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本科生毕业论文题目二元连续函数在有界闭区域上的最值研究系(院)数学系专业数学与应用数学完成日期2013年5月目录摘要II关键词IIABSTRACTIIIKEYWORDSIII1、引言12、二元连续函数在有界闭区域上的最值研究1一、二元连续函数在二次封闭曲线所围成的闭区域上的最值1(一)二元连续函数在圆域上的最值1(二)二元连续函数在椭圆域上的最值4二、二元连续函数在多边形区域上的最值6三、二元连续函数在其他图形所围成的闭区域上的最值8(一)二元连续函数在扇形区域上的最值8(二)二元连续函数在曲边梯形区域上的最值10参考文献13致谢14二元连续函数在有界闭区域上的最值研究摘要本文主要对二元连续函数在二次曲线围成的封闭区域,多边形区域和一些特殊图形围成的封闭区域上的最值进行了研究关键词二元函数;最值;闭区域;有界;圆域;椭圆域;扇形域CONTINUOUSFUNCTIONSOFTWOVARIABLESINTHESTUDYREGIONONTHECLOSEDBOUNDARYVALUEABSTRACTTHISARTICLEMAINLYFORBIVARIATECONTINUOUSFUNCTIONFORMACLOSEDCURVEOFTHESECONDREGION,FORMACLOSEDPOLYGONAREAANDANUMBEROFSPECIALGRAPHICSONTHEREGIONALSTUDIESWITHTHEMOSTVALUEKEYWORDSTHEBINARYFUNCTION;BESTVALUE;CLOSEDAREAS;BOUNDED;CIRCULARDOMAIN;ELLIPTICALDOMAIN;FANSHAPEDDOMAIN1、引言我们可以把二元函数看成是一元函数的一个推广,但是二元函数的最值问题却与一元函数的最值问题大有不同首先,二元函数的定义域是平面点集,或是平面点集的子集,故二元函,YXF数的定义域和自变量要比一元函数要复杂的多;其次,二元函数的最值可能出现在边,YXFF界曲线上,所以二元函数的最值问题要比一元函数的最值问题更加复杂二元函数的最值问题是高等数学的常见问题但现有的材料和相关论文却相对很少,针对这一现状我们对二元连续函数在有界闭区域上的最值问题展开了相应的研究,在不同的区域内二元连续函数的最值情况也是多种多样的,所以对二元连续函数在有界闭区域上的最值问题进行研究也就成为了一个非常有意义的研究性问题之一2、二元连续函数在有界闭区域上的最值研究一、二元连续函数在二次封闭曲线所围成的闭区域上的最值(一)二元连续函数在圆域上的最值如何求二元连续函数在圆域上的最值,我们,YXFZ|,22RBYAXYD分两步处理,先求它在圆域内可能出现的最值,再求它在圆域边界上可能出现的最值首先我们对二元函数求一阶偏导数,令F,|,0,22RBYAXYYXFZYX其中求出函数的驻点,因为不一定都是二元函数的极值点,321,IPI3,1IPI所以还要对驻点进行判别,令,当IXYFAIXYFZB,IYXFZC时,是二元函数的极值点,所以它可能是最值点当02ACB,IYXIF时,不能判定是否是二元函数的极值点,它也可能是最321PIYXF值点当时,不是二元函数的极值点,也就不可能是最值2,IYXI点再将满足条件的的驻点代入到中求出相应的函数值176,002ACBYXFZ,321,III(1)求函数在圆域边界上的函数值,我们可用两种方法来求解第一种方法是拉格朗日乘数法,引YXF入拉格朗日函数,对函数求一阶偏导数之,22RAXRBYAXYFL后,令,02,2RBYAXLFLY求解方程组可得到圆域边界上的极值点,代入到中求得圆域边3,1,JMJ,YXFZ界上的函数值,321,JYXFZJJ(2)综合圆域内的函数值(1)和圆域边界上的函数值2,通过比较函数值的大小找出二元连续函数在圆域上的最大值和最小值求圆周曲线上可能出现的最值点,我们还可以用转换法求解,将圆方程变形为,把它代入到中,可以得到相应22RBYAXBAXRY22YXFZ的