应用F-展开法求解Hirota-Satsuma方----------程组的精确行波解

应用F展开法求解HIROTASATSUMA方程组的精确行波解摘要在本文中引入一个辅助方程，通过这个辅助方程来构造HIROTASATSUMA方程组的精确解，利用这个辅助方程的解，获得了HIROTASATSUMA方程组的各种行波解，包括周期解，孤立波解，扭子波解，紧孤立波解等关键词HIROTASATSUMA方程组；F展开法；行波解；周期解；孤立波解；扭子波解；紧孤立波解红河学院本科毕业论文（设计）ABSTRACTINTHISPAPER,AAUXILIARYEQUATIONISINTRODUCEDBYUSINGTHISAUXILIARYEQUATION,THEEXACTSOLUTIONSOFHIROTASATSUMAEQUATIONSAREESTABLISHEDTHATIS,DIFFERENTKINDSOFEXACTTRAVELINGWAVESOLUTIONSOFHIROTASATSUMAEQUATIONSAREOBTAINEDBYUSEOFSOLUTIONOFTHISAUXILIARYEQUATION,THESEEXACTSOLUTIONSINCLUDEPERIODICWAVESOLUTIONS,SOLITARYWAVESOLUTIONS,KINKWAVESOLUTIONSANDCOMPACTONWAVESOLUTIONSKEYWORDSHIROTASATSUMAEQUATIONSFEXPANSIONMETHODTRAVELINGWAVESOLUTIONSPERIODICSOLUTIONSSOLITARYWAVESOLUTIONSKINKWAVESOLUTIONSCOMPACTONWAVESOLUTIONS目录第一章绪论111研究现状112研究方程113研究内容1第二章F展开法3第三章求解方程组531一般形式的精确解532函数的行波解7JACOBI第四章小结36参考文献37致谢38第一章绪论0第1章绪论11研究现状非线性科学是近30年来在综合各门以非线性为特征的科学研究基础上形成的，是继量子力学，相对论之后20世纪自然科学的重大发现最近,出现了许多求非线性发展方程精确解的新方法,如齐次平衡,双曲正切函数展开1法,椭圆函数展开,F展开等它们各自对于某一类方程2法JACOBI3法46法求某一种形式的行波精确解是十分有效的其中“椭圆函数展开法“,“FJACOBI展开法“对于求非线性发展方程的椭圆函数解是十分有效的对于JACOBIHIROTASATSUMA方程人们一直通过各种方法进行研究，发现非线性发展方程组的精确孤立波解在数学物理问题研究中起着重要的作用孤立波精确解除了自身的物理意义之外还可以应用于数学物理方程解的定性研究、鉴别数值方法和近似方法的有效性但是由于非线性发展方程的复杂性,毕业设计论文代做平台580毕业设计网是专业代做团队也有大量毕业设计成品提供参考WWWBYSJ580COMQQ3449649974对它的求解研究还是非常困难的这些方法各有其优劣点,只适用于各自的特殊类型的方程组的求解,求解非线性数学物理方程组的还没有系统而有效的方法所幸的是孤子理论中蕴涵着很多求解精确解的有效方法，如反散射法IST79,HIROTA双线性法10，PAINLEVE有限展开法1112，延拓法及LIE群法13等但目前科学理论和技术的发展迫切需要研究有效的求解方法所以求非线性数学物理偏微分方程的精确解是人们探索的课题,需要研究有效的求解方法目前，非线性科学已成为当代研究的焦点12研究方程1非线性HIROTASATSUMA方程组1411,3TXXXTXXUUVWVW（1/213研究内容本文主要是针对非线性耦合方程组（11）的特点，构造一个辅助方程，通红河学院本科毕业论文（设计）1过采用齐次平衡法、F展开法及辅助方程的解来得到方程组11）的行波解，并利用数学软件MAPLE得到行波解的几个典型波形图论文主要分为三个章节来写第一章主要写研究此问题的背景，研究方程的由来及论文的大体情况；第二章主要介绍论文用到的概念及研究方法；第三章论文研究的全过程及得到的结果；第四章论文小结第二章F展开法2第2章F展开法F展开法是齐次平衡原则的新应用，可视为椭圆函数、三角函数以及JACOBI双曲正切函数展开法的概括考虑非线性波方程PDE21,0,TXTXPUU为其变元的多项式，其中包含有非线性项和高阶偏导数寻求它的行波解为220X,T,T,UKX其中为非零常数，是任意实常数21经22行波变化为K023223,PUKU依据F展开法，首先，假设23的解U具体形式为24,0,ININIUAF其中为待定常数，且函数满足如下的一阶常微分方I,1F程25,432CFBAF其中A,B,C为待定常数然后，利用齐次平衡原则，确定24式中的N，使得24式可以平衡23中的非线性项和最高阶导数项将确定了N的24式代入23式，求出使23成立的各个待定常数再将求出的常数代入（24）式，这样在形式上就得到了（23）式的F展开解24最后，根据表1F函数就可以取成相应的椭圆函数，从而就得到了（23）式JACOBI的精确行波解红河学院本科毕业论文（设计）3表一方程与之相应的椭圆函数解的关系15（其中234FABCFJACOBIF）41B，NOINOI12345678,A021/ABSECHCTAN,A02/1COTH,A0,02ASEBC,A02CSE,A0,02S,A0,C021/AECHBCTANA02/21STA910111213141516,A0,2CS1/2OTHABCC0A0,A0,01TANH/B,A0,0ACOT/2,A024AEBC,A0,B0214E,A02C,C0,AB0第三章求解方程组4第3章求解方程组本文的主要工作是采用F展开法、齐次平衡法及辅助方程法来解如下HIROTASATSUMA方程组31,3XXXXTXXUUVWVW,（1/231一般形式的精确解为了寻求方程组31的精确孤立波解，我们可设U，V（），W，0KXT32其中待定，把31式代入方程组30）可得下列常微分方程组,03330,KUKVVW（1/23现假设能表示成有限级数,U和F000,NNNIJKIJAFVBWCF34这里是待定常数，而满足一阶,1,1,1IJKCF非线性常微分方程35）（4322/CFBAF根据改进的F展开法和齐次平衡法，我们假设可以表示如下,UWV222010101U,AAVBFCFC36将36代入方程33，并利用35式，将方程33化为的多项式,消去。