第8讲正交设计

第八讲正交试验分析及分析方法ORTHOGONALDESIGN正交设计是一种研究多因素试验的设计方法。在多因素试验中随着试验因素和水平的增加，其处理数也随之增加。例如，4因素各具4水平的试验，就有44256个水平组合。要全面实施这些试验有一定的困难。为克服这一难点，可以在因素空间中选择N类具有不同特点的点，把它们适当结合起来形成试验计划。正交设计就是利用一套规格化的表格正交表，科学合理地安排试验。其特点就是在试验的全部处理组合中，仅挑选部分有代表性的水平组合进行试验。通过部分试验了解全面试验情况，找到较优的水平组合。因此，正交设计最适用于多因素，多水平，试验周期长，误差较大的一类试验。第一节正交表的构造及正交试验设计一、正交表的构造正交表是正交设计的依据，它是通过数学理论预先推导出来的。实验时只要根据试验的条件直接套用就可以了。每一张正交表，都有一个标目，如L9（34）（表81）。其中L表示一张正交表，括号内的底数3表示因素的水平数，3的右上方指数4，表示最多可以安排因素的个数。L右下角的数字9表示试验的次数（水平组合数）。横表头的“1，2，3，4”是表示正交表4列号；纵表头的“1，2，9”分别表示9行，也是9个处理的代号；表身中每一列的“1、2、3”分别表示因素的3个水平。表81L9（34）正交表列号试验号1234123456789111112221333212322312312313232133321以上所述的正交表各因素的水平数都是相同的。但试验中，有时也会遇到某些试验因素的水平多些，另一些因素的水平可能少些。这种试验就应该应用混合水平正交表。如L8（4124）。其中8表示要安排8个处理组合；括号内的指数1和4表示此表共5列，可以安排5个因素；括号内的第一个底数4表示第一个因素设4个水平；第二个底数2表示后4个因素均设2个水平。有的正交表后附有“两列间的交互列”表，是用于安排因素之间有交互作用的试验，交互作用随着因素的增加而减小。二、正交表的特性正交表具有以下两个特性1、均衡搭配以L4（23）为例说明。由表82中看，每一列中不同数字（1，2）出现的次数相等。任二列中，同一横行的每种数对（1，1）、（1，2）、（2，1）、（2，2）出现的次数相等。即对任两列来说，其因素水平间的组合都是均衡搭配的。2、整齐可比由于组合间的均衡搭配，因此，任一因素的任一水平下都必然均衡地包含着其它因素的各水平。如第一列所在因素的两个水平比较，第1水平是1、2两个试验号的相加，第2水平是3、4两个试验号的相加。在第1水平中，由于配有第2列、第3列的1、2两个水平；在第2水平中，也同样配有第2、3列的1、2两个水平，因此第1列所在因素的两个水平是在相同条件下的比较，具有整齐可比性。对第2、3列的水平间比较也是如此。表82L423正交表列号试验号1231234111122212221三、正交试验的设计正交试验的设计，可按以下步骤进行。（一）确定因素和水平根据试验的目的确定试验要研究的因素。如果对研究的问题了解较少，可多取一些试验因素。若对研究的问题比较了解，因素可少些。确定的因素主要是选择对试验指标影响最大而又最有经济效果的因素。因素确定后，便可对水平进行划分，每个因素的水平数可以相等，也可以不等，重要的因素或特别希望详细了解的因素水平可多些，其余的可少些。例1研究不同营养成份含量对肉鸡的增重效果，考察了粗蛋白含量（A）的4个水平（K4），粗脂肪（B）和粗纤维（C）含量各2个水平（M2）的三因素不等水平，如表83。表83因素水平表因素水平粗蛋白（）粗脂肪（）粗纤维（）123414253163541820（二）选用合适的正交表根据试验因素和水平数的多少以及是否需要估计互作来选择合适的正交表。选用正交表的原则是即要能安排下试验的全部因素，又要使部分试验的水平组合数尽可能的少。例1的试验可选用L8（424）。该表是来自L8（27）正交表，（见表813）。把L8（27）正交表的第1、2两列合并，横行搭配（1，1）的赋予1，（1，2）的赋予2，（2，1）的赋予3，（2，2）的赋予4，便成为L8（424）正交表的第1列。根据L8（27）的交互列表知道，第3列是第1、2列的交互列，为避免效应的混杂，故在L8（424）表中也不能再出现，因此，L8（424）正交表仅有5列，其结构见表85。（三）作表头设计，列出试验方案表头设计，就是把试验中所选择的各因素，填到正交表的表头各列上。在不考虑交互作用时，哪一因素放到哪一列，原则上可任意放置，只要每一因素占一列即可；若要分析交互作用，或避免交互作用的混杂，就应按指定的列放置，不能任意放置。本例不考虑交互作用的影响，把A、B、C因素依次安排在第1、2、3列上，第4、5列为空列，如表84。表84肉鸡增重试验的表头设计L8（424）列号12345因素ABC表头设计好后，把各列中的水平号换成各因素的具体水平就成试验方案。表85肉鸡增重的正交试验的表头设计增重（G）因素试验号ABC12345合计TT123456781（14）1（25）1（3）1112（35）2（4）222（16）1122222113（18）1212321214（20）122142112116115119114115114117116119119120120125122120126124121124025123128128126350343352359367371372382T1T2T3T469314411455145814447111455144114381452738754TR969965962T2896第二节正交试验结果的实例分析一、无交互作用的正交试验设计正交试验结果分析的方法分直观分析和方差分析两种，这里仅介绍方差分析法。