一个一元函数,通过求这个一元函数的极值点,,RXFZ从而可得到函数在圆域边界上可能出现的最值点,进而求得相应的函数值Y,32,1,22KBAXRFKKK(3)再求的端点值,22RXBAXRFZ,1BAFZK,2BRAFZK(4)最后通过比较所得函数值(1),(3)和(4)的大小找出二元连续函数在圆域上的最大值和最小值例1求二元函数在有界闭区域上的62,2YXYXF4|,2YXD最值解由,4|,024,2YXYXYXF其中知二元函数的驻点为,再进一步,YXF1P123P1405P求出,当驻点为2AXXYFBXY2XYFC时,所以驻点不是二元函数的极值点(即不是最值12P042C,1,F点),故舍去同理,当驻点为,时,都分别求得2P3124P,所以驻点,都不是二元函数的极2AB,YXF值点(即不是最值点),故全部舍去当驻点为时,所以驻点是05082ACB05P函数的极值点,代入可得函数值对于二元函数在圆周曲线,YXF6,FYXF上的最值,我们分别用两种方法讨论42YX1拉格朗日乘数法设,对它求一阶偏数之后,2,4222XYXYXL令,042,2YXLLY求解上述方程组可得到圆域边界上的极值点有,351M23,52235M,将它们分别代入到二元函数中,可求得圆域边界上可能的最值有23,54MYXF,又由1,1F4312,52F4312,5F4312,5F可知,也是可能的最值点,分别代入到,2X056M078中求得可能的最值有,综合上述YF15F16F107F10,8F圆域内和圆域边界上所得出的最值有,和,通过比较最值的大小可得到二元连续函数43在圆域上的最大值为,最小值为,YXF2)转换法将圆方程转化为,把它代入到二元函数中,得到一个一2,422XYYXF元函数,对它求一阶导数可得,令,求1524XFXF10430143X解方程可得一元函数的极值点有,和,将它们分别代入到一元函数F01X253中,求得圆域边界上的函数值为,再求得曲线端点处XF4F41F43125F的函数值为,综合上述圆域内的函数值和圆域边界上的函数值有,102FF64和,通过比较函数值的大小可以得到二元函数在圆域上的最大值为,最小值为4310,YXF1(二)二元连续函数在椭圆域上的最值求二元连续函数在椭圆域上的最值,我们可以分为椭圆,YXFZ1|,2BYAXD域内的函数最值和椭圆域边界上的函数最值两部分进行求解首先对二元连续函数求一阶偏导数,令YXF1|,0,2BYAXFZYX其中求解方程组可得函数的驻点,因为驻点不一,XF32,1,IXPI,32,IXPI定都是的极值点,所以还要对驻点进行判别,令,YXFIXYFZAIXYFZB同在圆域内的判别方法一样,将的驻点代入到中求IYZC02CB,出相应的函数值,321,IYXFZII(5)对于二元函数在椭圆域边界上的最值,我们同样可以用两种方法来进行讨论方法一拉格朗日乘数法令,对它求一阶偏导数之后,令,1,2AXBYAXYFL,012,2BYAXLFXLYX解方程组可得到椭圆域边界上的极值点,代入函数中,求得椭3,JMJYXFZ圆域边界上的函数值,321,JYXFZJJ(6)综合上述得出椭圆域内的函数值(4)和椭圆域边界上的函数值(5),通过比较所得函数值的大小可得到二元函数在椭圆域上的最大值和最小值,YXF方法二转换法将椭圆方程,变形为,代入到二元函,12AXBYAX2AXBY数中,可得到一个一元函数,对这个一元函数求极YXFZ,2XBFZ值(即二元函数在椭圆域边界上可能的函数值)得,F,321,2KAXBXFZKK(7)再求出的端点值,2AXBXFZ,01AFZK0,2AFK(8)综合上述椭圆域内的函数值(5)和椭圆域边界上的函数值(7)与(8),通过比较所得函数值的大小可得到二元函数在椭圆域上的最大值和最小值例2求二元函数在椭圆区域上的最大值和最2,2YXF149|,2YXD小值解由1|,02,2BYAXYXFY其中可得唯一的驻点,再求出,YXF0P,XFA0,FBXY2,YXFC因为当驻点为时,所以驻点不是二元连续函数的极值点,42CB0,P也就不是最值点,故舍去对于二元函数在椭圆域边界上的最