令多项式的系数为零，得到一个超代数方程组F（3732260,KBCA红河学院本科毕业论文（设计）5）（331212165630,KCBBKAB8）39328,AKAB3101101,KA31132246CCA3121121530,KBKCA3133286CAKC3141101,KAC31523226,CKB316111219/6530,KBKBC31732022120/8,BAAAABC318011102KKC求解代数方程组37318，取以下四种情况的解组情形22221120120132202211/4/,/,1/4,/6/,/4,ABAKBABKCAKBCCK（319）情形23221121001321210121/438/,/,/,4,/8/,AKAKBCABKCAKBBCCK320情形第三章求解方程组62221102101201/,/,/,4,0,AAKBAKCAKBBCC321情形2322121021212012/438/,/,/,/,AKAKABKCAKBCBCCK32232函数的行波解JACOBI通过运用方程33的结果与对应的关系表，分别把16个解带入四种情F形可得到以下一系列的解对于情形I221134242422112156486212U/8/4/BKABKASECHBKABKTNBBAK2421241/,ATHBK323红河学院本科毕业论文（设计）74222432421011212642245824211212/8/VBASECHBAKKBAKBTNA44,BTHBAKKB324223110224542422111262/6/3/45/WAKBKBASECHSQRTKABKTN478242121412/,TKBABTSRBAK32522213424242112215648612/8/4/UBKABKACSHBKABKOTBBAK24212241/,ACTHBK32614222432201214464224582212121/8/VBSAABKABCOTHBKKCHK44,TAB327第三章求解方程组832822321022454242211221621/6/3/45/WAKBKBACSHKABKOTABBAK478214222411/,BKCTHKKB329232323221112421324421121/6/UKABSECHBAKBATNKBK2421/,ABKTAHBA3222230112421424321121/6/VSECSQRTABSQRTNTKBBAHTBAKK24211/,TKHSRTA3303312233102234221422211445212/6/6/WABKBSECHAKABKKTNABBKB421422211/,TAHA3324212323221124213424411221/6/UKABSECBKBKABKTANA22421/ABKTBK，33332222401124214243421121242/6/VSECABAKBTNBABKKK21/,TAAB红河学院本科毕业论文（设计）93342234102234221142221445211/6/6/WAKBKBASECKABKTNABBAKB42142221/,KTK232252121324142221121/6/UCSHBAKBKABABOTCSHKK21/,KOT3353363222250121144222434211214/6/VBACSHBAKKBAKBKOTABC1,THBAK2235102234221422211445212/6/6/WKSABKABCOTHBAK421422211/,KT337222322611132442211221/UBKABABCSBAKKKOTBACS2241/,BKCOTBA338第三章求解方程组10339322260121212411422243421214/VBACSBAKKBAKCOTAKABK21,TBK34012233610224112222144516/6/4/6/WAABCSABKCOTBKCSAK4212422211/1/,ABKT341272221122/4,/4UBKBATNHAKB34227011222,/VBTBANHAK3432371022221122346/8/4/6,/WKBKBTANHA3442281222112/4/4/,/UBKBCOTKBAHA34522801122,/4/4VBTBCOK346238102222112236/6,4/WAKBAKBTHCO红河学院本科毕业论文（设计）112222221/23911/324211/44221/4/BAKBAKBAKUEBKEBA241,（347）（34822221/322290121/1/441/342221/BAKBBAKVEBKEKA42,）34922223910/1/3422111/2422542126/BAKBAKWKAEEE2/421,BAKBKABK222222231/10132421/1/4442/,SQRTBAKBAKBAKUEABEB3503512222221/1/322102/1/442/32421/,BAKBAKBBAKVBEEK第三章求解方程组12（322222223101022/1/34211/44/5226/1/BAKBAKBAKKWAEEKBE4,52）（353）22211124342221/4/,UBKABABKKB（354）41012242221/,VAKBAKBKAK355312032324221144226/,WBABKABKAK（356）222111/,4/UBK（357）22201/4/,VBAKK（358）23121021/46/WBAKB对于情形II3592211121235242111325/48/38/63UAKBCKAKAKBCSEHBCTANKAKAK2123411202412351128/38/,KBCSEHBCKKTANAA2101232115241232511/38/38/,VBKAKCSEHAKBCAATNKA360红河学院本科毕业论文（设计）1336131121101222321121542231212/848/38/WAKABCKAKBCSEHBCKKKTANAA5/,222321111542232512111/3CSH/48/8OT/3/63UBKKKKBCAAABAKK241024232522111CSH48/8OT/3/,KAKKBCAAABAK3623632201232111542232511/38CSH/OT38/,VBKAKAKBCAAKA3642021123211524123112/8CSH/38/OT/WKBCAKABAKCKBA5/,第三章求解方程组14365223112123132425211213122/4/8/38/UAKBCKAKAKBCSEHBCAKAKAK21321121624521121321248/3/8/8/,BCSEHBCKAAKA366230131121232452132121/3/83/,VBKCSEHKAKBCAAK36733121012123112324252121311/8/8/3/38/WAKABCAKABCSEHKAKABCKACBCA2,36824112131232425211213122/8/8/38/UKAKBSEKAKAABCCBCK2132112162452112132124/8/38/,KABSEAKAABCKCKABC369240131121232452132121/38/,VBKSEKAAKABCKC红河学院本科毕业论文（设计）15）33412110122123112324252131112/88/38/WAKABCKAKBCCSEAAKAKBCKCA,703712511221231123425212321112/4/8CSH/3/8/8/UAKBCKAKBCKAAAKABB22321116425212321112/4CSH/3/8/8/,KBKAKCAABKB37250231112324252132111/3CSH/8/3/,VBKAKAKCAABKKA3735202112311234522123111/8CSH/38/WBCKAKBKAAAKBCC2,第三章求解方程组163742611221231123242521132112/4/8CS/3/8/8/UAKBCKAKBCKAAKABAB223211162452121321214CS/3/8/8/,KBKAKCAAABKB375601231112324521232121/3CS/83/,VBKKAKCAABKK37661202123111232452123121/8CS/38/WABCKAKBKAAKBC2/,72112321132512312124/8/3/848/6UKBCAKBCSEHAKBCAKTANKA2341112622523212111/3/8/8/,BCSEHKAKBCAATNHKKBCA377红河学院本科毕业论文（设计）17270132112132523121112/438/8/48/,VBKAKCSEHAKBCAATNHKAKBCA3783712101212323211112531112/848/432/8/48/,WAKABCKABCKBSEHKAAKBCTANHBCKA37928112232111322512312/44/848/6/4/1/68UAKBCKASEKAKBCAKBCTANHKAKCA223411122125232211148/6/3/,BSEKKBCAKAKCTANHAK380280132321121125312112/4382/64/48/,VBKAKCSEAKBCAKATNBCKA381第三章求解方程组183281210121123322125312112/48/4/6/8WAKABCKABCKABCSECTNBKA,382229112131325231211122/44/48CSH/38/COTH/48/1/68UAKBCKAKAKBBAKKAKBCAK234122125232111S3/3/COTH/48/,BCAAKKAKBCA383290132112132523121112/438CSH/8/COTH/48/,VBKAKAKBAAKAKBCA384329121012112332212531112/848/4CSH/COTH/8,WAKABKABCKABBCKA385红河学院本科毕业论文（设计）192101122232111325212231/44/8CS48/6/COT4/1/68UAKBKAKAKBCAKBCKAKBA2234111222152322111CS48/6/OT/3/,KAKBCAAKAKBK386210132121321523121112/438