本例试验设三次重复，其结果列于表85的右侧，若用N表示试验处理组合数，A、B、C分别表示A、B、C的每个水平的试验重复数，R为每个处理组合的重复数。则K4，M2，N8，A2，B4，C4，R3。方差分析的步骤如下（一）计算各因素同一水平之和第一列AT1350343693T2352359711T3367371738T4372382754第二列BT13503523673721441T23433593713821455其余各列各水平之和的计算方法同上。（二）各平方和及自由度的剖分总平方和SSTSSTSSRSSE2SST为处理组合平方和，SSR为重复间平方和，SSE2为试验误差。03716495673871930245083649569641701173450829222221CARTSNSCXRSSATTRRTEBAT为空列算出的误差）1427321211834218583196734503412598410252122212TRTECBATBARTRTECBATECBDFFDNFMCKDFNFSSCRTSB）（）之和，（或各空列水平数或（三）列出方差分析表，进行F检验本例为有重复的正交试验，误差E2是真正的试验误差，而误差E1除有试验误差外还混杂有交互作用。如E1经F检验不显著，则应计算合并误差均方，以提高试验分析的精度。若F检验显著，则E1与E2不能合并，只能以E2作为检验其它效应的误差，本例经检验,小于F0052，146397262SSF374故差异不显著，需合并计算误差均方，如表86。表86三因素L8（424）正交试验方差分析表变异来源DFSSS2FF005F001重复ABC21E误差误差23081541337100123673246529181681621444918168162144589合并误差166091381总的2345133F检验结果表明，A因素间的差异极为显著。表明饲料中粗蛋白含量的高低，对肉鸡增重的效果影响极大，而本次试验的其余两因素对增重效果不明显。（四）进行多重比较，选取最优组合，因A因素各水平间存在明显差异，故需做多重比较，根据比较结果及各因素的影响大小，来选取最优组合，本例采用SSR法进行多重比较。先求各水平平均数及标准误671258401236787594321GARTXGARTX2RSEX根据DFE16，在SSR值表上分别查出R2，3，4的SSR值，再将SSR值乘以S值，即得各LSR值。列于表87。表87表85资料的LSR值（SSR法）KSSR005SSR001LSR005LSR001230041324033033154342523474323445258356将计算所得LSR检验各水平间的差异显著性，列于表88。表88不同粗蛋白含量对肉鸡增重效果的比较水平平均数IX51I51IX0123IX41256710177172673123007545211853011155比较结果表明除20与18及16与14粗蛋白含量间差异显著外，其余各水平间的差异均达到10的显著水准。其中以20的含量（A4）最佳，其次为18者。由于A因素为影响增重的主要因素，故最优组合中必须选有A4，B、C因素虽为次要因素，但考虑到A与B间有一定的交互作用存在，故在B因素中宜选B2为宜。C因素的两个水平均可选其一。二、有交互作用的正交试验设计例1资料的分析结果是在不考虑交互作用的情况下进行的。实际上，很多试验因素间都存在交互作用。上例中所估算的C因素效应和试验误差，事实上都混杂有A、B的交互作用，即第3、4列为AB的交互列。为避免各因素效应及误差与交互作用的混杂，需按指定的列安排各因素。以L8（27）正交表上安排三个因素A、B、C，并考虑存在AB、AC、BC的交互作用为例来说明其指定列。这时需选用L8（27）两列间的交互列表，（见表89）来安排各交互作用列的位置。若将A因素和B因素分别安排在第1、2列，由表89可查出AB的交互列所在位置。即从（1）向右，从（2）向上的交叉点数字为3，便表示第3列是第1、2列的交互作用列，亦即AB所指定放的位置。这时，该列不能再安排其它因素，以免发生效应间的混杂，若将C因素放在第4列上，则（1）与（4）的交叉点的数为5，即为AC所指定的列位。BC则在（2）与（4）的交叉点第6列上。依据表89，例1资料的表头设计如表810。表89L8（27）二列间交互作用列表列号1234567列号（）（1）325476（2）16745（3）7654（4）123（5）32（6）1（7）表810表头设计列号1234567因素ABABCACBC例2为查明仔鸡维生素缺乏症由哪种维生素不足而导致的，现对核黄素、胆碱、烟酸和硫胺素四种维生素进行正交试验，同时考察核黄素与胆碱、烟酸间的交互作用，每种维生素分喂与不喂两个水平，试验按4因素2水平进行设计，以仔鸡的增重来衡量各因素的作用。