高斯公式的应用

高斯公式的应用摘要高斯公式是重积分中一个极其重要的公式,揭示了空间区域的三重积分与其边界面上的曲面积分之间的关系12然而在教学实践中,却有不少学生被发可现不能正确恰当用高斯公式,原因在于其对于高斯公式应用的条件理解不够准确透彻和对解决此类问题的方法、技巧掌握不够灵活现通过积分区域S的不同情况时，对高斯公式的应用进行讨论，更深入的了解高斯公式的应用条件以及应用技巧。关键词第二型曲面积分；高斯公式；应用技巧。ABSTRACTGAUSSIANFORMULAISANEXTREMELYIMPORTANTFORMULAOFREINTEGRATION,REVEALSTHERELATIONSHIPBETWEENTHESURFACEINTEGRALOFTHETRIPLEINTEGRALOFITBOUNDARYSURFACEOFTHEREGIONOFSPACE12INTHETEACHINGPRACTICE,HOWEVER,THEREAREALOTOFSTUDENTSARESENTCANBEISNOTCORRECTANDAPPROPRIATEUSEGAUSSFORMULA,ASUNDERSTOODINITSAPPLICATIONCONDITIONSFORTHEGAUSSIANFORMULANOTTHOROUGHANDACCURATEMETHODTOSOLVESUCHPROBLEMS,NOTFLEXIBLEENOUGHTOMASTERSKILLSTHROUGHTHEINTEGRATIONREGIONS,THEGAUSSIANFORMULADISCUSSIONS,ADEEPERUNDERSTANDINGOFTHEGAUSSIANFORMULACONDITIONSANDAPPLICATIONSKILLSKEYWORDSSURFACEINTEGRALGAUSSIANEQUATIONAPPLICATIONSKILLS1预备知识3定理1设求第二型曲面积分，一般是将它投影到平面化为二重积分来积分R是定义在光滑曲面,YXZSXYD,上的连续函数，以S的上侧为正侧（这时S的法线方向与Z轴正向成锐角），则有DXYZYXRDZYXYDS,定理2设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面S围成若函数P,Q,R在V上连续,且有一阶连续偏导数（1）其中S取外侧（1）SVRDXYQZPDYDXZRYQXP式称为高斯公式。注意该公式的适用条件有两个（1）为曲面S为一个封闭的曲面，并且S是有方向的，一般外则为正向（2）函数P，Q，R在封闭曲面S所围成的空间区域V上连续且有一阶连续偏导数下面通过对曲面S进行不同的分类以及函数P,Q,R在V上连续情况，讨论不同条件下高斯公式的应用方式及应用技巧2高斯公式的应用21封闭曲面直接应用高斯公式当涉及到的曲面时一个封闭的曲面时，可以直接利用高斯公式将封闭曲面的二重积分化成相应的三重积分，但要注意曲面S的方向例14求第二型曲面积分,其中SDXYZXDYSCOS的外侧22ZYX解因为题目中的条件满足高斯公式的两个条件，其中PXQ,R1YCOS由高斯公式得，所求积分IDXYZXDYSCOS12ZYXVZRYQPDZYX12SIN1122SIZYXZYXVV由于，关于平面Y0对称,为Y的奇函数，故122ZYXSIN,所以I120SINZYX34例2求第二型曲面积分,其中S为且其外法线方向与X坐标轴的夹角为钝角分析由S的外法线方向与X坐标轴的夹角为钝角，知取S的内侧，不满足高斯公式应用的条件，所以不能直接使用高斯公式，但是因为，其中为S的反向，即为S的外侧，可以利用该结论对题目进行转化进而利用高斯公式解，DXYZXDYSCOSDXYZSDCOS其中PXQR1SIDXYZXDYSCODXYZSDCOS为S的外侧，满足高斯公式的应用条件XYZSC由高斯公式得，IDVZRYQXPZYX12ZYX12SIN1122SIZYXZYXDVDV由于1，关于平面Y0对称,为Y的奇函数，故,所以I22ZYXSIN3422构造封闭曲面在运用高斯公式当题目中所涉及的曲面不封闭时，这时要利用高斯公式来计算第二型曲面积分，则需要添加辅助面，一般为平行于坐标平面的辅助平面，构成封闭曲面例35计算J,其中S为圆柱面被SXDYZZZDXY12YXZ0,Z3截的部分外侧解分别补充圆柱面与Z0,Z3的交平面，其中12YX下1SS上2，合起来为一个封,0ZS21YX下,3ZS2YX上闭的曲面，记PXQYRZJDZYDX2S121IXYZ上下其中SDZZDXYSIXDYZZDXYI上下21,由高斯公式得上下21S3VVZZZ9而垂直平面,平面，垂直平面，平面下1SXOY上2XOYZ3,01212DXI从而J93623曲面封闭但存在有限个奇点231当在封闭的曲面内有奇点（即被积函数不连续或偏导数不存在的点），当这个奇点为良性奇点（不妨把使被积函数满足等ZYXRQZYXP,式的奇点定义为良性奇点，反之则定义为非良性奇点一般会0ZRYQXP用小圆或小椭圆来挖