CS/64/COT/48/,VBKAKAKBAAKAKBCA38732101210121123322125312112/848/4CS/6/COT/8WAKABKABCKABBKA,38838912211121322132211/44/48/38/6384/,UAKBCKAKAKBCTNHBCKATAKAKCA101231221/38/,VBBTNHK3902110123211/84/4/8/,WAKACKABCKABCTNH第三章求解方程组20122121121322132211/44/48COTH/38/638CT4/,UAKBCKAKAKBBCKAKAKCA3911201231221/OTH38/,VBBK3922121012311/84/4COTH/8/,WAKAKCABCKAB393232321311/81/21/381/3252121/4/KAKBCAKAKBCUEKE233/181/2/38/62252111/,KAKBCAKAKBCEE2312123112/38/30/38/521/8/,KAKBCAKAKBCAVBEKEKBC39439523112231123131201/8/38/325/4/,KAKBCAKAKBCWCEKE3962323221411/381/281/232511/321/48/KAKBCAKBCAKAUAKBCEAK3/1821/262521/8,AKBCAAKBCEK39723/3/14011181/232521/,KAKBCAVBAK红河学院本科毕业论文（设计）21314121012132223123251/848/38/3/,WAKABCKABKCACKEKKKCE398399222421511112442/4/6/,UAKBCKAKAK3100215011/VB3101131012124211/88/4/,WAKABCKABC31022226121/,UK3103101/,VBAK3262110121/848/WBCKABCAK3104对于情形3105242211211442421162418242211/UKAKASECHAKTNSECHAKATHAK4/,31062422212114424162418242211/COTH/T/S/CCSHUKAKAAAK4,第三章求解方程组2231072322312112424241124221/,UKAKASECHAKTNHAKSECHKAAKT3108324121224214241124221/,UASECAKTNKASECAKKTA3109325121224214241124221/COTH/TCSHCS/H,UAKAAKKAKA3110326121224214241124221/COT/T/CSC,SUAKKAKAKAKA2712122221/4/4,UTNHAKTANHAK31112228121122/4/COTH/4/COTH,UKAKAAKKA31123113223291211/2411/1/44242211/,AKAKUEKAKE红河学院本科毕业论文（设计）2331142221/31012/1/22441/421/,AKAKAUEKAE3115222421111442/6,UKAKAKAK311622212121/UKAKAAK对于情形211223215423211122311/38/438/48/6/UAKSECHKAKAKTNHKAKA421024232511/83/,AATKA3117223210111524232521/38/438/,WCKASECHKAKAKATNK（3118）2221231125242321122311/38CSH/438/COTH48/6/UKAKAKAKAKAKA410242232511/83T/,KAK第三章求解方程组24（3119）22322011154232521/38CSH/438/OT/,WCKAKAKAKAK（3120）（3121）23123112324521312222311/88/3/88/UKASECHKAKAKASECHKASECHKAKA26425123211/3/,AKKSECHKA（3122）223301124252123211/8/8/3/,WCKSECHKAKAKAASEHK（3123）42223112324521312222311/8/8/3/88/UKASECAKAKKSECKASECKAKA26425123211/3/,AKSEC红河学院本科毕业论文（设计）25（3124）2234011234252123211/38/8/,WCKASECKAKAKASEK（3125）522231123245213122223114/8CSH/8/CSH/3/488/CSHUKAAKAKAKKAAK26425123211/CS3/,AAKKHKA（3126）2235011234252123211/8CSH/8/CS/3/,WKKAKAKAAKAH（3127）622231123245213122223114/8CS/8/CS/3/88CS/UKAKAKAKKAKAKA26425123211/CS3/,AKKK（3128）2236011234252123211/8CS/8/CS/3/,WKAKAKAKAK第三章求解方程组2627123211322531122234112/4/8438/8/6/UAKSECHKAKAKTNHAKA225322112/38/,KAKTAK（3129）2232701132253112/438/438/48/,WCKASECHKAKAKATNHKA（3130）28123211322531122234112/4/8438/8/6/UKASECKAKAKATNAKA225322112/