（一）列出因素水平表表811因素水平表因素水平核黄素胆碱烟酸硫胺素ABCD12不添加不添加不添加不添加添加添加添加添加（二）选用合适的正交表并作表头设计，本例选用L8（27）正交表，依据表810表头设计为表812表头设计列号1234567因素ABABCACD（三）列出试验方案试验方案及其试验结果列于表813。表813仔鸡维生素试验方案及其结果因素试验号ABABCACD1234567增重（G）123456781（不加）1（不加）11（不加）111（不加）1112（加）222（加）12（加）2112212222112（加）121212212212122112212212112162172168190178215162182T1T2692727678670727712729737702751759702717700T1429X1731817516951675181751780182251842517551877518975175517925175R112562518252225625125725（四）方差分析用N表示总试验次数，A、B、C、D分别表示因素A、B、C、D的各个水平的重复数，各因素的水平数为K，K2，N8，ABCD41、平方和及自由度的剖分8721351826351429CXSTNC12718532785402416716820535402919276278354027392222CABDCBATCABDACABDDCCBADFFDFDFNSSSETSTBSA2、列出方差分析表，作F检验表814表813资料的方差分析表变异来源DFSSS2FF005ABCDABAC误差12531225312803616117812781224801990129901231432110512105123337166612666122114717812781224381315315总的7217387F检验结果表明因素C和AB达到显著水平，表明烟酸以及核黄素与胆碱的互作是影响肉用仔鸡增重的主要因素，可见，肉鸡饲料中主要是缺乏烟酸和核黄素。3、进行多重比较，选取最优组合，因只有两个水平，故无须作多重比较。又因AB显著，故选取最优组合时，需要比较A、B各水平搭配下的平均增重。见表815表815AB搭配表BB1B2A1（162172）/2167（168190）/2179AA2（178215）/21965（162182）/2172由表815可见，A2B1的平均增重最大，故主要因素中AB，选A2B1，C因素选C2，D因素选D1，故最优组合为A2B1C2D1即饲料中添加核黄素和烟酸，而不添加胆碱和硫胺素的饲料，可获得较大的增重效果。例2为探讨不同配方对赤霉素的培养效果，试验考察了硼砂（A）、玉米粉（B）、白糖（C）等7个因素，每个因素设3个水平（见表816），依据以往经验，各因素互作中拟重点考察A、B、C间的一级互作，试验安排2次重复。考察指标为赤霉素效价单位数。试作正交试验设计及试验资料的分析（试验资料摘自盖钧镒主编试验统计方法）（一）列出因素水平表表816因素水平表因素水平硼砂玉米粉白糖时间尿素磷酸二氮钾碳酸钙ABCDEFG12300520220天0050100501017325天0100201002013430天02003020（二）选用合适的正交表并作表头设计，本例选用L27（313）正交表，依据该表有3因素交互作用的表头设计为表817表头设计列号12345678910111213因素ABAB1AB2CAC1AC2BC1DEBC2FG（三）列出试验方案试验方案及其试验结果列于表818。表818赤霉素培养试验方案及其结果12345678910111213指标（千单位）因素试验号ABABABCACACBCDEBCFG重复重复TIIX123456789101112131415161718192021222324252627111111111111111112222222221111333333333122211122233312222223331111222333222111133311133322213332221113331333333222111212312312312321232312312312123312312312223112323131222312313121232231312123231231212331223123122311233122312312231123313213213213231322132132133132321321321321313221332132132133211323213321132213332113232121333212131323213321321213132808016080224224448224140140280140200200400200210210420210145140285143160160320160200205405203120100220110280148428214240148388194808016080140154294147180100200100199196392196200210410205140140280140210200410205224280504252120120240120126126252126140145285143240290530265224160384192224244468234224224448224808016080T1T2T3239828603187285032693060254423862305319230323626297529623190315732013359320134922845341831743335307429813271312128273120254329103135304034482805280434693215466745049171170（四）方差分析用N表示总试验次数，R表示各处理组合的重复数，A、B、C、D、E、F、G分别表示因素A、B、C、D、E、F、G各个水平的重复数，各因素水平数为K，K3，N27，R2，ABCDEFG9。