掉这个奇点，从而使这个小圆或小椭圆和原来的曲面共同构成一个封闭的复连通区域，则在这个复连通区域内可以利用高斯公式，是小圆还是小椭圆要根据所给的被积函数的形式例46计算GAUSS曲面积分,其中S是封闭光滑曲面，原点SDRNI2COS不在S上，R是S上动点至原点的距离，动点处外法线方向与径向量,N的夹角解表示动点的径向量，则模R，RZYX,ZYX,22ZYX，表示S在动点的外法线单位向量COS,CS则COSSS,RZRYRXNR题目分两种情况若原点位于S之外部区域，则函数1PQR在S内部区域22ZYXR22ZYXR22ZYXR直到边界S上有连续偏导数因此可应用高斯公式IDSRZRYRXDRNSSCOSSCOS,COS3332XYRZYDZRXS333DVRZRYRXV333注意52352232231XRZYXZYXRX由轮换对称性得03RX3Y3RZX52523XZYX故I0DZV若原点位于S的内部区域这时P、Q、R在原点处不连续，不能直接在S的内2部区域上应用高斯公式公式今以原点为中心，以（充分小）为半径，作0一球面，使得全位于S的内部区域以V表示S与之间的区域则V内部不含原点可以应用中已得结论1因此原积分ISDRN2,COSSDSRN2,COSDSRN2,COSXYZV20DS2124总之I得内部区域，当远点位于得外部区域，当远点位于S40因为该例题中涉及被积函数的分母中有这种球面形式形式，所以利22ZYX用用充分小的球体去挖掉这个奇点例57计算曲面积分,其中S是SCZBYAXDXDZI3220,CBA球面，取外侧122ZYX解记，322CZBYAXP322CZBYAXQ322CZBYAXR则在不包含原点的任何区域上有，对充分小的，作封闭0ZYXP0曲面，取内侧，用充分小的椭球体来挖掉奇,22CZBYAXZYS点,因为S与构成复连通区域，设,在围成的封闭区域应0S11用高斯公式得SCZBYAXDXDZI322SSCZBYAXDXDZCZYXXZ32232210SCZBYAXXD322而在曲面上有，则22其中表示曲面的外侧SSCZBYAXDXDZCZBYAXXDZ322322S再利用一次高斯公式得SZ322SXZ1ISZDXYYXDZ3113VDXYZ其中为椭球体，则I1V22CZBAABC43因为该题中涉及到的被积函数的分母中是这种椭球体形式，所以22CZBYAX用充分小椭球体来挖掉（0,0,0）这个奇点232当被积函数个有无数奇点，且为非良性奇点，这时计算第二型曲面积分，一般用投影化成二重积分例7计算，其中S为椭球面方向取DXYZYDZXS11,122CZBYAX外侧分析因为X轴，Y轴，Z轴上的点都为被积函数的奇点，且为非良性的，所以只能用将椭球面分别投影到三个坐标平面,从而化成三个二重积分来计算解首先将椭球面将投影到平面，得XOYXYD12BA先计算，因为在椭球面上有DXYZS121CZ所以IZSDXYBACDXYBACXYXYDD22112利用广义的极坐标变换令DXYBACXYD21SINCORYX所以I2，由轮换对称的性质得，DRCD2012C4ABCDXYS41，所以BAXYS4DXYZYZXS1224ABC24曲面不封闭，构造辅助平面时产生奇点当需要求的曲面积分中涉及到的曲面不是封闭的曲面，要用高斯公式，则首先需要添加辅助平面，而恰好在添加的平面上有奇点，则要用通过小椭球体或小球体绕过这个奇点例6求曲面积分I,上侧SZYXDXDZ3229162512YXZS分析因为S不封闭，添加辅助平面Z0，但仅仅构造这个平面之后，带来奇点（0,0,0）,所以构造的平面不符合要求要绕过（0,0,0）构造辅平面解设,其中321S取外侧19Y162X,0|,22且AYXZYXS取下侧，为足够小的常数，使上半球面与|,223ZA3S积分曲面S不相交，而S与构成复连通区域，在该区域上可直接应用高斯公1式，则有01322DXYZRYQXPZYXDXDZVS因此I0SZYXZ3221322SZYXZ2322SZYXDXD3322SZYXDXZ而在0，故I,02有上Z2322SZYX3322SZYXDX在上，有R,故I3SA2231SDYZXD再补充平面，取下侧，则构成封闭的半球220,ZYX30与，所以在上应用高斯公式得221VAYX1V3SZDDZ3SZDXYYDZ30S下XYX下0S，由曲面积分得知识得上01SZDYDZZV0上0SXYYXD所以I31SZDXYYXDZA31A1VDXYZ233（文献891011）参考文献1马知恩工科数学分析基础M北京高等教育出版社,19981502吉林大学数学系数学分析中册M北京人民教育出社,19781463华东师范大学数学系数学分析下册第三版M高等教育出版社，20012862924钱吉林数学分析题解精粹第二版M湖北长江出版集团崇文书局，20095765钱吉林数学分析题解精粹第二版M湖北长江出版集团崇文书局，20095726裴礼文数学分析中典型问题与方法第二版M高等教育出版社，20069877谢惠民数学分析习题课讲义下册M高等教育出版社，200