38/,KAKTK（3131）1223280132253112/438/438/48/,WCKASECKAKAKATNKA（3132）29123211322531122234112/4/8CSH438/COTH8/6/UKAKAKAKAAKA225322112/38/T/,KAKK（3133）红河学院本科毕业论文（设计）272232901132253112/438CSH/438/COTH48/,WCKAKAKAKAKA（3134）21012232113253211222234112/4/8CS438/COT8/6/UKAKAKAKAAKA25322112/638/T/,KAKK（3135）2232101132253112/438CS/438/COT/,WCKAKAKAKAK（3136）211223112221/4/38/438/6,UKATNHKAKAKA（3137）2231011221/4381/438/,WCKATANHKAKA（3138）2121223112221/438COTH/438/6,UKAKAKAKA（3139）22312011221/4381COTH/438/,WCKAKAKA（3140）第三章求解方程组2823232321/38/2213121/38/521/8/21/38/61248/KAKAKAKAKAKAKUEKE325/,A（3141）314223231/8/213012/38/5212/8/,KAKAKAKAWCEKEAK312231223121/31418/352/3/21862/8/AKAKAKKAUEEKAA32/5,KA（3143）（3144）231/38/2214/3508/3,KAKAWCKAEK（3145）2224215111244/6/,UKAKA（32215011/WCK146）（3147）2221611/4/,UAKAK（3148）01/WC借助MAPLE软件，取适当的参数，可以画出原方程在不同解形式下的图形，为了更形象和对比，分别画出了三维图和对应的二维图如下红河学院本科毕业论文（设计）29311三维波形图312二维波形图图31孤立行波解（322的三维图和二维图其中，（A）是孤立行波解（322在参数条件的三维图，2211B40K3A5B420X,T2，（B）是孤立行波解（322）在参数条件的二维图2210，,T,321三维波形图322二维波形图图32孤立行波解（324）的三维图和二维图其中，（A）是孤立行波解（324）在参数条件2211B40K3A5B4120X,T20，,，第三章求解方程组30的三维图，（B）是孤立行波解（324）在参数条件的二维图221140K3A5B4120X0，B,，T,331三维波形图332二维波形图图33周期行波解（354）的三维图和二维图其中，（A）是周期行波解（354）在参数条件2211011,B40,K3,A5,B4,A3,B4,C0,2X,T的三维图，（B）是周期行波解（354）在参数条件2211011,40,K3,A5,B4,A3,B4,C0,T1X4的二维图红河学院本科毕业论文（设计）31341三维波形图342二维波形图图34周期行波解（356）的三维图和二维图其中，（A）是周期行波解（356）在参数条件2211011,B40,K3,A5,B4,A3,B4,C0,2XT2，的三维图，（B）是周期行波解（356）在参数条件2211011,40,K3,A5,B4,A3,B4,C0,T1X4的二维图351三维波形图352二维波形图图35紧孤立波解（328）的三维图和二维图其中，（A）是紧孤立波解（328）在参数条件的三维22101B40K3A5BB2X10,2T，图，（B）是紧孤立波解（328）在参数条件的二维图。2210140K3A5BB2X8，T,8第三章求解方程组32361三维波形图362二维波形图图36紧孤立波解（329）的三维图和二维图其中，（A）是紧孤立波解（329）在参数条件的22101B40K3A5BB2X10,2T，三维图，（B）是紧孤立波解（329）在参数条件的二22108，T,8维图371三维波形图372二维波形图图37扭子波解（340）的三维图和二维图其中，（A）是扭子波解（340）在参数条件的三维图，22101,B40,K3,A5,B,2,X0,2T（B）是扭子波解（340）在参数条件红河学院本科毕业论文（设计）33的二维图22101,B40,K3,A5,B,2,T10X2红河学院本科毕业论文（设计）34第四章小结本文通过构造辅助方程将求解非线性偏微分方程组的问题转化为求解代数方程组的问题，F展开法从而求出了非线性方程组的大量椭圆函数的周JACOBI期解利用数学软件MAPLE一系列波形图文章中获得的结果，与现有文献14中的结果相比，在解的形式上是不相同的我认为，本文的结果在广义HIROTASATSUMA方程精确求解方面，起到了一定弥补性的作用，并具有一定的应用前景，丰富了文献14中的内容红河学院本科毕业论文（设计）35参考文献1WANGMINGLIANG,ZHOUYUBIN,LIZHIBINAPPLICATIONOFAHOMOGENEOUSBALANCEMETHODTOEXACTSOLUTIONSOFNONLINEAREQUATIONSINMATHEMATICALPHYSICSJPHYSLETTA,1996,21667752FANEEXTENDEDTANH2FUNCTIONMETHODANDITSAPPLICATIONSTONONLINEAREQUATIONSJPHYSLETTA,2000,2772122183刘式适,傅遵涛,刘式达等椭圆函数展开法及其在求解非线性波动JACOBI方程中的应用J物理学报,2001,5011206820734ZHOUY