值,我们可用两种方法来求解YXF1)拉格朗日乘数法设,先对它求一阶偏导数,再令3,149222XYXL,01492,YXLLYX由方程组可得到椭圆域边界上可能的最值点有,将它们M203,4M分别代入到二元函数中,可求得相应的函数值,YXF01F22F103F综合上述两种情况得出的函数值有和,通过比较函数值的大小可得到函数10,34F在椭圆域边界上的最大值为,最小值为YX122)转换法将椭圆方程转化为,代入到函数中,可得到一个一元函39422XYYXF数,对它求一阶导数可得,令,3,9132XXFZZ9260926XF求解方程可得一元函数的极值点,代入到函数中,得到最值再求得曲线F0XXF0的上下界函数值,综合上述所得椭圆域内的函数值和椭圆域边界上的函数值1和,通过比较所得函数值的大小从而得到函数在椭圆域上的最大值为,最小值为21,YXF1二、二元连续函数在多边形区域上的最值二元连续函数在边形区域上的最值问题,随着边界的复杂程度加大,对它的求,YXFZND解难度也在加大,但在总体上还是可以分为区域内和区域边界上两部分进行讨论对于边形区域内的最值,我们对函数求一阶偏导数之后,令NYXFZDFYXINT,0,可求得函数在边形区域内的驻点,因为驻点不一ND321IPI,321,IYXPI定都是函数的极值点,令,将满足IXYFZAIXYFZBIYFZC条件的驻点代入到中求出相应的函数值02CB,321,IYXFII(9)边形区域是由条直线段围成的封闭区域,其边界有条直线段构成,朗格朗日乘数法就很难NNN求解,所以我们用转换的思想方法求边形区域边界上的最值问题将直线段方程N,分别代入到二元函数中,通过代换可得到相应的一元函数,321,IBAXLIIYXFZ,对它求一阶导数可得,令,可FII,21NIBAII0XFI求得函数的极值点,代入到函数中,求得相XFINI,XFII应的极值(可能的最值),3,21,32,1NJNIFZIJ(10)再求出直线段的端点值,32,1,NIBAXLII,1KFZIK,32,1,32,12NKNIBFZIK(11)综合上述两种情况得出的函数值(9),(10)和11,通过比较所得函数值的大小可得到函数YXF在边形区域上的最大值和最小值N例3求二元函数在三角形区域21,YXYF2,03,42XYXD上的最值解对函数求一阶偏导数之后,由YF,DXXFYINT,02,可得到函数有唯一的驻点,因为驻点,即不在三角形区域内,故舍去,YXF0PP三角形区域边界上的最值,我们采用代换法求最值,分别把直线段方,10,21XYXL,分别代入到二元函数中,可得到相2,042XYXL2,133XYXLF应关于的一元函数分别为,08521F84522XXF令,8123XXF,可得的极值点011F,代入中求得极值54X1XF,再求得的端点值,61FL801F同理可得的极值点2XF,故舍去,求得的端点值054XL,的极值点82F12F3XF,故舍去,求得的端点值109XL,综合上述情况得出3F3F的函数值有,和,通过比较所得函数值的大小可得到函数在三角形区域上的最5681,YXF大值为,最小值为三、二元连续函数在其他图形所围成的闭区域上的最值(一)二元连续函数在扇形区域上的最值如何求一个二元连续函数在扇形区域上的最值呢这里我们分成两部分进行讨,YXFZD论,一是如何求它在扇形区域内的函数最值,二是如何求它在扇形边界上的函数最值对于二元函数在扇形区域内的最值,我们先对求一阶偏导数,然后令YXFZ,INT,0,DYXFYX求出扇形区域内二元函数的驻点因为不一定都是D321IPI,321IYXPI函数的极值点,所以还要进一步对这些驻点进行判别,令,IXFZA,IXYFZB,将满足条件的驻点代入到中求出相应的函数值IYXFZC02CBY,321,IYXFZII(12)扇形区域的边界不同于圆,椭圆和多边形区域的边界是有一条二次曲线围成的封闭区域,或是有几条直线段围成的多边形区域,它是由直线段和二次曲线段共同围成的封闭区域拉格朗日数乘法同样就很难解决这样的问题,因此这里我们同样采用转换的思想方法来求扇形区域的边界最值首先将曲线段方程