00110判断下列矩阵是否为正交矩阵1），2）。2313A23132A解1）因为，故为正交矩阵；2）不是正交矩阵。E11设为正交矩阵，证明,AB1）与为正交矩阵；2）为正交矩阵。证明1）因为为正交矩阵，所以，即。又AAE1A，故与为正交矩阵。AE1A2）因为为正交矩阵，所以，。从而,BEB，即为正交AB矩阵。12在中，求一单位向量与向量正交。4R1,1,2,3解设所求向量为，则有。求得基础1234,X23410XX解系为。故（为任意数）。4,0,0KK13求正交矩阵，使得为对角形Q1A1）；2）。1A254解1），特征值。213E0,3当时，。当时，01,02,031,。由施密特正交化，取，1,，。令，则21,631,112630Q。103QA2），特征值。225410EA1,0当时，。当时，11,2,。由施密特正交化，取，3,212,05，。令，则21,4531,22341250Q。110QA14设3阶方阵的特征值为1，2，3；对应的特征向量为，A10,，。求矩阵。21,0,解由题意，令，则有。故01P123PA。122033A15设3阶实对称矩阵的特征值为6和3（二重根）。属于6的特征向量为A，求及。31,3|E解设是实对称矩阵属于特征值为3的特征向量，则有123,XX。故特征值为3的特征向量，。1230X1,021,0令，则。1P46AP3|AE。31324|126863PE提高题1设矩阵，有特征值，属于的一个特1530ACAB1A00征向量为。求和的值。,C0解因为，所以，即。由于，可得1E10A，又，所以。解得。0A021CABA132BCA2已知3阶矩阵与3维列向量，向量组，线性无关，且满XX2A足。2AX1）记，求3阶矩阵，使得；,PAB1P2）计算行列式。E解1）因为，所以，12,XE10,AX。由，可得20,PAX1APB23,P。1121120,33122）。140AEPBE3设是阶方阵，记，是N1NNFAA1,N的个根（重根按重数计算）。证明F1），称为方阵的迹，记为；11NNAAATRA2）。NA证明因为，令11NNNFE，则有，即2）成立。又由于特征多项式011NNNA中项由行列式定义知只能出现在内，它的系数EA1NA为；而中项的系数为11N1。故1）成立。4设，均为非零实数，求可逆矩阵，使得,NAAIBAP为对角阵。1PB解，它为实对称矩阵。当时，的2112NNAA0EA秩为1，所以是的重根，由上题1）的结果知项系数00EB1N1N为。故。221NA212221NNNAA当时，可得，。由于021,0A1,0NA属于特征值的特征向量与上述向量组正交，所21NA1,XX以（）。故。1JJAX,1,N令，则。231210NNAPA12210NPBA5证明上三角正交矩阵必为对角阵。证明设上三角矩阵正交，则。一方面由第二章习题知也为上三A1A1A角，另一方面为下三角，故既为三角又为下三角，从而为对角矩阵。6是正交矩阵，且。证明不可逆。,AB0BB证明因为，所以，即。又020A1A是正交矩阵，所以,B。即，从而，不可逆。1ABB习题六1写出二次型的矩阵表示形式1）；2244FXYZXZY2）；73）。22134123142346FXXXX解1）；2）；,FYZYZ1,7XFYZYZ3）。121234341,02XFX2化下列二次型为标准形1）；221334FXX2）。2124234X解1）二次型矩阵为，03。所以二次型为标准形为203125。22135FYY2）二次型矩阵为，等于1011010。所以二次型为标准形为。21322134FYY3判断下列二次型的正定性1）；22454FXYZXYZ2）；1312363）。2FXX解1）二次型矩阵为，又，0425302804。所以二次型正定。3204852）二次型矩阵为，又，5260450260。所以二次型负定。5608243）取，则；又取，则1,0X120FX20,1X。所以二次型既不正定，也不负定。26F4为何值时，下列二次型是正定的T1）；2213123FXXT2）。2123406X解1）二次型对应的矩阵为。又，210T2010。所以当，即时二次型正定。22101TT210T2T2）二次型对应的矩阵为，又，5431T1024TT。因为无解，即无论为何值二21543015TT2305TT次型是均不正定。5如果二次型，对于任意维列向量，都有。证明FXAN0X0A。0A证明记，取（表示第个分量为1其余分量为0的维列IJNA0IIN向量），由，得；取（表示第、第两个分量为10I0IJIJ其余分量为0的维列向量），由，则有。故。XA2IJAA6如果是正定矩阵，证明是正定矩阵。A1证明因为是正定矩阵，所以存在可逆实矩阵，使得。故B，即是正定矩阵。1111BB17如果，是阶正定矩阵，。证明为正定矩阵。N0KLKAL证明，是阶正定矩阵，对任意维实的列向量，N0X。从而。即为正定0XXKALXLBLB矩阵。8设是实对称矩阵，证明当实数充分大之后，是正定矩阵。TTE证明取，则当时，。所以是1MAXNIJJMM0AXTEA正定矩阵。提高题1如果为正定矩阵，证明A1）；01,IAN2）。,1,IIJJIJN证明1）（反证）若，取为、其余未知量为零的列向量，则有0IA0XIX。与为正定矩阵矛盾。故。0IXAA01,IAN2）由1）。（反证）若，则二元二次型0,IJAIIJJ不正定，故存在，使得211IIJJGYY102,Y。取为、其余未知量为零的200220IIJJAA0XIXJ列向量，则，且。与为正定矩X2211020IIJJAAYAYA阵矛盾。所以。,IIJJJNA2若为阶正定矩阵，。证明是元负定AN1,NX0XFN二次型。证明因为为正定矩阵，由习题6知也为正定矩阵。故对任意1A。即111000XEXFAXA是元负定二次型。FN3设、为实对称矩阵，的特征值小于，的特征值小于，证明BABB特征值小于。AAB证明因为的特征值小于，所以的特征值全大于零，即为正AEAAEA定矩阵；同理可得为