1、平方和及自由度的剖分091750842159722CCXSRT531796415302609244222TRTEITRSSCCRN1296293460763545818929345230205667329028832222CCFRTSECDRSCCTCBRSAFEDBA713229480638953023290173180555222CCBRTSACRTSGBCABGDFTNR1272153；DFRR1211；DFTN127126；DFEDFTDFRDFT36；DFADFBDFCDFDDFEDFFDFGK2312；DFABDFACDFBC2（K1）2242、列出方差分析表，作F检验表819表818资料的方差分析表变异来源DFSSS2FF005F001重复（R）处理组合ABCDEFGABACBC误差149226153064238311916277337553233671684244222082110411598246989234953400254252713393219612980614192220511031604832220813012744144277896947100541327733194802617953691总的53171509F检验结果表明效应C、D、E、F、AB、AC及BC均达到显著或极显著水平。因素的主次作用依次为D、C、F、E，互作的主次作用依次为、AC、BC及AB。3、作多重比较（SSR法）对有差异显著的效应C、D、E、F及AB、AC、BC间的TI作多重比较。各处理组TI的标准误分别为（千单位）1529162CRSSEFEDC（千单位）46322KRSECBAB根据DFE26，K2、3、4、5、6、7、8、9，查其SSR值后，分别乘以标准误得LSR，计算BACS,结果如表820及表821。表820C、D、E、F因素各TI间多重比较所用SSR及LSR值K23C、D、E、F23SSR005SSR001291306393410LSR005LSR0013245342037804572表821AB、AC、BC各组合TI间多重比较所用SSR及LSR值K23456789SSR005SSR001291306315322327331333336393410421429435441445448LSR005LSR0011874197120292074210621322145216425312640271127632801284028662885C、D、E、F各因素及AB、AC、BC互作各组合TI之间差异的比较结果见表822及表823、824、825。表822C、D、E、F各TI间差异的比较CTIDTIETIFTIC2C1C33359A3269A2543BD3D2D13448A3418A2305BE1E2E33192AA3174AAB2805BBF1F3F23626A3469A3074B大、小字母分别表示差异显著性达1、5水准，以下同。表823AB各组合TI间差异的比较组合A3B2A1B2A2B3A3B1A2B1A1B3A2B2A1B1A2B2TI119911051100107699694597188888651AABABABCABCBCBCCCAABABABABABABBB表824AC各组合TI间差异的比较组合A1C2A3C1A3C2A2C1A2C3A1C1A2C2A3C3A1C3TI127312571218113296288086879678551AAAABBCBCCCCAAABABCBCDCDCDDD表825BC各组合TI间差异的比较组合B3C1B2C2B3C2B1C1B1C2B2C3B2C1B3C3B1C3TI119811501133109210716106197979069251AABABABABABBCCAAAAAAABBB多重比较结果表明表822中，C2、C1与C3；D3、D2与D1；F1、F3与F2比较，差异均达到极显著水平。E1、E2与E3比较，差异分别达到极显著或显著水平。由于D、E、F三个因素间无交互作用，故最高的水平即为最佳组合；而A、B、C因素间存在显著的交互作用，故最高的水平不一定是最佳组合；G因素无显著性，各水平均可采用。表823中，A3B2和A1B2、A2B2与A1B1、A2B2相比分别达到1和5的显著水准，其余各组合间均无显著差异，因此该互作项中以A3B2、A1B2及A3B2为最佳组合。表824中，A1C2、A3C1和A3C2、A2C1的组合效果较好，它们之间无显著性差异，但前两个组合与其他组合比较，差异达到1显著水准；后两个组合与A1C1、A2C2、A3C3、A1C3比较也分别达