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习题解答无穷积分的柯西收敛原理AAAAXXFXXFDLIMD收敛的充分必要条件是0,AN,只要XAXA21,,就有|D|21AAXXF.推论若AXXFD收敛,则对于任意正数B,有0DLIMBAAAXXF.习题1设XF在,A一致连续,无穷积分AXXFD收敛.求证0LIMXFX.证明反证若0LIMXFX不成立,则存在某个正数0,以及一个单调增加趋向于的点列}{NX,使得,2,12||0NXFN.不妨设,2,120NXFN.因为XF在,A一致连续,所以对于正数0,存在正数,使得对于任意的,,AVU,只要||VU,就有0||VFUF.于是在区间,NNNXXI上恒有0XF.因此对任意的NX,有0|D|NNXXXXF,不趋向于零.于是由柯西收敛原理推出AXXFD发散.这个冲突说明0LIMXFX.证毕.习题2假设0DXXF收敛,则存在单调非减趋向于正无穷的函数XG,使得无穷积分0DXXGXF收敛.证明①构造函数XG由柯西收敛原理推出存在0NA,使得对于任意正数B,有31|D|NXXFBAANN.(不妨设121NNAAAA.)定义函数,2,1,1NAXANXGNN,则XG单调非减趋向于正无穷.②证明NANXXGXF0DLIM存在考察数列NANXXGXFA0D,2,1N.|D||D||D|||11PNNKAAPNNKAAAANPNKKKKPNNXXFKXXGXFXXGXFAA01|D|231NKKKXXFKPNNKPNNKPNNKAAKK.因此数列NANXXGXFA0D,2,1N是柯西列,从而NANXXGXF0DLIM存在.③证明ANXXGXF0DLIM存在(从而0DXXGXF收敛)设1NNAAA,则2001|D||D||DD|NXXFNXXGXFXXGXFXXGXFAAAAAANNN于是由此推出ANXXGXF0DLIMNANXXGXF0DLIM存在.习题3举例说明AXXFD收敛推不出0LIMXFX,甚至推不出XF有界.反例104DSINXXX.被积函数无界.换元4XU,0DSIN1UUU.后者收敛,狄利克雷判别法.反例202DSINXX.被积函数不趋向于零.换元2XU,0DSIN1UUU.后者收敛,狄利克雷判别法.反例3其它,,03NNXNNXF.被积函数无界,直接计算,收敛.
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