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文档简介

120111PPPJJKJJJJJKJJYBXBXBX三、二次回归正交设计二次回归正交设计是一种具有正交、回归、均匀和较好饱和程度的一种试验设计方法,其特点是能以较少的试验获得较大量的信息,并可得出试验目标与各试验因素之间的一次效应、一次交互效应和二次项之间的关系,能够满足一般非线性问题的要求,从而使统计分析的结果更加完善。同时利用该方法还可根据求出的回归方程,寻求最佳的工艺条件或搭配方案,使试验设计达到最优化。当用一次回归正交设计描述某一实际问题得到的回归方程经检验为不显著时,就需考虑用二次或更高次的回归方程来描述。(一)二次回归数学模型假设影响试验目标的因素(自变量)有P个,则所求的二次回归方程的一般形式为其中(1)、分别是一次项、一次交互作用JKJ2J项与二次项的编码因素;(2)分别是与之相对应的回归系数,显然,0,JKJJB回归系数的个数Q为12112212PPPPPPQCCP根据编码空间的试验设计方案和试验结果,即可求得回归系数,且试验的次数就不能小于Q;同时,每个变量至少要取3个水平。如果因素水平多,则需做的试验次数就增多,必如若考虑4个因素,每个因素3个水平,那么各种搭配组合的试验都要做的话,则需做3481次试验,而待确定的回归系数有C24215个,如此多的试验与待定参数在实际中是难以实现的,如果设计得不合理,则试验次数与待定参数就会更多,因而很有必要对试验进行设计,有很多设计可用于二次回归数学模型,而二次回归正交设计则是一种非常有效的处理方法2二次回归正交组合设计(1)组合设计所谓组合设计就是在一次回归设计的组合点(各试验点)的基础上,再增加一些特定的试验点,把它们组合起来形成试验方案。例如在一次回归设计中,二因素的4个试验是在因子空间正方形平面区域的四个顶点上进行的,三个因素的8个试验是在因子空间正方体的八个顶点上进行的。而组合设计,对二因素再加5个特定的试验点,共9个,对三因素再加7个特定的试验点,共15个组合起来形成试验方案(如图所示)。根据二次回归正交设计的要求,为区分随机误差和试验误差,应增加中心试验重复次数(各因素都取零水平的中心点重复试验)。一般来讲,P个因素的组合设计的N个试验都是由三部分组合而成,即NMC2PM0其中M0各因素都取零水平的中心点试验的重复次数MC为图中实点所示的二水平全因素试验的试验次数2P,它是一次回归正交设计的所有试验点。MC的取值规则为(I)当采取全因素试验时,取MC2P(II)对于因素较多的试验,如P4,也可采取部分实施计划,此时MC2P1,2P2,如果是1/2实施,则取MC2P1;如果是1/4实施,则取MC2P2等。2P图中分布在P个坐标轴上的星号点个数,这些点与中心点的距离R称为星号臂,这个值是根据正交性的要求而确定的参数值,从图中不难看出,加星号臂上的试验仍具有均匀性和分散性这两个特点。(2)星号臂R长度的确定为使组合设计成为正交设计也就是使设计的结构矩阵221NIJIJIJIZZ具有正交性,经数学推导可知,星号臂R长度必须满足4202CCMRRP当MC2P(全实施)时,则有022CCMPMR即星号臂长R与因素的个数P,中心点试验次数M0以及二水平试验点数MC有关。实际应用中,R的值一般可通过查表(见表731)的方法得到。表731星号臂R2值表PMC2341/2451/2511000147613532000239025472116016571414219825802762313171831147123902770297441475200015252580295031835160621641575277031403391(3)各平方项中心化各自然变量X2J对应着规范变量Z2J,由于正交设计中,ZKZJ列的元素等于ZK与ZJ列元素的积,从而Z2J列的元素应等于ZJ元素的平方,即Z2IJZIJ2,但这样作却使得结构矩阵失去正交性,为保持组合设计的正交性,必须通过如下中心化变换方法152221115222291911815075461IIIIZZ把Z2IJ列变换为ZJ列,由此可构造出满足得构造出正交设计要求的二次回归正交设计表,例如表732所示。表732三因素二次回归正交设计表(结构矩阵)P3、M01、MC238试验号Z0Z1Z2Z3Z1Z2Z1Z3Z2Z3Z1Z2Z3111111110270270272111111102702702731111111027027027411111110270270275111111102702702761111111027027027711111110270270278111111102702702791121500000074607307310112150000007460746073111012150000073074607312101215000007307307313100121500007307307461410012150000730730746151000000073073073表中的有关数据的计算方法I星号臂长度R查表可得2476,47615RIIZJ的值说明由表732不难看出虚线以上的部分正好是三因素一01111,IJNNNNIJIJKJIKJIJIIIIBYZYBZYBZY0222111,IJJKJJJKJJJJJNNNJJIKJJIJIIIBBBBDDDZZZ其中次回归正交表,即前8个试验是在一次回归正交设计中所做的试验从第9号到14号这6个试验则是在星号点上加做的试验第15号是在中心点上做的试验,因此,用二次回归正交设计安排试验除具有正交性的特点外,还具有这样的优点,即试验点比三水平全因素试验要少许多,且仍能保持足够的剩余自由度,供统计分析时用其次它是在一次回归的基础上获得的,如果一次回归不太理想时,那么只须在其基础上,再在星号点和中心点处补充一些试验,就可以求得二次回归方程,这对于研究者来说是很有益处的3二次回归正交组合设计的实施步骤1确定因素自然变量X1,X2,XP的变化范围,并进行因素的水平编码,给出因素的水平编码表2选择适当的二次回归正交组合设计I先选定MC和M0,确定NMC2PM0II通过查表731或公式确定R,给出试验设计方案III实施试验,收集试验结果3根据试验资料数据计算回归系数IBJ的计算IIBJ的计算222,JKJJJKJJJJJBBBUUDDD2211,1INNTITIITSYYFN1,NETJETUJSUUFFFIIIUJ计算4回归方程的显著性检验I总平方和II剩余平方和III回归方程的检验统计量/,UUEEFFFFS对于给定的检验水平,若,则回归效果,UEFF显著,否则就是不显著。IV回归系数的检验统计量,/JKJJJKJJEEEUUFFFSFSFSF利用这些统计量可以判断各回归

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