,变形为,把,1221BAXRBYAXL,122BAXRY它代入中,可得到,再对求一阶导数可得YF,121BAXFF1F,令,求解方程可得221XRX0,21RFX的极值点为,再将属于区间的值代入到一元函数中,求得最值F3,I1BA1XF,32,22IXRFZIII(13)再求出曲线段的两个端点函数值1L,2121BARAFF,21211BARBFF(14)同理将直线段方程,分别代入到函数中,可得函数,32LYXFZ3,IXFZII求得它的最值为,32,1,NJIXFZIJ(15)再分别求出直线段的端点值3,2IL,32,1KIAFZIK3,2,2KIBFZIK(16)最后综合上述几种情况得出的函数最值(12),(13,(14),(15)和(16),通过比较函数值的大小找出二元连续函数在扇形区域上的最大值和最小值例4求二元函数在扇形区域22,XYYXF,510,3,42XYD上的最值。解由DYXYXFYINT,02,可得在扇形区域内的驻点有,D21P,令,21P,YXFA,YXFB,因为驻点,XCY,21P都满足,所以,2,1P082ACB都不是函数的极值点,即不是最值点,故舍去YXF扇形区域边界上的最值可采用转换法求解,分别令边界线方程为,2510,421XYXL,把曲线段的方程边形为,代510,32XYL510,3XYL1L224XY入到函数中可得一元函数,对求一阶导数可得,F2,431F1XF,令,求得函数的极值点,因为4321XF04321XF1XF3132,故舍去,把代入函数中,可得再求得502311F91641F的端点函数值为,同理,可求得1XF250841F41F的极值为,端点函数值为,50,32YL2F02F25108412F的函数极值为,端点函数值为,1,3XL03F3F综合上述扇形区域内的函数值和扇形区域边界上的函数值可得的25084103F,YXF最大值为,最小值为(二)二元连续函数在曲边梯形区域上的最值二元连续函数在曲边梯形区域上的最值问题,我们同样分两部分进行讨论,YXFZD第一部分,曲边梯形区域内函数的最值,对函数求一阶偏导数之后,令YXFZ,INT,0,YXFZYX其中求解方程组可得二元函数在扇形区域内的驻点,再令,321PIIIXYFZA,同前面在圆域内的判别方法一样,将的驻IXYFZBIYXFC02CB点代入到中求出相应的函数值,321,IYXFZII(17)第二部分,曲边梯形区域边界上的最值,曲边梯形区域是由两条平行的直线段和两条曲线段(或一条直线段和一条曲线段)围成的封闭区域,其边界是有直线段和曲线段共同构成朗格朗日乘数法就很不容易求解,所以我们用转换的思想方法求曲边梯形区域在边界上的最值问题首先将边界线方程分别设为,把它们代入到函数中,通过代换可以得到相应的一元函数432,1ILYXFZ,对它求一阶导数可得,令BAXFII432,1,IBAII,可得函数的极值点,把极值点,0I43,21,BAXFIIXI代入函数中,可求得函数的极值432,1XFII,32,1,1NJIIXFZIJ(18)其次,求出线段的两个端点值分别为4,321IL,32,11KAFZIK,3214,1KIBFZIK(19)最后,综合上述几种情况得出的函数值(17,(18)和19,通过比较所得函数值的大小可得到二元函数在曲边梯形区域上的最大值和最小值例5求二元函数在有界闭区域843,2XYYXF,3,61,2,0,XYD上的最值解对函数求一阶偏导数后,令FDYXYXFYINT,08,6求解方程组可得函数唯一的驻点,因为不在所属扇形区域内,故舍去,FP0,D函数在曲边梯形区域边界上的最值,我们可采用代换法求解,将曲线段方程变形为YXF1L,代入中,可得函数,对13,2XYYXF13,8321624XXXF它求一阶导数有,令求解方程得到函数F6423031的极值点为,因为不在所属区间,故舍去再求得曲线段的端点值为1XF0X1L,同理,求得函数3651F3,83216242XXXF的最值和端点值为

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